Equações trigonométricas

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Teoria

Introdução

PARAAAA TUDOOOO!!! Meu anjo, você já pode ser considerado o mestre das equações! Chegamos nas mais temidas, mas relaxa que você vai pegar de boa!

Chegou a hora de falar de equações trigonométricas, que são equações envolvendo seno, cossenos, tangente e relacionados, como: sen ⁡ x + 1 = 0

Equações trigonométricas e solução para a primeira volta

Para equação do exemplo acima, temos que encontrar um valor φ para o seno no qual: sen ⁡ φ = 0

Vimos nas seções anteriores que: sen ⁡ 0 = sen ⁡ π = 0

Então temos:

x + 1 = 0 x + 1 = π

Para a primeira equação, encontramos: x + 1 = 0 ⟹ x = - 1

Para a segunda: x + 1 = π ⟹ x = π - 1

Essas são soluções do problema, mas ainda não são todas.

Equações trigonométricas e congruência de arcos

No círculo trigonométrico, temos que a cada 2 π rad ou 360 ° passamos novamente pela origem da circunferência. Isso significa que os valores de seno e cosseno se repetem a cada 2 π rad ou 360 º conforme a congruência dos arcos. Ou seja, se eu te dou um ângulo de 720 ° , você sabe que são duas voltas naquele círculo e, da mesma forma, eu posso dar quantas voltas eu quiser!!! Dessa forma, não só temos:

sen ⁡ 0 = sen ⁡ π = 0

Mas também:

sen ⁡ 0 = sen ⁡ π = 0 ⟹ sen ⁡ 0 + 2 π k = sen ⁡ π + 2 π k = 0

Sendo k qualquer número inteiro. E negócio de 2 π k , que eu gentilmente escreverei 2 k π por questão menos zoeira, só quer indicar que você pode estar dando k voltas no círculo! Você pode tanto resolver o problema para as duas situações ou visualizar o que o seno está zerando a cada π k radianos, o que significa que: sen ⁡ 0 + π k = sen ⁡ π k = 0

Ou seja:

x + 1 = π k ⟹ x = π k - 1

Essa é a solução final do problema!

Ué, então x = - 1 e x = π - 1 que encontramos no início estão errados? Não! Eles fazem parte da solução da equação, mas só indicam os valores possíveis de x para a primeira volta no círculo trigonométrico, ou para ângulos entre 0 e 2 π rad, basta substituir k por 0 e 1 . A solução que acabamos de achar é válida para qualquer número de voltas que dermos e é a solução completa do problema!

Veja que, para k = 0 :

x = π k - 1 ⟹ x = - 1

Que é o primeiro resultado. Para k = 1 :

x = π k - 1 ⟹ x = π - 1

Que é o segundo! Viu? A solução para a primeira volta está dentro do conjunto solução para todas as voltas possíveis.

Equações envolvendo diferentes relações trigonométricas

Para o objetivo dessa seção, precisamos estar afiados com as principais relações trigonométricas. Então vamos relembrá-las:

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Disso tiramos:

tg 2 ⁡ x + 1 = sec 2 ⁡ x

cotg 2 ⁡ x + 1 = cossec 2 ⁡ x

Temos que estar afinados também com soma e subtração:

sen ⁡ a ± b = sen ⁡ a ⋅ cos ⁡ b ± sen ⁡ b ⋅ cos ⁡ a

cos ⁡ a ± b = cos ⁡ a ⋅ cos ⁡ b ∓ sen ⁡ a ⋅ sen ⁡ b

t g a ± b = t g ( a ) ± t g ( b ) 1 ∓ t g a t g ( b )

Com tudo isso em mente, vamos ver agora como resolver equações como: cos ⁡ x = - sen ⁡ 2 x + π

Ou seja, equações que não envolvem somente seno, cosseno ou tangente, mas uma combinação deles.

Resolver esse tipo de equação parte do princípio que podemos reduzi-las às equações com somente seno, cosseno e tangente, como vimos na última seção. Vamos tentar fazer isso com o nosso problema?

- sen ⁡ 2 x + π = - sen ⁡ 2 x ⋅ cos ⁡ π + sen ⁡ π ⋅ cos ⁡ 2 x = sen ⁡ 2 x + 0 = sen ⁡ 2 x

Vamos agora separar esse arco duplo:

sen ⁡ 2 x = sen ⁡ x ⋅ cos ⁡ x + sen ⁡ x ⋅ cos ⁡ x = 2 sen ⁡ x cos ⁡ x

Substituindo na equação: cos ⁡ x = - sen ⁡ 2 x + π ⟹ cos ⁡ x = 2 sen ⁡ x cos ⁡ x

Jogando o cos ⁡ x para o outro lado:

2 sen ⁡ x = cos ⁡ x cos ⁡ x ⟹ sen ⁡ x = 1 2

Quando fazemos isso, temos que desconsiderar todos os valores nos quais o cos ⁡ x é zero, pois levaria a uma divisão por zero. Dessa maneira, isso é válido para x ≠ π / 2 + π k , com k inteiro.

