Responde Aí

Função Exponencial

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Teoria

Expoentes e Raízes

Vou confessar uma coisa a você, CANSEI DE SER EXPERT NO RESPONDE AÍ. Vou trabalhar agora como empregado doméstico e quero oferecer meus serviços a VOCÊ! (Olha que privilégio, rs)

Agora olha como eu sou bonzinho, no primeiro mês eu quero ganhar míseros 2 REAIS, isso mesmo, 2 REAIS.

Maaaas tenho minhas exigências, quero que você assine um contrato de 2 anos e que todo mês você DOBRE o meu salário.

Show, né?

Prometo que faço de tudo, lavo, passo, arrumo casa, faço sua comida preferida, escolho as melhores séries pra você assistir, de quebra, ainda te ajudo em pré-cálculo hahaha

E aí, vai me contratar ou não?

Vou te dar uns 5 segundos pra pensar!!!

.

.

.

.

Pensou?

Vamos fazer umas continhas, pra saber quanto vou ganhar em cada mês:

Fala aí, molezinha né?

Somando o meu salário nos primeiros 7 meses, a gente vai ter míseros 254 reais. Nem aperta o orçamento né?

Mesmo sendo universitário, dá pra pagar! (Ou não =D #descubra)

Vamos entender o que está acontecendo aqui na nossa tabela...

O que a gente fez foi criar um padrão, certo?

Um jeito de economizar esforço. Ao invés de escrevermos:

x = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2

Podemos escrever:

x = 2 4

(Lindo)

Agora, tente calcular o quanto eu vou ganhar no último mês de contrato...

.

.

.

Vamos usar a mesma ideia, eu te disse que o contrato vai ser de 2 anos = 24 meses.

Ou seja, teremos que:

S a l á r i o 24 º   M Ê S =   2 × 2 23 = 2 24 = R $   16.777.216,00

Se você ficou com essa cara aí, não se assusta! Coisas exponenciais realmente crescem MUITO, MUUUUUUITO RÁPIDO. A ponto de eu estar ganhando 128 reais no 7º mês e aquele absurdo no 24º rs

ACHO QUE ALGUÉM DESISTIU DE ME CONTRATAR, SÓ ACHO HAHAHAHA

Ah, era brincadeira, tá? Tô muito feliz aqui falando com você, não quero trocar de emprego!

A Função Exponencial

Vamos entender melhor o processo agora, a função exponencial é uma função da forma:

f x = a x

a > 0

Onde a é um número real positivo que nós chamamos de base. O argumento x é chamado de expoente. Basicamente o que essa função faz é pegar a base a e multiplicar por si mesma x vezes. Por exemplo:

g x = 3 x

Se fizermos o x = 2 :

g 2 = 3 2

g 2 = 3 × 3 = 9

A função exponencial também pode vir multiplicada por uma constante qualquer, por exemplo:

f x = 10 ⋅ 7 x

Daí, substituindo alguns valores teríamos:

f 3 = 10 ⋅ 7 3

f 3 = 10 ⋅ 7 × 7 × 7

f 3 = 3430

E é basicamente isso que precisamos saber do escopo da função exponencial.

Domínio

Vamos tomar como exemplo a função

f x = 2 x

E vamos considerar aqui diferentes valores de x pra ver o que acontece com a função:

  • x > 0 e inteiro:
  • Neste caso, temos um número positivo multiplicado por ele mesmo x > 0 vezes. Não há nenhum mal nisso e não haverá indeterminação.

  • x > 0 e não inteiro:
  • Neste caso, podemos ter uma raiz aparecendo, uma vez que, por exemplo: 2 1 / 2 = 2

    Porém, como definimos que a > 0 na função exponencial, a raiz será sempre positiva, e novamente está tudo ok!

  • x < 0 :

Nesse caso também não tem nenhum problema, já que sempre que o expoente é negativo, descemos a potência para o denominador, por exemplo:

2 - 5 = 1 2 5

A única coisa que poderia dar problema aqui é se tivéssemos zero embaixo, já que não conseguimos dividir por zero. Porém, como a > 0 , esse denominador nunca será zero, então também não haverá indeterminação ou singularidade.

Logo, se o x pode ser qualquer coisa, temos que o x pertence aos reais, ou seja, o domínio é:

D f = R

Gráfico

O gráfico da função exponencial depende da sua base. No caso, existem duas possibilidades que vamos estudar. A primeira é se a base for maior que 1 :

a > 1

O outro caso é se a base estiver entre zero e um:

0 < a < 1

No primeiro caso, o gráfico da função é uma crescente que corta o eixo y no ponto ( 0 ,   1 ) , ou ( 0 ,   k ) se a função estiver sendo multiplicada por uma constante “ k ”.

No segundo caso, a função é uma decrescente que também corta o eixo y no mesmo ponto de antes.

