Equação modular

Teoria Completa

A ideia do módulo

Faaaaaala aí, futuro mestre das equações! Bora ver mais uma hoje?

Antes de falar das equações modulares, vamos falar o que é o módulo. O módulo é simples: quando o número é positivo, o módulo é exatamente o número. Já quando é negativo, o módulo é igual ao valor positivo do número.

4 = 4 - 3 = 3

Para ser igual a parte positiva quando o argumento é negativo, multiplica-se por - 1 :

- 3 = - 1 - 3 = 3

Sim, é só isso. O módulo surge muito para definir o conceito de distância. A distância não está relacionada com nenhum sentido e não pode ser considerada negativa, por isso o módulo trata de valores positivos. Dessa maneira, o seu valor será o módulo do número ou o seu valor absoluto.

\s

Veja que a distância d é a mesma para 1 e - 1 , dessa maneira:

d = 1 = 1

d = - 1 = - 1 ⋅ - 1 = 1

Entendeu a lógica? Sempre que o número for positivo o seu módulo é ele mesmo, e sempre que um número for negativo nós fazemos menos ele mesmo. Escrevendo isso com um pouco mais de rigorosidade vai ser

a = a s e a ≥ 0 - a s e a < 0

Essa é a ideia do módulo.

Equação modular

Agora vamos ver como resolver as equações envolvendo módulo. Aqui não tem muito mistério, temos uma forma que as vezes é mais trabalhosa, mas sempre funciona.

Resolvendo pela definição.

O que é resolver pela definição? É usarmos a definição de módulo para resolver a nossa função. Vamos ver um exemplo básico

x + 3 = 5

Primeiro vamos usar a definição nesse módulo:

x + 3 = x + 3 s e x + 3 ≥ 0 - x + 3 s e x + 3 < 0

Essa análise de sinal é tranquilinha de fazer na mão, veja só:

x + 3 = x + 3 s e x ≥ - 3 - x - 3 s e x < - 3

Agora vamos resolver essa equação para cada intervalo.

Começando com x ≥ - 3 :

x + 3 = 5

x = 2

Achando a resposta temos que ver se ela está no intervalo que estamos trabalhando, e está, pois 2 ≥ - 3 . Então essa solução é válida:

Agora com x < - 3 :

- x - 3 = 5

x = - 8

Esse valor está no intervalo que estamos vendo, então a solução vai ser:

x 1 = 2

x 2 = - 8

Entendeu a ideia? Claro que isso pode ser mais complexo, nos exercícios vamos ver isso.

A outra forma é um pouco mais maceteada mas é sempre fazer a mesma coisa, ela não se preocupa com a definição. Vamos refazer o exemplo com isso:

x + 3 = 5

Agora vamos transformar isso em 2 equações diferentes, uma igualando o cara dentro do módulo a 5 e outra igualando o cara dentro do módulo a - 5 :

x + 3 = 5 o u x + 3 = - 5

x = 2 o u x = - 8

Agora é só olharmos rapidinho se esses valores servem na equação

2 + 3 = 5 = 5

- 8 + 3 = - 5 = 5

Ok, os dois valores valem, e pronto terminamos a nossa conta. Entendeu a lógica? Primeiro consideramos o valor dentro do módulo como ele mesmo e vemos se o resultado está dentro do intervalo onde isso é verdade.

Depois, consideramos o valor dentro do módulo multiplicado por - 1 , achamos a solução e depois vemos se a resposta está dentro do intervalo também.

Vou de mostrar uma intuição geométrica disso! Lembra que eu falei que o módulo fala de distância? Então, você se deparar com algo assim:

x - 2 = 3

Você tem que pensar quais números perto de 2 distam 3 unidades dele. Normalmente pensamos em números inteiros, então olha a reta inteira aqui:

Olha aqui em cima, quais números têm 3 unidades de distância do 2 ?

Concorda comigo que são os números: - 1 e 5 ? Tem três espacinhos deles pro 2 !

De uma forma geral, quando você se deparar com:

x - a = r

Você estará pensando nos números que distam r unidades de a ! Ou seja, é só você contar r pedacinhos de a pra esquerda e depois para a direita!

