Função Logarítmica

Teoria Completa

O logaritmo

FALAAAAAAA AÍ, TUDO BEM COM VOCÊ?

Se a resposta for não, isso deve estar intimamente associado à palavra LOGARITMO hahahaha

Se você tem trauma com o famoso l o g , muito provavelmente você carrega ele desde a época do Ensino Médio. Mas relaxa, logaritmo não é esse bicho papão que parece ser, por dentro ele é um amorzinho!

O logaritmo sempre está associado ao expoente! Então vamos falar um pouquinho da função exponencial, aqui segue um exemplo:

10 2 = 100

Neste exemplo nós temos uma base 1 0 que esta elevada ao quadrado, ou seja, nosso expoente é 2 . Fazendo essa conta chegamos ao resultado que é 100 .

Agora eu vou mudar um pouco a pergunta. Se eu pergunto quantas vezes o número 10 foi multiplicado até chegar a 100 ? Para responder isso, eu vou usar a função logarítmica. Desta forma teremos:

log 10 ⁡ 100

E calculando isso chegaremos que,

log 10 ⁡ 100 = 2

Ou seja, novamente, quero que você pense que logaritmo = EXPOENTE.

A função logarítmica

Então a pergunta que sempre vamos fazer será:

“A base b elevada a qual número tem como resultado   x ?"

A função logarítmica é justamente a generalização da ideia acima. Uma função logarítmica tem a fórmula geral

f ( x ) = log b ⁡ x

Onde b é a base,   x é o logaritmando e o resultado é logaritmo, e ele equivale ao expoente em uma função exponencial.

Gráfico da função logarítmica

O gráfico da função logarítmica é o igual ao gráfico da função exponencial virado, como no

gráfico de f ( x ) = log ⁡ x   abaixo:

Analisando da direita para à esquerda, vemos que o gráfico se aproxima negativamente do eixo y para valores próximo de x = 0 , mas nunca o toca (ao contrário do que pode parecer na figura).

A curva também toca o eixo x no ponto cinza é justamente x = 1 , uma vez que:

Qual expoente que leva qualquer número a ter como resultado x = 1 ? 0

b 0 = 1

Para qualquer b .

A partir disso, a função cresce indefinidamente.

Imagem e Domínio

Reparou que no gráfico não apareceu nenhum valor negativo de x ? Isso acontece porque não dá para elevar um número positivo a alguma coisa e ter um resultado negativo com isso. Dessa maneira, já restringimos o domínio da função logarítmica para valores positivos dentro do log.

Ou seja, para f ( x ) = log ⁡ x   , temos que todos os resultados são valores reais positivos.

Já para f x = l o g 2 x - 1   , novamente precisamos que os valores dentro do log sejam positivos, portanto:

2 x - 1 > 0 ⟹ x > 1 2

f x = x ∈ R   | x > 1 / 2

Achando o x na função

Imagine que tenhamos a função f x = log 2 ⁡ 2 x  

E queremos saber o valor de x para qual f ( x ) = 16 .

log 2 ⁡ 2 x = 16  

Vamos transformar esse problema em um exponencial! Então a pergunta que faríamos é: “A base b elevada a qual número tem como resultado   x ?"

Então, o que o problema está nos dizendo é que “a base 2 elevada a 16 é igual a resultado   2 x ", ou seja,

2 16 = 2 x  

Isolando o x ficamos com,

x = 2 16 2

Lembrando que em divisão de exponenciais com a mesma base, a gente repete a base e substrai os expoentes!

x = 2 16 2 = 2 ( 16 - 1 ) = 2 15

O logaritmo natural

O logaritmo natural é justamente o log de base e , que é o número de Euler. O que você precisa saber dele agorá é que ele recebe uma notação particular de ln, podendo ser por exemplo:

f x = ln ⁡ 2 x

    g x = ln ⁡ x 2 + 1      

h ( x ) = l n ⁡ ( 58 x + 1 )

Dentre várias outras possibilidades.

Então se você ver um ln por aí já sabe que temos uma função logarítmica!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Determine o domínio da função abaixo

f x = 1 x 2 - 5 x + 6 + x + 1 + ln ⁡ 1 - x

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Passo 1

Para determinar o domínio, vamos começar identificando onde podem aparecer os problemas. Temos uma raiz aí no meio, então nossa primeira restrição é que a parada dentro da raiz deve ser positiva.

x + 1 ≥ 0

x ≥ - 1

Passo 2

Temos um ln ⁡   ali também, lembra como faz isso? O cara dentro do ln ⁡   deve ser maior que zero

1 - x > 0

Repara que não coloquei isso porque o ln ⁡   ou log ⁡   nunca podem ter alguém dentro deles igual a 0 .

x < 1

Passo 3

Temos o último problema que é a fração, o seu denominador deve ser diferente de 0 , vamos achar quais valores ele zera

x 2 - 5 x + 6 = 0

Resolvendo a equação de Bháskara vamos achar

x = 2

x = 3

Então essa nossa ultima restrição é

x ≠ 2

x ≠ 3

Passo 4

Vamos juntar todas as restrições aqui

x ≥ - 1

x < 1

x ≠ 2

x ≠ 3

Repara que as duas últimas são inúteis, porque elas já estão incluídas na segunda restrição, afinal x < 1 já garante que ele é diferente de 2 e 3 .