Repare que a função, em ambos casos, se aproxima cada vez mais de zero, mas nunca chega a esse valor.

Imagem

Vimos que o domínio é composto por todo o conjunto dos números reais, mas a imagem, que é o conjunto dos valores que o y assume, vai ser limitado. À princípio, pode parecer estranho de perceber, mas note:

a x = a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a ⏞ x   v e z e s

A função é a mesma coisa que multiplicar um número positivo ( a > 0 ) por si mesmo várias vezes. Então eu lhe pergunto, tem como o resultado dar negativo? A resposta é não, já que a multiplicação de números positivos, sempre dá outro número positivo.

E zero? Pode dar zero? Como o a é diferente de zero, também não tem como. Portanto:

f x = a x > 0

Dessa forma, a imagem é qualquer número real positivo, como podemos perceber nos gráficos onde a função está representada apenas acima do eixo x !

Podemos representar esse conjunto de três maneirais:

I m f = y ∈ R y > 0

I m f = R + - { 0 }

i m f = R + *

O sinal de mais em cima do R indica que são os reais positivos incluindo o zero. Nós fazemos a operação de excluir o elemento zero ( - { 0 } ), pois ele não faz parte da imagem.

Já o * indica que são os reais positivos excluindo o zero, que é exatamente a imagem da função!

Número de Euler

Uma função muito recorrente no cálculo é a função exponencial de base e .

f x = e x

Esse e é um número irracional assim como nosso amiguinho π . Seu valor é aproximadamente:

e ≈ 2.718

Existem diversas situações associadas ao número e e que serão discutidas mais para frente.

A Função Exponencial

Domínio

Gráfico

Imagem

Número de Euler

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine o valor de a , tal que a   ϵ   R , de forma que a função exponencial

f x = a - 12 x

Seja decrescente.

Passo 1

Fala Aíí!! Para resolver essa questão precisamos relembrar que a função decrescente fica entre 0 e 1 :

0 < a < 1

Assim, a função a - 12 x será decrescente quando

0 < a - 12 < 1

Beleza?!

Passo 2

Assim, podemos somar + 12 aos membros da desigualdade, ficando com

0 + 12 < a - 12 + 12 < 1 + 12

Fazendo as continhas, temos

12 < a < 13

Portanto, a função será decrescente quando

12 < a < 13

Show de bola?!

Resposta

12 < a < 13

Exercício Resolvido #2

Determine o valor de a , tal que a   ϵ   R , de forma que a função exponencial

f x = a - 12 x

Seja crescente.

Passo 1

Fala Aíí!! Para resolver essa questão precisamos relembrar que a função decrescente fica entre 0 e 1 :

a > 1

Assim, a função a - 12 x será crescente quando

a - 12 > 1

Beleza?!

Passo 2

Assim, podemos somar + 12 aos membros da desigualdade, ficando com

a - 12 + 12 > 1 + 12

Fazendo as continhas, temos

a > 13

Portanto, a função será crescente quando

a > 13

Show de bola?!

Resposta

a > 13

Exercício Resolvido #3

Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t   anos após a sua compra, é dado por

v ( t ) = v 0   .   2 - 0,2 t

em que v 0  é uma constante real.

Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R $   12 . 000,00 , determine o valor que ela foi comprada.

Passo 1

Fala Aíí! Queremos determinar o valor que a máquina foi comprada após 10 anos, certo? Como podemos descobrir esse valor?

Note que temos a carinha da nossa função exponencial que diz o valor da máquina após um determinado tempo:

v ( t ) = v 0   .   2 - 0,2 t

Como queremos saber o valor que a máquina foi comprada, queremos encontrar o valor de v 0 !

Passo 2

Então vamos lá! Nossa função tem a carinha

v ( t ) = v 0   .   2 - 0,2 t

E no enunciado temos as informações de

t = 10

E o valor que a máquina está valendo após esses 10 anos

v t = 12000

Assim, podemos substituir esses valores na função

12000 = v 0   .   2 - 0,2 10

Fazendo as continhas para isolar v 0 , temos

12000 = v 0   .   2 - 2

12000 = v 0   . 1 2 2

12000 = v 0   . 1 4

Assim,

v 0 = 12000 × 4

v 0 = 48 000

Logo, a máquina foi comprada por R $   48 . 000,00 !!

Resposta

A máquina foi comprada por R $   48 . 000,00 .

Exercício Resolvido #4

Numa certa cidade, o número de habitantes, num raio de r   k m a partir do seu centro é dado por

P ( r )   =   k   .   2 3 r

em que k é constante e r > 0 .

Se há 98   304 habitantes num raio de 5   k m do centro, quantos habitantes há num raio de 3   k m do centro?

Passo 1

Vamos lááá!! Queremos encontrar a quantidade de habitantes num raio de 3   k m do centro, certo?!

