Teoria Completa
O logaritmo
FALAAAAAAA AÍ, TUDO BEM COM VOCÊ?
Se a resposta for não, isso deve estar intimamente associado à palavra LOGARITMO hahahaha
Se você tem trauma com o famoso , muito provavelmente você carrega ele desde a época do Ensino Médio. Mas relaxa, logaritmo não é esse bicho papão que parece ser, por dentro ele é um amorzinho!
O logaritmo sempre está associado ao expoente! Então vamos falar um pouquinho da função exponencial, aqui segue um exemplo:
Neste exemplo nós temos uma base que esta elevada ao quadrado, ou seja, nosso expoente é . Fazendo essa conta chegamos ao resultado que é .
Agora eu vou mudar um pouco a pergunta. Se eu pergunto quantas vezes o número foi multiplicado até chegar a ? Para responder isso, eu vou usar a função logarítmica. Desta forma teremos:
E calculando isso chegaremos que,
Ou seja, novamente, quero que você pense que logaritmo = EXPOENTE.
A função logarítmica
Então a pergunta que sempre vamos fazer será:
“A base elevada a qual número tem como resultado?"
A função logarítmica é justamente a generalização da ideia acima. Uma função logarítmica tem a fórmula geral
Onde é a base, é o logaritmando e o resultado é logaritmo, e ele equivale ao expoente em uma função exponencial.
Gráfico da função logarítmica
O gráfico da função logarítmica é o igual ao gráfico da função exponencial virado, como no
gráfico de abaixo:
Analisando da direita para à esquerda, vemos que o gráfico se aproxima negativamente do eixo para valores próximo de , mas nunca o toca (ao contrário do que pode parecer na figura).
A curva também toca o eixo no ponto cinza é justamente , uma vez que:
Qual expoente que leva qualquer número a ter como resultado ? 0
Para qualquer .
A partir disso, a função cresce indefinidamente.
Imagem e Domínio
Reparou que no gráfico não apareceu nenhum valor negativo de Isso acontece porque não dá para elevar um número positivo a alguma coisa e ter um resultado negativo com isso. Dessa maneira, já restringimos o domínio da função logarítmica para valores positivos dentro do log.
Ou seja, para , temos que todos os resultados são valores reais positivos.
Já para , novamente precisamos que os valores dentro do log sejam positivos, portanto:
Achando o na função
Imagine que tenhamos a função
E queremos saber o valor de para qual .
Vamos transformar esse problema em um exponencial! Então a pergunta que faríamos é: “A base elevada a qual número tem como resultado?"
Então, o que o problema está nos dizendo é que “a base elevada a 16 é igual a resultado", ou seja,
Isolando o ficamos com,
Lembrando que em divisão de exponenciais com a mesma base, a gente repete a base e substrai os expoentes!
O logaritmo natural
O logaritmo natural é justamente o log de base , que é o número de Euler. O que você precisa saber dele agorá é que ele recebe uma notação particular de ln, podendo ser por exemplo:
Dentre várias outras possibilidades.
Então se você ver um ln por aí já sabe que temos uma função logarítmica!
Exercício Resolvido #1
Determine o domínio da função abaixo
Passo 1
Para determinar o domínio, vamos começar identificando onde podem aparecer os problemas. Temos uma raiz aí no meio, então nossa primeira restrição é que a parada dentro da raiz deve ser positiva.
Passo 2
Temos um ali também, lembra como faz isso? O cara dentro do deve ser maior que zero
Repara que não coloquei isso porque o ou nunca podem ter alguém dentro deles igual a .
Passo 3
Temos o último problema que é a fração, o seu denominador deve ser diferente de , vamos achar quais valores ele zera
Resolvendo a equação de Bháskara vamos achar
Então essa nossa ultima restrição é
Passo 4
Vamos juntar todas as restrições aqui
Repara que as duas últimas são inúteis, porque elas já estão incluídas na segunda restrição, afinal já garante que ele é diferente de e .