Juntando tudo fica então

- 1 ≤ x < 1

Passo 5

Escrevendo isso daquela forma bonitinha, primeiro colocamos

D f x = x ∈ R |

D f x = x ∈ R | - 1 ≤ x < 1  

Resposta

D f x = x ∈ R | - 1 ≤ x < 1  

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

O valor do imposto pago por uma certa empresa, com V   em milhares, em função do tempo, ocorre segundo a função V t = log 2 ⁡ ( t + 4 ) .

Determine o valor do imposto pago daqui a 4 anos e o tempo no qual o imposto pago é 6mil.

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Passo 1

Aqui basta substituir o valor do tempo t = 4   anos:

  V 4 = log 2 ⁡ ( 4 + 4 ) = log 2 ⁡ 8 = log 2 ⁡ 2 3  

V 4 = 3 log 2 ⁡ 2  

Como log x ⁡ x   = 1

V 4 = 3.1 = 3

V 4 = 3000

Passo 2

Agora vamos calcular o tempo, para o imposto ser pago quando V t = 6 m i l

V t = log 2 ⁡ ( t + 4 )

6 = log 2 ⁡ t + 4

2 6 = t + 4

t = 64 - 4

t = 60   anos

Resposta

V 4 = R $   3.000,00

t = 60 anos

Exercício Resolvido #3

IFPE 2018 (Adaptada)

Os alunos do curso de Biologia de uma determinada faculdade observaram que o número de flores em uma árvore X segue o modelo matemático F h = 16 - log 2 ⁡ ( 3 h + 1 ) onde F h é a quantidade de flores após h horas de observação. Após quanto tempo de observação esta árvore estará com apenas 10 flores?

a) 6 horas.

b) 25 horas.

c) 20 horas.

d) 21 horas.

e) 64 horas.

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Passo 1

Logo no início da questão, ele nos deu a função logarítmica que vamos utilizar para fazer a questão:

F h = 16 - log 2 ⁡ ( 3 h + 1 )

O enunciado nos pergunta em quantas horas ele vai produzir 10 flores, em outras palavras, queremos

F h = 10

Show?

Passo 2

Fazendo essa igualdade, teremos o seguinte:

F h = 10

16 - log 2 ⁡ 3 h + 1 = 10

log 2 ⁡ 3 h + 1 = 6

Ou sejaaaaa

2 6 = 3 h + 1

64 = 3 h + 1

h = 63 3

h = 21

Ou seja, a resposta será: Letra D

Resposta

Letra D

Exercício Resolvido #4

Insper 2009

Considere a função real f, dada pela lei f x = log x ⁡ x x

a) Desenhe o gráfico de f ( x )

b) Calcule k, k ∈ R   de modo que se tenha 16 f ( k ) = 40 . Se necessário, utilize a aproximação: log ⁡ 2 = 0,3

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Passo 1

Primeiramente, vamos falar a respeito do domínio da nossa função, sabemos pela condição de existência que x ≠ 1   e   x > 0 , Show?

Agora, vamos analisar a melhor a nossa lei de formação, observa ela um pouquinho:

f x = log x ⁡ x x

Acho que você concorda comigo que a gente precisa mexer um pouco nela, rs. Afinal, está difícil entender o que faremos... A pergunta que não quer calar é: O que vamos fazer?

Lembra daquelas propriedades que a gente aplicava em logaritmos?

Observe a mágica acontecer:

f x = x

Portanto, o gráfico da função f, NESSE CASO, será o mesmo de uma função do 1º grau!!!

Nosso gráfico vai ficar assim:

Muita atenção as restrições de domínio que vimos acima: x ≠ 1   e   x > 0 . Por isso tanto no x igual a zero quanto no x igual a um, temos a “bolinha aberta”.

Shooow?

Passo 2

Agora vamos a parte b)

No item a) descobrimos que f x = x

Então, por consequência

f k = k

Portanto, podemos escrever

16 f ( k ) = 40

Da seguinte forma:

16 k = 40

2 4 k = 2 ² . 10

2 4 k 2 2 = 10

2 4 k - 2 = 10

Como queremos encontrar um valor que está no expoente, vamos aplicar um logaritmo de base 10 dos dois lados (Lembra? Logaritmo=Expoente).

log ⁡ 2 4 k - 2 = log ⁡ 10

Sendo que log ⁡ 10 = 1

Com isso temos:

( 4 k - 2 ) log ⁡ 2 = 1