Responde Aí

Equação Modular

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Teoria

Fala aí! Bora aprender sobre Equação Modular com o Responde Aí?!

Partiu então!

O que é uma Equação Modular?

Uma equação modular deve ter pelo menos uma incógnita (x) dentro do módulo, assim:

O valor de todo módulo é sempre positivo independente do número dentro ser positivo ou negativo.

Beleza, mas vamos entender melhor o que é um módulo!

O que é um Módulo?

O módulo é simples! Quando o número é positivo, o módulo é exatamente o número. Já quando é negativo, o módulo é igual ao valor positivo do número.

Para ser igual a parte positiva quando o argumento é negativo, multiplica-se por :

Sim, é só isso! O módulo surge muito para definir o conceito de distância. A distância não está relacionada com nenhum sentido e não pode ser considerada negativa, por isso o módulo trata de valores positivos. Dessa maneira, o seu valor será o módulo do número ou o seu valor absoluto.

O módulo é usado para definir o conceito de distância.
O módulo é usado para definir o conceito de distância.

Veja que a distância é a mesma para e , dessa maneira:

Entendeu a lógica? Sempre que o número for positivo o seu módulo é ele mesmo, e sempre que um número for negativo nós multiplicamos ele por . Escrevendo isso com um pouco mais de rigorosidade vai ser:

Essa é a ideia do módulo!

Como Resolver uma Equação Modular pela Definição

Agora vamos ver como resolver as equações envolvendo módulo. Aqui não tem muito mistério, temos uma forma que sempre funciona. Vamos resolver pela definição!

Pra isso vamos voltar ao nosso exemplo inicial:

O que é resolver pela definição? É usarmos a definição de módulo para resolver a nossa função!

Fazemos uma análise de sinal:

Agora vamos resolver essa equação para cada intervalo.
Começando com :

Achando a resposta temos que ver se ela está no intervalo que estamos trabalhando, e está, pois . Então essa solução é válida:
Agora com :

Esse valor está no intervalo que estamos vendo, então a solução vai ser:

Entendeu a ideia? Claro que isso pode ser mais complexo, nos exercícios vamos ver outros casos!

Como Resolver uma Equação Modular - Macete

A outra forma é um pouco mais maceteada mas é sempre fazer a mesma coisa, ela não se preocupa com a definição. Vamos refazer o exemplo com isso:

Agora vamos transformar isso em duas equações diferentes, uma igualando o cara dentro do módulo a e outra igualando o cara dentro do módulo a :

Agora é só olharmos rapidinho se esses valores servem na equação:

Ok, os dois valores valem, e pronto terminamos a nossa conta. Entendeu a lógica? Primeiro consideramos o valor dentro do módulo como ele mesmo e vemos se o resultado está dentro do intervalo onde isso é verdade. Depois, consideramos o valor dentro do módulo multiplicado por , achamos a solução e depois vemos se a resposta está dentro do intervalo também.
Vou te mostrar uma intuição geométrica disso! Lembra que eu falei que o módulo fala de distância? Então, se você se deparar com algo assim:

Você tem que pensar quais números perto de distam unidades dele. Normalmente pensamos em números inteiros, então olha a reta inteira aqui:

Seguimento de reta.
Seguimento de reta.

Olha aqui em cima, quais números têm unidades de distância do ?
Concorda comigo que são os números: e Tem três espacinhos deles pro !
De uma forma geral, quando você se deparar com:

Você estará pensando nos números que distam r unidades de ! Ou seja, é só você contar pedacinhos de a pra esquerda e depois para a direita!

A solução será a junção de todas as soluções que estão dentro dos seus respectivos intervalos.

Curtiu nosso conteúdo?! Confira então esse resumo em vídeo! 👇

Vamos aplicar isso nos exercícios? Vamos lá!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Calcule:

  1. 4
  2. - 15
  3. - 120
  4. 0

Passo 1

Opa! Vamos lá! Antes de mais nada, precisamos entender que módulo é a distância de um ponto da reta à origem:

Então, a distância do ponto 4 até a origem é 4 , concorda?!

a) Utilizando esse raciocínio,

4 = 4

Beleza?!

Passo 2

b) Aqui queremos calcular o - 15 , vamos utilizar a mesma idéia da letra (a)? Sim! Da mesma forma, a distância do ponto - 15 à origem é 15 , pois não existe distância negativa, concorda?!

Assim,

- 15 = 15

Beleza?!

c) Da mesma forma, a distância do ponto - 120   à origem é 120 . Logo,

- 120 = 120

d) Pra finalizar, falta calcularmos 0 . Aí eu te pergunto: Qual a distância do ponto 0 à origem??? Isso messsssmo! É zero! Ahahahahah

0 = 0

Beleza?!

Resposta

  1. 4
  2. 15
  3. 120
  4. 0

Exercício Resolvido #2

Resolva a equação modular abaixo

x + 10 = 4

Passo 1

Vamos lá!!! Queremos resolver a equação modular

x + 10 = 4

Certo?! Antes de fazer as continhas vamos relembrar a definição de módulo?

A definição de módulo é

a = a                   s e   a ≥ 0 - a             s e   a < 0

Beleza?! É essa idéia que vamos usar para resolver esse exercício!

Passo 2

Assim, usando a definição

x + 10 = x + 10                   s e   x + 10 ≥ 0 - x + 10       s e   x + 10 < 0

Podemos dar uma arrumada e ficaremos com

x + 10 = x + 10                   s e   x ≥ - 10 - x - 10           s e   x < - 10

Beleza?!

Agora vamos resolver essa equação por partes!

Passo 3

Começando quando   x ≥ - 10 . Nesse caso, teremos

x + 10 = 4

Para isolar o x , basta passarmos o 10 pro lado direito da equação

x = 4 - 10

Assim,

x = - 6

Beleza?!

Agora vamos utilizar o mesmo raciocínio para x < - 10 :

- x - 10 = 4

Assim, isolando o x :

- x = 4 + 10

- x = 14

Portanto,

x = - 14

Assim, nossas respostas são

x 1 =   - 6

x 2 = - 14

Show de bola?!

Resposta

x 1 =   - 6

x 2 = - 14

Exercício Resolvido #3

Calcule Aí

3 x + 4 = x + 2

Passo 1

Epaa! Let’s Go! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a definição de módulo:

a = a                   s e   a ≥ 0 - a             s e   a < 0

Beleza?!

Passo 2

Assim, usando a definição

3 x + 4 = 3 x + 4                     s e   3 x + 4 ≥ 0 - 3 x + 4       s e   3 x + 4 < 0

Podemos dar uma arrumada e ficaremos com

3 x + 4 = 3 x + 4                     s e   x ≥ - 4 3 - 3 x + 4       s e   x < - 4 3

Beleza?!

Agora vamos resolver essa equação por partes!

Passo 3

Começando quando   x ≥ - 4 3 . Nesse caso, teremos

3 x + 4 = x + 2

Precisamos então isolar o x

3 x - x = 2 - 4

Fazendo as continhas, temos

2 x = - 2

Dividindo ambos os lados por 2

x = - 1

Passo 4

Agora vamos utilizar o mesmo raciocínio para x < - 4 3 :

- 3 x - 4 = x + 2

Isolando o x

- 3 x - x = 2 + 4

Fazendo as contas,

- 4 x = 6

Assim,

x = - 6 4

Podemos simplifcar por 2 :

x = - 3 2

Assim, nossas respostas são

x 1 =   - 1

x 2 = - 3 2

Show de bola?!

Resposta

x 1 =   - 1

x 2 = - 3 2

Exercício Resolvido #4

Resolva a equação modular abaixo

| 2 x   + 4 |   =   | 3 x - 5 |

Passo 1

Fala Aí!! Para resolver essa questão, vamos utilizar a propriedade abaixo:

x = y ↔ x = y x = - y

Beleza?!

Passo 2

Assim, substituindo na propriedade, temos

| 2 x   + 4 |   =   | 3 x - 5 | ↔ 2 x   + 4 = 3 x - 5 2 x   + 4 = - 3 x + 5

Vamos resolver por partes!!

Começando pela equação de cima:

2 x   + 4 = 3 x - 5

Isolando x , temos

2 x - 3 x = - 5 - 4

- x = - 9

Ou seja,

x = 9

Beleza?!

Passo 3

Agora vamos resolver a segunda linha

2 x   + 4 = - 3 x + 5

Isolando o x , temos

2 x + 3 x = 5 - 4

Assim,

5 x = 1

Dividindo ambos os lados da equação por 5 , temos

x = 1 5

Show de bola?!

Portanto, temos como solução

x 1 = 9

x 2 = 1 5

Resposta

x 1 = 9

x 2 = 1 5

Exercício Resolvido #5

O conjunto solução S da equação 2 x - 1 = x - 1 é:

  1. S = 0 , 2 3  
  2. S = 0 , 1 3  
  3. S = ∅
  4. S = 0 , - 1  
  5. S = 0 , 4 3  

Passo 1

Vamos laááá!! Como podemos resolver essa questão? Ó, sabemos que o módulo 2 x - 1 não pode ser negativo. Assim,

x - 1 ≥ 0

Ou seja,

x ≥ 1

Mas vamos lá! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a definição de módulo:

a = a                   s e   a ≥ 0 - a             s e   a < 0

Beleza?!