A solução será a junção de todas as soluções que estão dentro dos seus respectivos intervalos. Vamos aplicar isso nos exercícios? Vamos lá!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Fundamentos da Matemática Elementar Vol. 2 Gelson Iezzi.

Resolva em R   as seguintes equações:

x 2 + 5 x - 5 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Aqui é molezinha. Basta só a gente fazer os estudos dos casos positivos e negativos, para x ² + 5 x - 5 = ± 1  

Vamos ter:

Caso positivo:

x ² + 5 x - 5 = + 1

x ² + 5 x - 6 = 0

Resolvendo a nossa equação do segundo grau, teremos:

x ' = 1     e     x ' ' = - 6

Caso negativo:

x ² + 5 x - 5 = - 1

x 2 + 5 x - 4 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau dessa bagaça, teremos:

x ' = 0,701       e     x ' ' = - 5,701

Daí...

Resposta

S = { - 6 ; 1 ; 0 , 701 ; - 5,701 }

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Resolve Aí a seguinte equação em R :

2 x + 6 - x + 2 = 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos analisar os dois termos com módulo separadamente:

2 x + 6 = 2 x + 6 , 2 x + 6 > 0 ⇔ x > - 3 - 2 x - 6 , 2 x + 6 < 0 ⇔ x < - 3

x + 2 = x + 2 , x + 2 > 0 ⇔ x > - 2 - x - 2 , x + 2 < 0 ⇔ x < - 2

Passo 2

Beleza, então vamos reescrever essa equação em três intervalos diferentes:

- ∞ ,   - 3 ,   - 3 ,   - 2   e   - 2 ,   ∞

No intervalo - ∞ ,   - 3 , temos:

2 x + 6 = - 2 x - 6

x + 2 = - x - 2

Então a equação fica:

- 2 x - 6 - - x - 2 = 2

- 2 x - 6 + x + 2 = 2

- x = 6

⇒ x = - 6

Essa é uma das soluções da equação!

Passo 3

No intervalo - 3 ,   - 2 :

2 x + 6 = 2 x + 6

x + 2 = - x - 2

A equação é:

2 x + 6 - - x - 2 = 2

2 x + 6 + x + 2 = 2

3 x = - 6

⇒ x = - 2

Show, achamos mais uma solução.

Passo 4

Agora o último intervalo, - 2 ,   ∞ , onde

2 x + 6 = 2 x + 6

x + 2 = x + 2

Então a equação é

2 x + 6 - x + 2 = 2

2 x + 6 - x - 2 = 2

⇒ x = - 2

Achamos a mesma resposta que antes, então esse intervalo não agregou nada novo.

Portanto, a equação tem só duas soluções mesmo: - 6 e - 2 .

Resposta

x = - 6     o u     x = - 2

Exercício Resolvido #3

UVA - Adriana Tostes - Lista 4 - 1l

Resolva em R as equações: 2 x 2 + 15 x - 3 = x 2 + 2 x - 3  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como o lado esquerdo tá dentro do módulo, vamos dividir a equação em duas, uma para qual: 2 x 2 + 15 x - 3 = 2 x 2 + 15 x - 3

E outra em que:

2 x 2 + 15 x - 3 = - 2 x 2 + 15 x - 3

Passo 2

Para a primeira, temos:

2 x 2 + 15 x - 3 = x 2 + 2 x - 3   ⟹ x 2 + 13 x = 0 ⟹ x x + 13

Logo, as raízes serão: x = 0 x = - 13

Mas pra esses valores serem raiz, a gente tem que ver se eles batem com a condição inicial! A primeira, no caso, em que:

2 x 2 + 15 x - 3 = 2 x 2 + 15 x - 3

Então pro valor ser raiz, quando a gente substituir na equação temos que achar um valor positivo.

Vamos ver se esses valores batem com a condição:

2 x 2 + 15 x - 3 = 2 x 2 + 15 x - 3

Para x = 0 :

2 x 2 + 15 x - 3 = 2 ⋅ 0 2 + 15 ⋅ 0 - 3 = - 3 = 3

Como 2 x 2 + 15 x - 3 = 3 e 2 x 2 + 15 x - 3 = - 3 nessa raiz, temos:

2 x 2 + 15 x - 3 ≠ 2 x 2 + 15 x - 3

O que viola a condição imposta e, portanto, x 1 = 0 não é raiz!