Sabendo isso, chegamos a: sen ⁡ x = 1 2

O seno vale ½ para ângulos de π / 6 e 5 π / 6 rad. Considerando também a congruência dos arcos, chegaremos a:

x = π 6 + 2 π k x = 5 π 6 + 2 π k Veja que nenhum desses valores bate com a restrição gerada na hora de cortar o cosseno. Portanto essa é a solução final do problema.

Para não escapar nada...

Por que você usou sempre ângulos em radianos e nunca em graus? Porque a solução em valores de x deve sempre ser dada em radianos e nunca em graus. Caso você esteja com alguma dificuldade em lidar com esses radianos, pense nos valores em graus e depois converta para radianos usando a fórmula:

φ r a d = 2 π 360 ⋅ φ g r a u s

Você vai ver que, com a prática, os valores em radianos vão se tornar naturais e a dificuldade não vai mais existir.

Equações envolvendo diferentes relações trigonométricas

Para não escapar nada...

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

A soma das duas menores soluções positivas da equação

sin ⁡ 3 x - π 4 = 0

É:

a) π 2

b) 3 π 4

c) π

d) 3 π 2

e) 2 π

Passo 1

Precisamos achar os valores para dentro do argumento para os quais o seno é zero. Pelo círculo trigonométrico, vemos que o seno zera a cada múltiplo de π rad. Assim:

3 x - π 4 = π k

Os dois menores valores positivos serão encontrados para k = 0 e k = 1 e, portanto: 3 x - π 4 = 0 ⟹ 3 x = π 4 ⟹ x = π 12

E:

3 x - π 4 = π ⟹ 3 x = 5 π 4 ⟹ x = 5 π 12

Essas são as duas primeiras soluções do problema.

Passo 2

Agora é só tirar a soma:

x 1 + x 2 = π 12 + 5 π 12 = 6 π 12 = π 2

Letra a !

Resposta

x 1 + x 2 = π 2

Letra a .

Exercício Resolvido #2

Se θ é um ângulo tal que:

0 < θ < π 2

E o dobro do seu seno é igual ao triplo do quadrado de sua tangente, então o valor do seu cosseno é:

a) 3 / 3

b) 3 / 2

c) 2 / 2

d) 2 / 3

Passo 1

A partir do enunciado, construímos a equação: 2 sen ⁡ θ = 3 tg 2 ⁡ θ

Vamos tentar simplificar essa equação. Vamos começar abrindo a tangente:

2 sen ⁡ θ = 3 tg 2 ⁡ θ ⟹ 2 sen ⁡ θ = 3 sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ

Passo 2

Já podemos simplificar, cortando o seno:

2 = 3 sen ⁡ θ cos 2 ⁡ θ ⟹ 2 cos 2 ⁡ θ = 3 sen ⁡ θ

Pela relação fundamental da trigonometria, temos que: sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 ⟹ sen ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ

Substituindo:

2 cos 2 ⁡ θ = 3 sen ⁡ θ ⟹ 2 cos 2 ⁡ θ = 3 1 - cos 2 ⁡ θ

Agora, elevamos os dois lados ao quadrado para retirar a raiz: 4 cos 4 ⁡ θ = 9 1 - cos 2 ⁡ θ ⟹ 4 c o s 4 θ = 9 - 9 cos 2 ⁡ θ

4 c o s 4 θ + 9 cos 2 ⁡ θ - 9 = 0

Passo 3

Aqui está o pulo do gato da questão. Se fizermos x = cos 2 ⁡ θ , teremos:

4 c o s 4 θ + 9 cos 2 ⁡ θ - 9 ⟹ 4 x 2 + 9 x - 9 = 0

Que é uma equação de segundo grau. Podemos resolvê-la por Bhaskara mesmo: x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 9 ± 9 2 - 4 ⋅ 4 ⋅ - 9 2 ⋅ 4 = - 9 ± 81 + 16 ⋅ 9 8

= - 9 ± 81 + 144 8 = - 9 ± 15 8

Logo, teremos: x 1 = 3 4 x 2 = - 3

Passo 4

Temos que: x = cos 2 ⁡ θ

Logo: x 2 = cos 2 ⁡ θ = - 3

Porém, um número ao quadrado não pode dar negativo para o conjunto dos reais, logo descartamos essa raiz, sobrando:

x 1 = cos 2 ⁡ θ = 3 4

cos ⁡ θ = 3 4 = 3 2

Esse é o valor do cosseno! Letra b . Ufa!

Resposta

cos ⁡ θ = 3 2

Letra b .