Ou seja,

P 3   =   k   .   2 3 3

Epa! Mas temos esse k no nosso caminho. Como podemos descobrir o valor dele?

Vamos começar por aí!!

Passo 2

Se você reparar, no enunciado nos é dada a seguinte informação: “Se há 98   304 habitantes num raio de 5   k m do centro...”. Vamos utilizar essa informação para encontrar o valor da constante k !

Temos a quantidade de habitantes e o raio:

P r = 98   304

r = 5

Substitundo essas informações na nossa função exponencial

P ( r )   =   k   .   2 3 r

Temos

98   304 =   k   .   2 3 ( 5 )

98   304 =   k   .   2 15

Assim,

98304 2 15   =   k  

Então já temos o valor da constante k = 98304 2 15   !

Passo 3

Agora conseguimos encontrar a quantidade de habitantes num raio de 3   k m do centro:

P 3   =   k   .   2 3 3

Substituindo o valor da constante k , temos

P 3   = 98304 2 15   .   2 9

Assim,

P 3   = 98304 2 6  

Logo,

P 3   = 1536  

Ou seja,   1536 é o número de habitantes num raio de 3   k m do centro.

Resposta

P 3   = 1536  

Exercício Resolvido #5

Seja

f x = 3 x - 4 + 3 x - 3 + 3 x - 2 + 3 x - 1

O valor de x para que se tenha f x = 40 é:

  1. 0
  2. - 2
  3. 1
  4. 4
  5. 3

Passo 1

Vamos lá!! A carinha da função exponencial f x e queremos encontrar o valor de x de forma que f x = 40 , certo? Como podemos fazer isso??

Primeiro passo é substituir a função f x = 3 x - 4 + 3 x - 3 + 3 x - 2 + 3 x - 1

Na igualdade

f x = 40

Beleza?! Assim,

3 x - 4 + 3 x - 3 + 3 x - 2 + 3 x - 1 = 40

Passo 2

Se você reparar, todos os termos do lado esquerdo da equação tem o 3 x , então vamos colocá-lo em evidência, beleza?!

3 x 3 - 4 + 3 - 3 + 3 - 2 + 3 - 1 = 40

Tá... mas como podemos tirar esses expoentes negativos??

Bom, podemos inverter o sinal do expoente transformando-o em uma fração! Vai ficar assim:

3 x 1 3 4 + 1 3 3 + 1 3 2 + 1 3 1 = 40

Beleza?!

Passo 3

Fazendo as continhas, temos

3 x 1 81 + 1 27 + 1 9 + 1 3 = 40

Agora podemos fazer o MMC entre os denominadores, assim

M M C 81,27,9 , 3 = 81

Continuando as continhas, temos

Passo 4

Agora passaremos o 40 81 para o lado direito da equação. Para isso, precisaremos inverter o numerador e o denominador:

OPA! Podemos simplificar e cortar o 40 !!

Assim, ficamos com

Passo 5

Ó, do lado esquerdo da equação temos um número com base 3 , certo? Vamos tentar escrever o lado direito da equação como um número de base 3 também???

Se você reparar, podemos reescrever o número 81 como

Assim, ficamos com

Dessa forma conseguimos encontrar o valor de x :

Resposta

L e t r a   D

Exercício Resolvido #6

Um alimento mal conservado apresenta uma bactéria que se reproduz segundo a lei

N t = 100.4 t , onde t é o numero de horas e N ( t ) é o numero de bactérias. Determine o numero de bactérias na terceira hora.

Passo 1

Essa questão é muito fácil. Por mais bizarro que pareça, é só substituir o número de horas que foi pedido.

t = 3   horas

N 3 = 100.4 3 = 100.6 4

N 3 = 640 0

Resposta

N 3 = 6400 bacterias após 3 horas.

Exercício Resolvido #7

Considere que a expressão Q t = 700 - 400 e - 0.5 t representa a curva de aprendizagem, onde Q é a quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário, t os meses de experiência e e é o número de Euler.

a) De acordo com esta expressão, quantas peças um funcionário com 2 meses de experiência deverá produzir mensalmente.

b) E um funcionário sem qualquer experiência, quantas peças deverá produzir mensalmente?

Passo 1

A letra (a) é bem simples. Basta substituir t = 2 na expressão dada:

Q 2 = 700 - 400 e - 1 ≈ 553

Passo 2

Sem experiência nenhuma implica em t = 0 , já que t são os meses de experiência. Dessa maneira:

Q 0 = 700 - 400 e 0 = 700 - 400 = 300

Não vai colocar que e 0 = 0 , hein? Para qualquer base, isso é sempre 1 .

Resposta

  1. 553 peças.
  2. 300 peças.