Vamos testar agora para x 2 = - 13 : 2 x 2 + 15 x - 3 = 2 ⋅ - 13 2 + 15 ⋅ - 13 - 3 = 140 = 140

Como 2 x 2 + 15 x - 3 = 140 e 2 x 2 + 15 x - 3 = 140 nessa raiz, temos:

2 x 2 + 15 x - 3 = 2 x 2 + 15 x - 3

Logo, x = - 13 é uma das soluções do problema!

Passo 3

Agora consideramos:

2 x 2 + 15 x - 3 = - 2 x 2 + 15 x - 3

Substituindo: - 2 x 2 + 15 x - 3 = x 2 + 2 x - 3   ⟹ - 3 x 2 - 17 x + 6 = 0

Que possui raízes:

x = - 6 x = 1 3

Para a primeira raiz, temos: 2 x 2 + 15 x - 3 → - 21 = - 1 - 21 ← x 2 + 2 x - 3

Dessa maneira, para a primeira raiz, temos: 2 x 2 + 15 x - 3 = x 2 + 2 x - 3

Que segue as condições e será solução do problema. Agora, para a segunda raiz:

2 x 2 + 15 x - 3 = 20 9 = 20 9

Que leva a:

2 x 2 + 15 x - 3 ≠ x 2 + 2 x - 3  

Que viola as condições impostas e não faz parte da solução do problema.

Com isso, o conjunto solução será: S = - 13 , - 6

Resposta

S = - 13 , - 6

Exercício Resolvido #4

Fundamentos da Matemática Elementar Vol. 2 Gelson Iezzi.

Resolva em R   as seguintes equações:

x 2 + 2 x - 3 - x 2 - x + 2 = 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos dar uma arrumada nessa equação! Passando um dos módulos pro lado direito:

x 2 + 2 x - 3 = 2 + x 2 - x + 2

Desta forma:

± x 2 + 2 x - 3 = 2 + x 2 - x + 2

Opa, mas calma lá! Porque o sinal de ± não apareceu no lado direito? Não foi mágica nem nada, o que acontece é que x 2 - x + 2 é sempre positivo, não importa o valor de x que a gente escolha. Chegamos então a 2 casos:

x 2 + 2 x - 3 = 2 + x 2 - x + 2

- x 2 + 2 x - 3 = 2 + x 2 - x + 2

Passo 2

O primeiro caso fica

x 2 + 2 x - 3 = 2 + x 2 - x + 2

Os x 2 vão sumir, daí vai sobrar só uma equaçãozinha do 1º grau:

3 x = 7

⇒ x = 7 3

Passo 3

O terceiro caso fica

- x 2 + 2 x - 3 = 2 + x 2 - x + 2

2 x 2 + x + 1 = 0

E a fórmula de Bhaskara nos dá

Δ = 1 2 - 4.2 . 1 = - 7

Nesse caso, a equação de segundo grau não nos dá raízes reais. Uma pena : (

Resposta

x = 7 3

Exercício Resolvido #5

UVA - Adriana Tostes - Lista 4 - 1j

Resolve em R as equações: x 2 - 4 x - 5 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como o módulo é sempre positivo, temos que: x 2 = x 2

Que também sempre será positivo por estar elevado ao quadrado. Assim sendo, podemos reescrever a equação da seguinte forma: x 2 - 4 x - 5 = 0 ⟹ x 2 - 4 x - 5 = 0

Podemos agora separar essa equação em duas, uma para qual:

x = x

E outra para qual:

x = - x

Vamos fazê-lo.

Passo 2

Para x = x , temos:

x 2 - 4 x - 5 = 0

Que tem raízes: x = - 1 x = 5

Como x = x para valores positivos ( x > 0 ), então x = - 1 viola as condições impostas e não é parte da solução, restando, portanto, x = 5 .

Passo 3

Para x = - x , temos:

x 2 + 4 x - 5 = 0

Que tem raízes: x = - 5 x = 1

Como x = - x para valores negativos ( x < 0 ), então x = 1 viola as condições impostas e não é parte da solução, restando, portanto, x = - 5 .

Assim sendo, as solução do problema será: S = - 5,5

Resposta

S = - 5,5

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