Exercício Resolvido #3

Se x ∈ [ 0 ,   π ] , determine a maior das soluções da equação:

2 cos ⁡ 2 x + 1 = 0

Passo 1

Bom, primeiro boa isolar esse cosseno:

cos ⁡ 2 x = - 1 2

cos ⁡ 2 x = - 2 2

Então temos que:

2 x = arccos ⁡ - 2 2

Passo 2

E os ângulos que possuem esse cosseno são:

135 ° + v o l t a s   n o   c í r c u l o = 3 π 4 + 2 k π

225 ° + v o l t a s   n o   c í r c u l o = 5 π 4 + 2 k π

Então:

2 x = 3 π 4 + 2 k π

x = 3 π 8 + k π

E:

2 x = 5 π 4 + 2 k π

x = 5 π 8 + k π

Passo 3

Agora vamos testar os valores de k para que o x pertença ao intervalo [ 0 , π ] .

Para k = 0 :

x = 3 π 8 + k π   e   x = 5 π 8 + k π → x = 3 π 8   e   x = 5 π 8

Para k = 1 :

x = 3 π 8 + k π   e   x = 5 π 8 + k π → x = 3 π 8 + π = 11 π 8   e   x = 5 π 8 + π = 13 π 8

Porém, 11 π 8 e 13 π 8 estão fora do intervalo [ 0 , π ] , já que são maiores do que π . Portanto, as respostas são x = 3 π 8 e x = 5 π 8 . Como ele quer a maior, temos que x = 5 π 8 .

Resposta

x = 5 π 8

Exercício Resolvido #4

Resolva a equação trigonométrica, sabendo que x ∈ [ 0,2 π ] :

tg 2 ⁡ x = 1

Passo 1

Faaaaala aí, meu anjo! Vamos resolver esse bichinho aí!

tg 2 ⁡ x = 1

Dessa equação, tiramos que:

tg ⁡ x = 1   o u tg ⁡ x = - 1

Passo 2

Se tg ⁡ x = 1

Temos que:

x = arctg ⁡ 1

E os ângulos que têm tangente 1 são:

45 °   e   225 °

Mas perceba que 225 ° = 45 ° + 180 ° , então podemos escrever os ângulos como:

x = π 4 + k π

Passo 3

Se tg ⁡ x = - 1

Temos que:

x = arctg ⁡ ( - 1 )

E os ângulos que têm tangente - 1 são:

13 5 °   e   31 5 °

Mas perceba que 31 5 ° = 13 5 ° + 180 ° , então podemos escrever os ângulos como:

x = 3 π 4 + k π

Passo 4

Mas como queremos apenas os ângulos no intervalo [ 0,2 π ] :

45 ° ,   135 ° ,   225 °   o u   315 °

Então:

x = π 4 ,   x = 3 π 4 ,   x = 5 π 4   o u   x = 7 π 4

Poderíamos achar esses valores substituindo os valores de k , dá no mesmo!

Resposta

x = π 4 ,   x = 3 π 4 ,   x = 5 π 4   o u   x = 7 π 4

Exercício Resolvido #5

Resolva a equação cos 2 ⁡ x + sen ⁡ x - 1 = 0 , sendo x um arco pertencente ao intervalo [ 0,2 π ] .

Passo 1

Bom, vamos começar manipulando da seguinte forma:

cos 2 ⁡ x + sen ⁡ x - 1 = 0

sen ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

Sendo que, pela relação fundamental:

1 - cos 2 ⁡ x = sen 2 ⁡ x

Então:

sen ⁡ x = sen 2 ⁡ x

sen 2 ⁡ x - sen ⁡ x = 0

Colocando em evidência:

sen ⁡ x sen ⁡ x - 1 = 0

Isso significa que:

sen ⁡ x = 0   o u   sen ⁡ x = 1

Passo 2

Para sen ⁡ x = 0 , temos que:

x = arc sen ⁡ 0

x = k π ,   c o m   k   i n t e i r o

Para sen ⁡ x = 1 , temos que:

x = arc sen ⁡ 1

x = π 2 + 2 k π ,   c o m   k   i n t e i r o

Passo 3

Mas como temos que x ∈ [ 0,2 π ] , precisamos dos valores de x que estejam dentro desse intervalo!

Para k = 0 :

x = k π   e   x = π 2 + 2 k π → x = 0   e   x = π 2

Para k = 1 :

x = k π   e   x = π 2 + 2 k π → x = π   e   x = π 2 + 2 π = 5 π 2

Mas 5 π 2 não está no intervalo, já que é maior que 2 π .

Para k = 2 :

x = k π   e   x = π 2 + 2 k π → x = 2 π   e   x = π 2 + 4 π = 9 π 2

Mas 9 π 2 não está no intervalo! Então temos 4 soluções possíveis:

x = 0 ,   x = π 2 , x = π   e   x = 2 π

Resposta

x = 0 ,   x = π 2 , x = π   e   x = 2 π