Exercício Resolvido #8

Cientistas brasileiros verificaram que uma determinada colônia de bactérias triplica a cada meia hora. Uma amostra de 10000 bactérias por mililitro foi colocada em um tubo de ensaio e, após um tempo x verificou-se que o total era de 2,43 × 10 6 bactérias por mililitro.

Qual é o valor de x?

a) duas horas

b) duas horas e 30 minutos

c) 3 horas e trinta minutos

d) 48 horas

e) 264 horas

Passo 1

Beleza, logo no início da questão, ele dá uma regra geral de como as bactérias crescem, o enunciado diz que a cada meia hora o número de bactérias triplica. Se em meia hora ela triplica em uma hora o numéro de bactérias aumenta em 9 vezes (3²)

No entanto, o número de bactérias inicial é de 10000 por mililitro.

Então podemos escrever a nossa função da seguinte forma:

f x = 10000   ×   3 2 x

Onde:

f x → Número de bactérias

x → Número de horas

Passo 2

No enunciado ele disse que o número de bactérias é igual a 2,43 × 10 6 e quer saber quanto tempo demora pra chegar nessa quantidade. Ou seja, basta igualarmos a nossa função a essa quantidade que ele deu de bactérias. Partiu?

Teremos:

10000   ×   3 2 x = 2,43 × 10 6

Melhorando a escrita, fica assim ó:

10 4   ×   3 2 x = 24 3 × 10 4

Por fim...

3 2 x = 243

3 2 x = 3 5

Então,

2 x = 5

x = 5 2 = 2,5   h  

Ou seja, a resposta será a letra B (2 horas e 30 minutos).

Tranquilo?

Resposta

Letra B

Exercício Resolvido #9

A função real definida por f x = a . 3 x + b sendo a e b constantes reais, está graficamente representada abaixo.

Pode-se afirmar que o produto (a . b) pertence ao intervalo real

a) [-4, -1[

b) [-1, 2[

c) [2, 5[

d) [5, 8[

Passo 1

Se observarmos direitinho, veremos que o gráfico nos dá dois pontos e claro, eles não estão ali à toa. Nós vamos usar eles rs

Os pontos mostrados em nosso gráfico, são: ( 0 ,   - 1 )   e   ( 2 ,   8 )

Beleza, substituindo esses pontos na função dada, teremos:

Para o ponto ( 0 ,   - 1 )

a . 3 0 + b =   - 1

a + b = - 1

b = - 1 - a       ( * )

Para o ponto → ( 2 ,   8 )

a . 3 2 + b =   8

9 a + b = 8         ( * * )

Usando (*) em (**), teremos:

9 a - 1 - a = 8

8 a = 9

a = 9 8

b = - 1 - a = - 1 - 9 8 = - 17 8

Sendo assim, o produto entre a   e   b será:

a × b = 9 8 × - 17 8 = - 153 64 ≅ - 2,4

Ou seja, a nossa resposta estará entre - 4       e - 1

LETRA A

Resposta

Letra A

Exercício Resolvido #10

Na figura abaixo, está representado um triângulo retângulo em que os vértices A e B pertencem ao gráfico da função f, definida por     f x =   2 - x - 2 .

Como indica a figura, a abscissa do ponto B é 1 a ordenada do ponto A é 2 e os pontos A e C têm a mesma abscissa. Qual a medida da área do triângulo ABC?

Passo 1

Show, para conseguirmos encontrar a área desse triângulo vamos precisar do tamanho da base e da altura dele, para isso, antes de tudo, vamos descobrir quais são os vértices do triângulo.

Sabemos que os vértices tem as seguintes coordenadas:

A → x 1 ,   2

B → ( 1 ,   y 1 )

C → ( x 1 ,     y 1 )

Precisamos descobrir os valores de     x 1   e   y 1 .

Olhando para o primeiro ponto (A) e substituindo na nossa lei de formação, teremos:

  2 - x 1 - 2 = 2

2 - x 1 = 4

2 - x 1 = 2 ²

Entããããão ...

- x 1 = 2

x 1 = - 2

Beleza, vamos olhar para o ponto B agora e fazer o mesmo processo (Substituir na lei de formação):

  y 1 = 2 - 1 - 2

  y 1 = - 3 2 = - 1,5

Ou seja, os vértices do triângulo serão:

A → - 2 ,   2

B → ( 1 , - 1.5 )

C → ( - 2 ,   - 1.5 )

Passo 2

Marcando as coordenadas dos nossos vértices,nossa figura ficará assim:

Beleza, com esses nossos vértices, o nosso triângulo terá os seguintes valores para a base e a altura:

Sendo assim, a área será dada por:

A T R I A N G U L O = b × h 2

A T R I A N G U L O = 3 × 3,5 2

A T R I A N G U L O = 5,25   u . a .

Resposta

A T R I A N G U L O = 5,25   u . a .

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