Passo 2

Assim, usando a definição

2 x - 1 = 2 x - 1                     s e     2 x - 1 ≥ 0 - 2 x - 1       s e     2 x - 1 < 0

Podemos dar uma arrumada e ficaremos com

2 x - 1 = 2 x - 1                     s e     x ≥ 1 2 - 2 x + 1             s e     x < 1 2

Beleza?!

Agora vamos resolver essa equação por partes!

Passo 3

Começando quando   x ≥ 1 2 . Nesse caso, teremos

2 x - 1 = x - 1

Precisamos então isolar o x

2 x - x = - 1 + 1

Fazendo as continhas, temos

x = 0

Passo 4

Agora vamos utilizar o mesmo raciocínio para x < 1 2 :

- 2 x + 1 = x - 1

Isolando o x

- 2 x - x = - 1 - 1

Fazendo as contas,

- 3 x = - 2

Assim,

x = 2 3

MAS PERAAAA!!!

O conjunto solução seria S = 0 , 2 3   , mas pela condição inicial,

x ≥ 1

E os dois valores que encontramos são menores do que 1 . Logo, a solução correta é

S = ∅

Resposta

Letra C

Exercício Resolvido #6

Resolva em R   as seguintes equações:

x 2 + 5 x - 5 = 1

Passo 1

Aqui é molezinha. Basta só a gente fazer os estudos dos casos positivos e negativos, para x ² + 5 x - 5 = ± 1  

Vamos ter:

Caso positivo:

x ² + 5 x - 5 = + 1

x ² + 5 x - 6 = 0

Resolvendo a nossa equação do segundo grau, teremos:

x ' = 1     e     x ' ' = - 6

Caso negativo:

x ² + 5 x - 5 = - 1

x 2 + 5 x - 4 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau dessa bagaça, teremos:

x ' = 0,701       e     x ' ' = - 5,701

Daí...

Resposta

S = { - 6 ; 1 ; 0 , 701 ; - 5,701 }

Exercício Resolvido #7

Resolve Aí a seguinte equação em R :

2 x + 6 - x + 2 = 2

Passo 1

Vamos analisar os dois termos com módulo separadamente:

2 x + 6 = 2 x + 6 , 2 x + 6 > 0 ⇔ x > - 3 - 2 x - 6 , 2 x + 6 < 0 ⇔ x < - 3

x + 2 = x + 2 , x + 2 > 0 ⇔ x > - 2 - x - 2 , x + 2 < 0 ⇔ x < - 2

Passo 2

Beleza, então vamos reescrever essa equação em três intervalos diferentes:

- ∞ ,   - 3 ,   - 3 ,   - 2   e   - 2 ,   ∞

No intervalo - ∞ ,   - 3 , temos:

2 x + 6 = - 2 x - 6

x + 2 = - x - 2

Então a equação fica:

- 2 x - 6 - - x - 2 = 2

- 2 x - 6 + x + 2 = 2

- x = 6

⇒ x = - 6

Essa é uma das soluções da equação!

Passo 3

No intervalo - 3 ,   - 2 :

2 x + 6 = 2 x + 6

x + 2 = - x - 2

A equação é:

2 x + 6 - - x - 2 = 2

2 x + 6 + x + 2 = 2

3 x = - 6

⇒ x = - 2

Show, achamos mais uma solução.

Passo 4

Agora o último intervalo, - 2 ,   ∞ , onde

2 x + 6 = 2 x + 6

x + 2 = x + 2

Então a equação é

2 x + 6 - x + 2 = 2

2 x + 6 - x - 2 = 2

⇒ x = - 2

Achamos a mesma resposta que antes, então esse intervalo não agregou nada novo.

Portanto, a equação tem só duas soluções mesmo: - 6 e - 2 .

Resposta

x = - 6     o u     x = - 2

Exercício Resolvido #8

Resolva em R as equações: 2 x 2 + 15 x - 3 = x 2 + 2 x - 3  

Passo 1

Como o lado esquerdo tá dentro do módulo, vamos dividir a equação em duas, uma para qual: 2 x 2 + 15 x - 3 = 2 x 2 + 15 x - 3

E outra em que:

2 x 2 + 15 x - 3 = - 2 x 2 + 15 x - 3

Passo 2

Para a primeira, temos:

2 x 2 + 15 x - 3 = x 2 + 2 x - 3   ⟹ x 2 + 13 x = 0 ⟹ x x + 13

Logo, as raízes serão: x = 0 x = - 13

Mas pra esses valores serem raiz, a gente tem que ver se eles batem com a condição inicial! A primeira, no caso, em que:

2 x 2 + 15 x - 3 = 2 x 2 + 15 x - 3

Então pro valor ser raiz, quando a gente substituir na equação temos que achar um valor positivo.

Vamos ver se esses valores batem com a condição:

2 x 2 + 15 x - 3 = 2 x 2 + 15 x - 3

Para x = 0 :

2 x 2 + 15 x - 3 = 2 ⋅ 0 2 + 15 ⋅ 0 - 3 = - 3 = 3

Como 2 x 2 + 15 x - 3 = 3 e 2 x 2 + 15 x - 3 = - 3 nessa raiz, temos:

2 x 2 + 15 x - 3 ≠ 2 x 2 + 15 x - 3

O que viola a condição imposta e, portanto, x 1 = 0 não é raiz!

Vamos testar agora para x 2 = - 13 : 2 x 2 + 15 x - 3 = 2 ⋅ - 13 2 + 15 ⋅ - 13 - 3 = 140 = 140

Como 2 x 2 + 15 x - 3 = 140 e 2 x 2 + 15 x - 3 = 140 nessa raiz, temos:

2 x 2 + 15 x - 3 = 2 x 2 + 15 x - 3

Logo, x = - 13 é uma das soluções do problema!

Passo 3

Agora consideramos:

2 x 2 + 15 x - 3 = - 2 x 2 + 15 x - 3

Substituindo: - 2 x 2 + 15 x - 3 = x 2 + 2 x - 3   ⟹ - 3 x 2 - 17 x + 6 = 0

Que possui raízes:

x = - 6 x = 1 3

Para a primeira raiz, temos: 2 x 2 + 15 x - 3 → - 21 = - 1 - 21 ← x 2 + 2 x - 3

Dessa maneira, para a primeira raiz, temos: 2 x 2 + 15 x - 3 = x 2 + 2 x - 3

Que segue as condições e será solução do problema. Agora, para a segunda raiz:

2 x 2 + 15 x - 3 = 20 9 = 20 9

Que leva a:

2 x 2 + 15 x - 3 ≠ x 2 + 2 x - 3  

Que viola as condições impostas e não faz parte da solução do problema.

Com isso, o conjunto solução será: S = - 13 , - 6

Resposta

S = - 13 , - 6

Exercício Resolvido #9

Resolva em R   as seguintes equações:

x 2 + 2 x - 3 - x 2 - x + 2 = 2

Passo 1

Vamos dar uma arrumada nessa equação! Passando um dos módulos pro lado direito:

x 2 + 2 x - 3 = 2 + x 2 - x + 2

Desta forma:

± x 2 + 2 x - 3 = 2 + x 2 - x + 2

Opa, mas calma lá! Porque o sinal de ± não apareceu no lado direito? Não foi mágica nem nada, o que acontece é que x 2 - x + 2 é sempre positivo, não importa o valor de x que a gente escolha. Chegamos então a 2 casos:

x 2 + 2 x - 3 = 2 + x 2 - x + 2

- x 2 + 2 x - 3 = 2 + x 2 - x + 2

Passo 2

O primeiro caso fica

x 2 + 2 x - 3 = 2 + x 2 - x + 2

Os x 2 vão sumir, daí vai sobrar só uma equaçãozinha do 1º grau:

3 x = 7

⇒ x = 7 3

Passo 3

O segundo caso fica

- x 2 + 2 x - 3 = 2 + x 2 - x + 2

2 x 2 + x + 1 = 0

E a fórmula de Bhaskara nos dá

Δ = 1 2 - 4.2 . 1 = - 7

Nesse caso, a equação de segundo grau não nos dá raízes reais. Uma pena : (

Resposta

x = 7 3

Exercício Resolvido #10

Resolve em R as equações: x 2 - 4 x - 5 = 0

Passo 1

Como o módulo é sempre positivo, temos que: x 2 = x 2

Que também sempre será positivo por estar elevado ao quadrado. Assim sendo, podemos reescrever a equação da seguinte forma: x 2 - 4 x - 5 = 0 ⟹ x 2 - 4 x - 5 = 0

Podemos agora separar essa equação em duas, uma para qual:

x = x

E outra para qual:

x = - x

Vamos fazê-lo.

Passo 2

Para x = x , temos:

x 2 - 4 x - 5 = 0

Que tem raízes: x = - 1 x = 5

Como x = x para valores positivos ( x > 0 ), então x = - 1 viola as condições impostas e não é parte da solução, restando, portanto, x = 5 .

Passo 3

Para x = - x , temos:

x 2 + 4 x - 5 = 0

Que tem raízes: x = - 5 x = 1

Como x = - x para valores negativos ( x < 0 ), então x = 1 viola as condições impostas e não é parte da solução, restando, portanto, x = - 5 .

Assim sendo, as solução do problema será: S = - 5,5

Resposta

S = - 5,5

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