Função Exponencial

Teoria Completa

Expoentes e Raízes

Vou confessar uma coisa a você, CANSEI DE SER EXPERT NO RESPONDE AÍ. Vou trabalhar agora como empregado doméstico e quero oferecer meus serviços a VOCÊ! (Olha que privilégio, rs)

Agora olha como eu sou bonzinho, no primeiro mês eu quero ganhar míseros 2 REAIS, isso mesmo, 2 REAIS.

Maaaas tenho minhas exigências, quero que você assine um contrato de 2 anos e que todo mês você DOBRE o meu salário.

Show, né?

Prometo que faço de tudo, lavo, passo, arrumo casa, faço sua comida preferida, escolho as melhores séries pra você assistir, de quebra, ainda te ajudo em pré-cálculo hahaha

E aí, vai me contratar ou não?

Vou te dar uns 5 segundos pra pensar!!!

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Pensou?

Vamos fazer umas continhas, pra saber quanto vou ganhar em cada mês:

Fala aí, molezinha né?

Somando o meu salário nos primeiros 7 meses, a gente vai ter míseros 254 reais. Nem aperta o orçamento né?

Mesmo sendo universitário, dá pra pagar! (Ou não =D #descubra)

Vamos entender o que está acontecendo aqui na nossa tabela...

O que a gente fez foi criar um padrão, certo?

Um jeito de economizar esforço. Ao invés de escrevermos:

x = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2

Podemos escrever:

x = 2 4

(Lindo)

Agora, tente calcular o quanto eu vou ganhar no último mês de contrato...

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Vamos usar a mesma ideia, eu te disse que o contrato vai ser de 2 anos = 24 meses.

Ou seja, teremos que:

S a l á r i o 24 º   M Ê S =   2 × 2 23 = 2 24 = R $   16.777.216,00

Se você ficou com essa cara aí, não se assusta! Coisas exponenciais realmente crescem MUITO, MUUUUUUITO RÁPIDO. A ponto de eu estar ganhando 128 reais no 7º mês e aquele absurdo no 24º rs

ACHO QUE ALGUÉM DESISTIU DE ME CONTRATAR, SÓ ACHO HAHAHAHA

Ah, era brincadeira, tá? Tô muito feliz aqui falando com você, não quero trocar de emprego!

A Função Exponencial

Vamos entender melhor o processo agora, a função exponencial é uma função da forma:

f x = a x

a > 0

Onde a é um número real positivo que nós chamamos de base. O argumento x é chamado de expoente. Basicamente o que essa função faz é pegar o argumento x e multiplicar a base a por si mesma x vezes. Por exemplo:

g x = 3 x

Se fizermos o x = 2 :

g 2 = 3 2

g 2 = 9

A função exponencial também pode vir multiplicada por uma constante qualquer, por exemplo:

f x = 10 ⋅ 7 x

Daí, substituindo alguns valores teríamos:

f 3 = 10 ⋅ 7 3

f 3 = 10 ⋅ 343

f 3 = 3430

E é basicamente isso que precisamos saber do escopo da função exponencial.

Domínio e Imagem

Como a função é da forma:

f x = a x

Vamos considerar aqui uma gama de valores para x e ver o que acontece com a função.

  • x > 0 e inteiro:
  • Neste caso, temos um número positivo multiplicado por ele mesmo x > 0 vezes. Não há nenhum mal nisso e não haverá indeterminação.

  • x > 0 e não inteiro:
  • Neste caso, podemos ter uma raiz aparecendo, uma vez que, por exemplo: a 1 / 2 = a

    Porém, como a > 0 na função exponencial, a raiz será sempre positiva, e novamente está tudo ok.

  • x < 0 :

Nesse caso também não tem problema, para x negativo, temos a função vai para o denominador:

a - 5 = 1 a 5

Como a > 0 , esse denominador nunca será zero e, portanto, também não haverá indeterminação ou singularidade.

Logo, se o x pode ser qualquer coisa, temos que o x pertence aos reais, ou seja, o domínio é:

D f = R

Imagem

Já a imagem, como vamos perceber pelo gráfico, não pode ser qualquer valor. À princípio, pode parecer estranho de perceber, mas note:

a x = a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a ⏞ x   v e z e s

A função é a mesma coisa que multiplicar um número positivo ( a > 0 ) por si mesmo várias vezes. Então eu lhe pergunto, tem como o resultado dar negativo? A resposta é não. E zero? Pode dar zero? Como o a é não-nulo, não tem como. Portanto:

f x = a x > 0

Dessa forma, a imagem é qualquer número real positivo. Podemos representar esse conjunto de três maneirais:

I m f = y ∈ R y > 0

I m f = R + - { 0 }

i m f = R + *

Note o sinal de mais em cima do R , isso indica que são os reais positivos incluindo o zero. Nós fazemos a operação de excluir o elemento zero ( - { 0 } ), pois ele não faz parte da imagem.

Já o * indica que são os reais positivos excluindo o zero.

Gráfico

O gráfico da função exponencial depende da sua base. No caso, existem duas possibilidades que vamos estudar. A primeira é se a base for maior que 1 :

a > 1

O outro caso é se a base estiver entre zero e um:

1 > a > 0

No primeiro caso, o gráfico da função é uma crescente que corta o eixo y no ponto ( 0 ,   1 ) , ou ( 0 ,   k ) se a função estiver sendo multiplicada por uma constante “ k ”.

No segundo caso, a função é uma decrescente que também corta o eixo y no mesmo ponto de antes.