Juntando tudo fica então
Passo 5
Escrevendo isso daquela forma bonitinha, primeiro colocamos
Resposta
Exercício Resolvido #2
O valor do imposto pago por uma certa empresa, com em milhares, em função do tempo, ocorre segundo a função
Determine o valor do imposto pago daqui a 4 anos e o tempo no qual o imposto pago é 6mil.
Passo 1
Aqui basta substituir o valor do tempo anos:
Como
Passo 2
Agora vamos calcular o tempo, para o imposto ser pago quando
anos
Resposta
anos
Exercício Resolvido #3
Os alunos do curso de Biologia de uma determinada faculdade observaram que o número de flores em uma árvore X segue o modelo matemático onde é a quantidade de flores após h horas de observação. Após quanto tempo de observação esta árvore estará com apenas 10 flores?
a) 6 horas.
b) 25 horas.
c) 20 horas.
d) 21 horas.
e) 64 horas.
Passo 1
Logo no início da questão, ele nos deu a função logarítmica que vamos utilizar para fazer a questão:
O enunciado nos pergunta em quantas horas ele vai produzir 10 flores, em outras palavras, queremos
Show?
Passo 2
Fazendo essa igualdade, teremos o seguinte:
Ou sejaaaaa
Ou seja, a resposta será: Letra D
Resposta
Letra D
Exercício Resolvido #4
Considere a função real f, dada pela lei
a) Desenhe o gráfico de
b) Calcule k, de modo que se tenha Se necessário, utilize a aproximação:
Passo 1
Primeiramente, vamos falar a respeito do domínio da nossa função, sabemos pela condição de existência que , Show?
Agora, vamos analisar a melhor a nossa lei de formação, observa ela um pouquinho:
Acho que você concorda comigo que a gente precisa mexer um pouco nela, rs. Afinal, está difícil entender o que faremos... A pergunta que não quer calar é: O que vamos fazer?
Lembra daquelas propriedades que a gente aplicava em logaritmos?
Observe a mágica acontecer:
Portanto, o gráfico da função f, NESSE CASO, será o mesmo de uma função do 1º grau!!!
Nosso gráfico vai ficar assim:
Muita atenção as restrições de domínio que vimos acima: . Por isso tanto no x igual a zero quanto no x igual a um, temos a “bolinha aberta”.
Shooow?
Passo 2
Agora vamos a parte b)
No item a) descobrimos que
Então, por consequência
Portanto, podemos escrever
Da seguinte forma:
Como queremos encontrar um valor que está no expoente, vamos aplicar um logaritmo de base 10 dos dois lados (Lembra? Logaritmo=Expoente).
Sendo que
Com isso temos:
O enunciado disse que, então:
Maneiro, né? =D
Resposta
a)
b)
Exercício Resolvido #5
A curva do gráfico abaixo representa a função
Qual a área do retângulo ABCD?
Passo 1
Beleza, sempre que você for resolver uma questão, algo importante é pensar o que você quer encontrar e qual a estratégia você vai usar para resolvê-la. No nosso caso, queremos encontrar a área do retângulo ABCD.
O que precisamos para encontrar a área?
No entanto, contudo, todavia... Para encontrarmos o valor da base e da altura necessitamos descobrir pelo menos as coordenadas de três dos 4 vértices.
Então essa é a primeira coisa que vamos fazer. Partiu?
Passo 2
Já sabemos que a base tem um tamanho 6, falta acharmos o tamanho da altura. Para isso, vamos descobrir a coordenada dos vértices C e A.
Vértice C
Vamos substituir o x na lei de formação para descobrirmos o valor de y. Nossa lei de formação é dada por:
Substituindo, ficamos assim:
Ou seja,
Vértice A
Vamos descobrir agora o , pois eles serão iguais. Vamos fazer isso porque caso tentássemos fazer igual fizemos acima, encontraríamos as mesmas coordenadas do vértice C. Vamos nessa:
Substituindo, ficamos assim:
Ou seja,
E o valor de é igual ao de . O nosso gráfico vai ficar assim, então:
Ou seja, nossa altura será igual a
Passo 3
Nosso retângulo vai ficar com as seguintes dimensões:
Agora é tranquilo calcularmos a área, vai ficar assim ó: