Função Logarítmica

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Teoria

O logaritmo

FALAAAAAAA AÍ, TUDO BEM COM VOCÊ?

Se a resposta for não, isso pode estar intimamente associado à palavra LOGARITMO.

Se você tem trauma com o famoso l o g , muito provavelmente você carrega ele desde a época do Ensino Médio. Mas relaxa, o logaritmo não precisa ser esse bicho papão que parece.

O logaritmo sempre está associado a um expoente! Então vamos falar um pouquinho dos expoentes, aqui segue um exemplo:

3 2 = 3 × 3 = 9

Neste exemplo, nós temos uma base 3 que está elevada ao quadrado, ou seja, nosso expoente é 2 . Para fazer essa conta, multiplicamos o 3 por ele mesmo duas vezes e chegamos ao resultado, que é o 9 .

Agora eu vou mudar um pouco a pergunta. O que acontece se eu quiser saber quantas vezes o número 3 (base) foi multiplicado até chegar a 9 ? Para representar isso, eu vou usar um logaritmo. Desta forma, teremos

log 3 ⁡ 9

E resolvendo, encontramos o 2 , uma vez que 3 2 = 9 .

Resumindo, quero que você sempre pense que LOGARITMO = EXPOENTE.

A função logarítmica

Então a pergunta que sempre vamos fazer quando surgir um logarítmo é:

“A base b elevada a qual número tem como resultado o   x ?"

E a função logarítmica é justamente a representação dessa ideia e tem como fórmula geral:

f ( x ) = log b ⁡ x

Onde b é a base, o   x nós chamamos de logaritmando ou de argumento da função logarítmica e o resultado é o logaritmo em si, que equivale sempre ao expoente em uma função exponencial.

Achando o x na função

Imagine que tenhamos a função f x = log 2 ⁡ ( 2 x ) e queremos saber o valor de x para qual f ( x ) = 16 . Igualando essas duas informações, temos:

log 2 ⁡ ( 2 x ) = 16  

Vamos transformar esse problema em um exponencial! Então a pergunta que faríamos para o logaritmo é: “A base 2 elevada a qual número tem como resultado   2 x ?" E como da igualdade acima sabemos que o resultado é 16 , temos:

2 16 = 2 x  

Isolando o x ficamos com,

x = 2 16 2

Lembrando que em divisão de exponenciais com a mesma base, a gente repete a base e substrai os expoentes!

x = 2 16 2 = 2 ( 16 - 1 ) = 2 15

Logarítmos Especiais

O logaritmo natural ou niperiano é o log de base e , que é o número de Euler. O que você precisa saber dele agorá é que ele recebe uma notação especial de l n , podendo ser:

f x = ln ⁡ x

    g x = ln ⁡ x 2 + 1      

h ( x ) = l n ⁡ ( 58 x + 1 )

Dentre infinitas outras possibilidades.

Então se você vir um ln por aí, já fica sabendo que temos uma função logarítmica!

Além disso, quando a base da função logarítmica for 10 , você não precisa escrever! Então:

log ⁡ x = log 10 ⁡ x

log ⁡ ( 2 x - 1 ) = log 10 ⁡ ( 2 x - 1 )

E se você encontrar um logaritmo sem base, não precisa se desesperar! Lembra que tem um 10 escondido ali!

Gráfico da função logarítmica

O gráfico da função logarítmica é um espelhamento do gráfico da função exponencial, como vemos abaixo no gráfico de f ( x ) = log 2 ⁡ x   , que é o gráfico da função f x = 2 x espelhado em relação à linha tracejada:

Podemos começar a análise do gráfico vendo que a curva toca o eixo x quando x = 1 , o que indica que o valor da função ali é igual a 0 . Isso faz sentido, uma vez que:

Qual expoente leva qualquer número a ter como resultado x = 1 ? 0 !

Já que b 0 = 1 , para qualquer valor de b .

Desse ponto, indo para a esquerda, vemos que conforme o x se aproxima de zero, a função decresce cada vez mais.

Podemos entender, pensando nos exponenciais correspondentes, onde temos expoentes cada vez mais negativos, que resultam em valores cada vez mais próximos de zero, por exemplo:

2 - 1 = 1 2 1 = 0,5

2 - 2 = 1 2 2 = 0,25

2 - 3 = 1 2 3 = 0,125

E daí por diante!

Voltando ao x = 1 , só que agora seguindo para a direita, vemos que quanto mais o valor de x cresce, mais a função cresce.

Imagem e Domínio

Reparou que a curva que representa a função f x = log 2 ⁡ x não está presente na região onde o x possui valores negativos?

Isso acontece porque nossa base precisa sempre ser um número positivo e não dá para elevar um número positivo a alguma coisa e encontrar um resultado negativo disso. Então, restringimos o domínio da função logarítmica para valores positivos dentro do log.

Ou seja, para f ( x ) = log 2 ⁡ x   , nosso x precisa ser sempre um valor real positivo, que escrevendo em matematiquês, fica:

D ( f ) = x ∈ R   | x > 0

Já para f x = log 2 ⁡ ( 2 x - 1 ) , novamente precisamos que os valores dentro do log sejam positivos, portanto:

2 x - 1 > 0

2 x > 1

x > 1 2

O domínio dessa função será composto então pelos valores de x reais e maiores que 1 / 2 , que escrevendo mais uma vez em matematiquês, fica:

D ( f ) = x ∈ R   | x > 1 / 2

Já para a imagem da função, precisamos ver quais são os valores que temos como resultado da função, ou seja, vamos olhar pro y .

Próximo ao x = 0 vimos que a função decresce infinitamente e o y pode assumir qualquer valor negativo, depois conforme o x cresce, o y também cresce infinitamente podendo assumir qualquer valor positivo. Então, não há limites pra imagem da função logarítmica, que pode assumir qualquer valor real:

I m ( f ) = R

E um detalhe importante é que a imagem não vai mudar mesmo que a gente tenha uma função daquelas diferentonas

f x = log 2 ⁡ 2 x - 1

Por hoje é só!

Logarítmos Especiais

Gráfico da função logarítmica

Imagem e Domínio

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Considere a função logarítmica

f x = log 2 ⁡ 2 x

Encontre o valor de x tal que f x = 9 .

Passo 1

Vamos lááá!! Queremos encontrar o valor de x de forma que f x = 9 , certo? Como podemos encontrar esse valor?

Lembra que o logarítmo sempre está associado a um expoente?! Então, para resolver esse problema, vamos transformá-lo em um problema exponencial!!

Temos a carinha da nossa função

f x = log 2 ⁡ 2 x

E assim, a pergunta que faríamos para o logaritmo é: “A base  2  elevada a qual número tem como resultado  2 x ?" E como da igualdade acima sabemos que o resultado é  9 , temos:

2 9 = 2 x

Beleza?!

Passo 2

Agora basta isolarmos o x para encontrar o seu valor!

2 9 = 2 x

Assim, dividindo ambos oa lados da equação por 2 , temos

2 9 2 = x

Aqui é importante lembrar que divisão de exponenciais com a mesma base, a gente repete a base e subtrai os expoentes

x = 2 9 - 1 = 2 8

Ou seja, o valor de x de forma que f x = 9 é

x = 2 8

Beleza?!

Resposta

x = 2 8

Exercício Resolvido #2

Determine o domínio e a imagem da função logarítmica abaixo

f x = log 2 ⁡ 4 x + 1

Passo 1

Fala Aíí! Queremos determonar o domínio da função f x = log 2 ⁡ 4 x + 1 , certo?!

Antes de qualquer coisa, precisamos lembrar que os valores de dentro do l o g precisam ser positivos. Beleza?! Vamos utilizar essa informação para encontrar o domínio da nossa função!

Passo 2

Como os valores do l o g precisam ser positivos,

4 x + 1 > 0

Agora basta isolarmos o x

4 x > - 1

Dividindo ambos os lados da inequação por 4 , temos

x > - 1 4

Ou seja, o domínio dessa função será composto então pelos valores de x reais e maiores que  - 1 4 , que escrevendo mais uma vez em matematiquês, fica:

D = x ∈   R |   x >   - 1 4  

Beleza?!

Passo 3

Já para a imagem da função, não há limites pra imagem da função logarítmica, que pode assumir qualquer valor real. Assim,

I m f = R

Beleza?!

Resposta

D = x ∈   R |   x >   - 1 4  

I m f = R

Exercício Resolvido #3

O domínio e a imagem da função logarítmica abaixo

f x = log 2 ⁡ x + 1 2

São, respectivamente:

  1. D = x ∈   R |   x >   - 1   e R
  2. D = x ∈   R |   x >   1   e R
  3. D = x ∈   R |   x > - 1 2   e R
  4. D = x ∈   R |   x > 1 2   e R

Passo 1

Vamos lá!!! Queremos determonar o domínio da função f x = f x = log 2 ⁡ x + 1 2 , certo?!

Antes de qualquer coisa, precisamos lembrar que os valores de dentro do l o g precisam ser positivos. Beleza?! Vamos utilizar essa informação para encontrar o domínio da nossa função!

Passo 2

Como os valores do l o g precisam ser positivos,

x + 1 2 > 0

Agora basta isolarmos o x

x + 1 > 0

E assim,

x > - 1

Ou seja, o domínio dessa função será composto então pelos valores de  x  reais e maiores que  - 1 , que escrevendo mais uma vez em matematiquês, fica:

D = x ∈   R |   x >   - 1  

Beleza?!

Passo 3

Já para a imagem da função, não há limites pra imagem da função logarítmica, que pode assumir qualquer valor real. Assim,

I m f = R

Beleza?!

Resposta

Letra A

Exercício Resolvido #4

Considere a função logarítmica f : + * R → R abaixo

f x = log 2 ⁡ ( 2 x - 2 )

O valor de f ( 9 ) é:

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 6
  5. 0

Passo 1

OPA!! Queremos determinar o valor de f ( 9 ) , certo?! Como faremos isso?

Podemos começar substituindo o valor de x = 9 na nossa função

f x = log 2 ⁡ ( 2 x - 2 )

Assim,

f 9 = log 2 ⁡ ( 2 9 - 2 )

Ou seja,

f 9 = log 2 ⁡ ( 18 - 2 )

f 9 = log 2 ⁡ ( 16 )

Agora precisamos calcular o logarítmo!!

Passo 2

Lembra que o logarítmo sempre está associado a um expoente?! Então, para resolver esse problema, vamos transformá-lo em um problema exponencial!!

Temos a carinha da nossa função

f 9 = log 2 ⁡ ( 16 )

E assim, a pergunta que faríamos para o logaritmo é: “A base  2  elevada a qual número tem como resultado  16 ?”

2 x = 16

Assim, conseguimos concluir que o valor de x   para que a igualdade abaixo seja válida é

x = 4

Beleza?!

Logo, f 9 = log 2 ⁡ ( 16 ) = 4

Resposta

Letra B

Exercício Resolvido #5

Esboce o gráfico da função abaixo

f x = log 2 ⁡ x

Passo 1

Vamos láá!! Queremos esboçar o gráfico da função

f x = log 2 ⁡ x

Certo?! Por onde podemos começar?

Primeira passo é verificar se a função será crescente ou decrescente! Como fazemos isso? Primeiro precisamos lembrar que uma função logarítmica tem a carinha

f x = l o g a x

Onde a é a base. Assim, se a base for maior que 1 a função será crescente. Se a base for maior que zero e menor que 1 a função será decrescente.

Beleza?!

Passo 2

Aqui a nossa base

a = 2 > 1

Ou seja, a nossa função será crescente.

Passo 3

Agora para montar o esboço da função, podemos escolher alguns valores para x para termos os valores de y   e montar o gráfico.

Para x = 1 , teremos que

f 1 = log 2 ⁡ 1

Como resolver esse logarítmo? Lembra que o logarítmo sempre está associado a um expoente?! Então, para resolver esse problema, vamos transformá-lo em um problema exponencial!!

Podemos fazer a seguinte pergunta para o logaritmo: “A base  2  elevada a qual número tem como resultado  1 ?”

2 x = 1

O valor que satisfaz essa igualdade acima é o 0 , certo?! Assim,

f 1 = log 2 ⁡ 1 = 0

Podemos começar a montar nossa tabelinha:

Para x = 2 , teremos que

f 2 = log 2 ⁡ 2

Utilizando o mesmo raciocínio anterior, a base 2 elevada a 1 da o número 2 . Ou seja,

f 2 = log 2 ⁡ 2 = 1

Colocando esse valor na nossa tabela

Para x = 1 / 4 , teremos

f 1 2 = log 2 ⁡ 1 2

Utilizando o mesmo raciocínio, chegamos ao valor

f 1 2 = - 2

Incluindo esse valor na tabela, temos

Pra finalizar, para x = 4

f 4 = log 2 ⁡ 4 = 2

E assim,

Passo 4

Com os valores que calculamos já conseguimos esboçar o gráfico da função f x = log 2 ⁡ x .

Levando em consideração que a função será crescente e substituindo os valores da tabela

Teremos

Beleza?!

Resposta

Exercício Resolvido #6

Determine o domínio da função abaixo

f x = 1 x 2 - 5 x + 6 + x + 1 + ln ⁡ 1 - x

Passo 1

Para determinar o domínio, vamos começar identificando onde podem aparecer os problemas. Temos uma raiz aí no meio, então nossa primeira restrição é que a parada dentro da raiz deve ser positiva.

x + 1 ≥ 0

x ≥ - 1

Passo 2

Temos um ln ⁡   ali também, lembra como faz isso? O cara dentro do ln ⁡   deve ser maior que zero

1 - x > 0

Repara que não coloquei isso porque o ln ⁡   ou log ⁡   nunca podem ter alguém dentro deles igual a 0 .

x < 1

Passo 3

Temos o último problema que é a fração, o seu denominador deve ser diferente de 0 , vamos achar quais valores ele zera

x 2 - 5 x + 6 = 0

Resolvendo a equação de Bháskara vamos achar

x = 2

x = 3

Então essa nossa ultima restrição é

x ≠ 2

x ≠ 3

Passo 4

Vamos juntar todas as restrições aqui

x ≥ - 1

x < 1

x ≠ 2

x ≠ 3

Repara que as duas últimas são inúteis, porque elas já estão incluídas na segunda restrição, afinal x < 1 já garante que ele é diferente de 2 e 3 .

Juntando tudo fica então

- 1 ≤ x < 1

Passo 5

Escrevendo isso daquela forma bonitinha, primeiro colocamos

D f x = x ∈ R |

D f x = x ∈ R | - 1 ≤ x < 1  

Resposta

D f x = x ∈ R | - 1 ≤ x < 1  

Exercício Resolvido #7

O valor do imposto pago por uma certa empresa, com V   em milhares, em função do tempo, ocorre segundo a função V t = log 2 ⁡ ( t + 4 ) .

Determine o valor do imposto pago daqui a 4 anos e o tempo no qual o imposto pago é 6mil.

Passo 1

Aqui basta substituir o valor do tempo t = 4   anos:

  V 4 = log 2 ⁡ ( 4 + 4 ) = log 2 ⁡ 8 = log 2 ⁡ 2 3  

V 4 = 3 log 2 ⁡ 2  

Como log x ⁡ x   = 1

V 4 = 3.1 = 3

V 4 = 3000

Passo 2

Agora vamos calcular o tempo, para o imposto ser pago quando V t = 6 m i l

V t = log 2 ⁡ ( t + 4 )

6 = log 2 ⁡ t + 4

2 6 = t + 4

t = 64 - 4

t = 60   anos

Resposta

V 4 = R $   3.000,00

t = 60 anos

Exercício Resolvido #8

Os alunos do curso de Biologia de uma determinada faculdade observaram que o número de flores em uma árvore X segue o modelo matemático F h = 16 - log 2 ⁡ ( 3 h + 1 ) onde F h é a quantidade de flores após h horas de observação. Após quanto tempo de observação esta árvore estará com apenas 10 flores?

a) 6 horas.

b) 25 horas.

c) 20 horas.

d) 21 horas.

e) 64 horas.

Passo 1

Logo no início da questão, ele nos deu a função logarítmica que vamos utilizar para fazer a questão:

F h = 16 - log 2 ⁡ ( 3 h + 1 )

O enunciado nos pergunta em quantas horas ele vai produzir 10 flores, em outras palavras, queremos

F h = 10

Show?

Passo 2

Fazendo essa igualdade, teremos o seguinte:

F h = 10

16 - log 2 ⁡ 3 h + 1 = 10

log 2 ⁡ 3 h + 1 = 6

Ou sejaaaaa

2 6 = 3 h + 1

64 = 3 h + 1

h = 63 3

h = 21

Ou seja, a resposta será: Letra D

Resposta

Letra D

Exercício Resolvido #9

Considere a função real f, dada pela lei f x = log x ⁡ x x

a) Desenhe o gráfico de f ( x )

b) Calcule k, k ∈ R   de modo que se tenha 16 f ( k ) = 40 . Se necessário, utilize a aproximação: log ⁡ 2 = 0,3

Passo 1

Primeiramente, vamos falar a respeito do domínio da nossa função, sabemos pela condição de existência que x ≠ 1   e   x > 0 , Show?

Agora, vamos analisar a melhor a nossa lei de formação, observa ela um pouquinho:

f x = log x ⁡ x x

Acho que você concorda comigo que a gente precisa mexer um pouco nela, rs. Afinal, está difícil entender o que faremos... A pergunta que não quer calar é: O que vamos fazer?

Lembra daquelas propriedades que a gente aplicava em logaritmos?

Observe a mágica acontecer:

f x = x

Portanto, o gráfico da função f, NESSE CASO, será o mesmo de uma função do 1º grau!!!

Nosso gráfico vai ficar assim:

Muita atenção as restrições de domínio que vimos acima: x ≠ 1   e   x > 0 . Por isso tanto no x igual a zero quanto no x igual a um, temos a “bolinha aberta”.

Shooow?

Passo 2

Agora vamos a parte b)

No item a) descobrimos que f x = x

Então, por consequência

f k = k

Portanto, podemos escrever

16 f ( k ) = 40

Da seguinte forma:

16 k = 40

2 4 k = 2 ² . 10

2 4 k 2 2 = 10

2 4 k - 2 = 10

Como queremos encontrar um valor que está no expoente, vamos aplicar um logaritmo de base 10 dos dois lados (Lembra? Logaritmo=Expoente).

log ⁡ 2 4 k - 2 = log ⁡ 10

Sendo que log ⁡ 10 = 1

Com isso temos:

( 4 k - 2 ) log ⁡ 2 = 1

O enunciado disse que   log ⁡ 2 = 0,3 , então:

( 4 k - 2 ) ( 0,3 ) = 1

4 k - 2 3 10   = 1

4 k - 2   = 10 3

k = 4 3

Maneiro, né? =D

Resposta

a)

b)       k = 4 3

Exercício Resolvido #10

A curva do gráfico abaixo representa a função   y = log 4 ⁡ x

Qual a área do retângulo ABCD?

Passo 1

Beleza, sempre que você for resolver uma questão, algo importante é pensar o que você quer encontrar e qual a estratégia você vai usar para resolvê-la. No nosso caso, queremos encontrar a área do retângulo ABCD.

O que precisamos para encontrar a área?

A R = b × h

No entanto, contudo, todavia... Para encontrarmos o valor da base e da altura necessitamos descobrir pelo menos as coordenadas de três dos 4 vértices.

Então essa é a primeira coisa que vamos fazer. Partiu?

Passo 2

Já sabemos que a base tem um tamanho 6, falta acharmos o tamanho da altura. Para isso, vamos descobrir a coordenada dos vértices C e A.

Vértice C → ( 8 ,   y c )

Vamos substituir o x na lei de formação para descobrirmos o valor de y. Nossa lei de formação é dada por:

y = log 4 ⁡ x

Substituindo, ficamos assim:

y c = log 4 ⁡ 8

4 y c = 8

2 2 y c = 2 3

Ou seja,

2 y c = 3

y c = 3 2 = 1,5

Vértice A → ( 2 ,   y A )

Vamos descobrir agora o y A , pois eles serão iguais. Vamos fazer isso porque caso tentássemos fazer igual fizemos acima, encontraríamos as mesmas coordenadas do vértice C. Vamos nessa:

y = log 4 ⁡ x

Substituindo, ficamos assim:

y A = log 4 ⁡ 2

4 y A = 2

2 2 y A = 2 1

Ou seja,

2 y A = 1

y A = 1 2 = 0,5

E o valor de y A é igual ao de y D . O nosso gráfico vai ficar assim, então:

Ou seja, nossa altura será igual a 1,5 - 0,5 = 1 .

Passo 3

Nosso retângulo vai ficar com as seguintes dimensões:

Agora é tranquilo calcularmos a área, vai ficar assim ó:

A R = b × h

A R = 6 × 1

A R = 6   u .   a .

Resposta

A R = 6   u .   a .