Repare que a função, em ambos casos, se aproxima cada vez de zero, mas não chega a esse valor.

Número de Euler

Uma função muito recorrente no cálculo é a função exponencial de base e .

f x = e x

Esse e é um número irracional assim como nosso amiguinho π . Seu valor é aproximadamente:

e ≈ 2.71 8

Existem diversas situações associadas ao número e e que serão discutidas mais para frente.

Expandir

Exercício Resolvido #1

AV1 Estácio de Sá

Um alimento mal conservado apresenta uma bactéria que se reproduz segundo a lei

N t = 100.4 t , onde t é o numero de horas e N ( t ) é o numero de bactérias. Determine o numero de bactérias na terceira hora.

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Passo 1

Essa questão é muito fácil. Por mais bizarro que pareça, é só substituir o número de horas que foi pedido.

t = 3   horas

N 3 = 100.4 3 = 100.6 4

N 3 = 640 0

Resposta

N 3 = 6400 bacterias após 3 horas.

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Considere que a expressão Q t = 700 - 400 e - 0.5 t representa a curva de aprendizagem, onde Q é a quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário, t os meses de experiência e e é o número de Euler.

a) De acordo com esta expressão, quantas peças um funcionário com 2 meses de experiência deverá produzir mensalmente.

b) E um funcionário sem qualquer experiência, quantas peças deverá produzir mensalmente?

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Passo 1

A letra (a) é bem simples. Basta substituir t = 2 na expressão dada:

Q 2 = 700 - 400 e - 1 ≈ 553

Passo 2

Sem experiência nenhuma implica em t = 0 , já que t são os meses de experiência. Dessa maneira:

Q 0 = 700 - 400 e 0 = 700 - 400 = 300

Não vai colocar que e 0 = 0 , hein? Para qualquer base, isso é sempre 1 .

Resposta

  1. 553 peças.
  2. 300 peças.

Exercício Resolvido #3

PUC - RJ 2018

Cientistas brasileiros verificaram que uma determinada colônia de bactérias triplica a cada meia hora. Uma amostra de 10000 bactérias por mililitro foi colocada em um tubo de ensaio e, após um tempo x verificou-se que o total era de 2,43 × 10 6 bactérias por mililitro.

Qual é o valor de x?

a) duas horas

b) duas horas e 30 minutos

c) 3 horas e trinta minutos

d) 48 horas

e) 264 horas

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Passo 1

Beleza, logo no início da questão, ele dá uma regra geral de como as bactérias crescem, o enunciado diz que a cada meia hora o número de bactérias triplica. Se em meia hora ela triplica em uma hora o numéro de bactérias aumenta em 9 vezes (3²)

No entanto, o número de bactérias inicial é de 10000 por mililitro.

Então podemos escrever a nossa função da seguinte forma:

f x = 10000   ×   3 2 x

Onde:

f x → Número de bactérias

x → Número de horas

Passo 2

No enunciado ele disse que o número de bactérias é igual a 2,43 × 10 6 e quer saber quanto tempo demora pra chegar nessa quantidade. Ou seja, basta igualarmos a nossa função a essa quantidade que ele deu de bactérias. Partiu?

Teremos:

10000   ×   3 2 x = 2,43 × 10 6

Melhorando a escrita, fica assim ó:

10 4   ×   3 2 x = 24 3 × 10 4

Por fim...

3 2 x = 243

3 2 x = 3 5

Então,

2 x = 5

x = 5 2 = 2,5   h  

Ou seja, a resposta será a letra B (2 horas e 30 minutos).

Tranquilo?

Resposta

Letra B

Exercício Resolvido #4

Epcar 2017

A função real definida por f x = a . 3 x + b sendo a e b constantes reais, está graficamente representada abaixo.

Pode-se afirmar que o produto (a . b) pertence ao intervalo real

a) [-4, -1[

b) [-1, 2[

c) [2, 5[

d) [5, 8[

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Passo 1

Se observarmos direitinho, veremos que o gráfico nos dá dois pontos e claro, eles não estão ali à toa. Nós vamos usar eles rs

Os pontos mostrados em nosso gráfico, são: ( 0 ,   - 1 )   e   ( 2 ,   8 )

Beleza, substituindo esses pontos na função dada, teremos:

Para o ponto ( 0 ,   - 1 )

a . 3 0 + b =   - 1

a + b = - 1

b = - 1 - a       ( * )

Para o ponto → ( 2 ,   8 )

a . 3 2 + b =   8

9 a + b = 8         ( * * )

Usando (*) em (**), teremos:

9 a - 1 - a = 8

8 a = 9

a = 9 8

b = - 1 - a = - 1 - 9 8 = - 17 8

Sendo assim, o produto entre a   e   b será:

a × b = 9 8 × - 17 8 = - 153 64 ≅ - 2,4

Ou seja, a nossa resposta estará entre - 4       e - 1

LETRA A

Resposta

Letra A

Exercício Resolvido #5

UPF 2018 (Adaptada)

Na figura abaixo, está representado um triângulo retângulo em que os vértices A e B pertencem ao gráfico da função f, definida por     f x =   2 - x - 2 .

Como indica a figura, a abscissa do ponto B é 1 a ordenada do ponto A é 2 e os pontos A e C têm a mesma abscissa. Qual a medida da área do triângulo ABC?

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Passo 1

Show, para conseguirmos encontrar a área desse triângulo vamos precisar do tamanho da base e da altura dele, para isso, antes de tudo, vamos descobrir quais são os vértices do triângulo.

Sabemos que os vértices tem as seguintes coordenadas: