Função Logarítmica

Teoria Completa

O logaritmo

FALAAAAAAA AÍ, TUDO BEM COM VOCÊ?

Se a resposta for não, isso deve estar intimamente associado a palavra LOGARITMO hahahaha

Se você tem trauma com logaritmos, muito provavelmente você carrega ele desde a época do Ensino Médio e isso muito tem haver com você não entender a utilidade dessa bagaça!

Mas relaxa, logaritmo não é esse bicho papão que parece ser, por dentro ele é um amorzinho!

Algo que me ajudou muito a entender, foi pensar no contexto histórico dos logaritmos. Covido você a fazer uma viagem comigo: Imagina que você está na facul cursando alguma área de exatas lá pelos anos de 1950 – 1960 e até então ninguém havia inventado uma calculadora eletrônica… Desesperador, né?

Então, o logaritmo tinha uma grande aplicação em coisas desse tipo, ele funcionava como um facilitador de contas, ACREDITE hahahaha

Existia uma tábua de logaritmos, onde já vinham os valores aproximados de um monte de logaritmos, isso facilitava muito na hora de fazer as contas!

Se você puxar na memória, vai se lembrar que o Logaritmo transforma multiplicações em somas, divisões em subtrações, potências em multiplicações e assim por diante, sabe o porquê disso?

O logaritmo sempre está associado ao exponte, repete comigo: Logaritmo, expoente, logaritmo, expoente...

Então todas aquelas propriedades que a gente viu com a tia Teteca valem pra ele, se você multiplica coisas de mesma base, por exemplo, você soma os expoentes, lembra?

Todas aquelas regrinhas também valem para cá também, legal né?

Então, quando temos:

log 10 ⁡ 100  

Vamos nos perguntar:

10(base) elevado a qual número tem como resultado 100 ?

A resposta para essa pergunta é 2 , pois 10 2 = 100 . Portanto: log 10 ⁡ 100 = 2

Ou seja, novamente, quero que você pense que logaritmo = EXPOENTE.

Agora, a pergunta que não quer calar: Se hoje a gente já tem calculadora, QUAL A NECESSIDADE DE ESTUDARMOS LOGARITMOS?

Pegou a referência? HAHAHAHA

Ainda estudamos logaritmos principalmente por conta das FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

Elas se aplicam por exemplo: Na Escala Richter, nas escalas musicais, na Matemática Financeira e etc.

A função logarítmica

A função logarítmica é justamente a generalização da ideia acima. Uma função logarítmica tem a fórmula geral

f ( x ) = log b ⁡ x

b > 0

b ≠ 1

Lê-se “logaritmo de x na base b ”. E a pergunta da sessão anterior vira:

Qual número que elevado a b (base) tem como resultado x ?

Gráfico da função logarítmica

O gráfico da função logarítmica é o igual ao gráfico da função exponencial virado, como no gráfico de f ( x ) = log ⁡ x   abaixo:

Analisando da direita para à esquerda, vemos que o gráfico se aproxima negativamente do eixo y para valores próximo de x = 0 , mas nunca o toca (ao contrário do que pode parecer na figura).

A curva também toca o eixo x no ponto cinza é justamente x = 1 , uma vez que:

Qual número que elevado a b (base) tem como resultado x = 1 ? 0

b 0 = 1

Para qualquer b .

A partir disso, a função cresce indefinidamente.

Imagem e Domínio

Reparou que no gráfico não apareceu nenhum valor negativo de x ? Isso acontece porque não dá para elevar um número positivo a alguma coisa e ter um resultado negativo com isso. Dessa maneira, já restringimos o domínio da função logarítmica para valores positivos dentro do log.

Ou seja, para f ( x ) = log ⁡ x   , temos que:

D f = R + *

Ou seja, todos os valores reais positivos.

Já para f x = 2 x - 1   , novamente precisamos que os valores dentro do log sejam positivos, portanto:

2 x - 1 > 0 ⟹ x > 1 2

D f = x ∈ R   |   x > 1 / 2

Achando o x na função

Imagine que tenhamos a função f x = log 2 ⁡ 2 x  

E queremos saber o valor de x para qual f ( x ) = 16 .

log 2 ⁡ 2 x = 16  

Se aplicarmos a exponencial de mesma base em ambos lados da equação resultante:

2 16 = 2 x  

Ou seja:

x = 2 16 2 = 2 15

O logaritmo natural

O logaritmo natural é justamente o log de base e , que é o número de Euler visto no tipo anterior.

Esse logaritmo recebe a notação particular de ln, podendo ser:

f ( x ) = l n ⁡ 2 x       g ( x ) = l n ⁡ ( x 2 + 1 )         h ( x ) = l n ⁡ ( 58 x + 1 )

Dentre várias outras possibilidades.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Determine o domínio da função abaixo

f x = 1 x 2 - 5 x + 6 + x + 1 + ln ⁡ 1 - x

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Passo 1

Para determinar o domínio, vamos começar identificando onde podem aparecer os problemas. Temos uma raiz aí no meio, então nossa primeira restrição é que a parada dentro da raiz deve ser positiva.

x + 1 ≥ 0

x ≥ - 1

Passo 2

Temos um ln ⁡   ali também, lembra como faz isso? O cara dentro do ln ⁡   deve ser maior que zero

1 - x > 0

Repara que não coloquei isso porque o ln ⁡   ou log ⁡   nunca podem ter alguém dentro deles igual a 0 .

x < 1

Passo 3

Temos o último problema que é a fração, o seu denominador deve ser diferente de 0 , vamos achar quais valores ele zera

x 2 - 5 x + 6 = 0

Resolvendo a equação de Bháskara vamos achar

x = 2

x = 3

Então essa nossa ultima restrição é

x ≠ 2

x ≠ 3

Passo 4

Vamos juntar todas as restrições aqui

x ≥ - 1

x < 1

x ≠ 2

x ≠ 3

Repara que as duas últimas são inúteis, porque elas já estão incluídas na segunda restrição, afinal x < 1 já garante que ele é diferente de 2 e 3 .

Juntando tudo fica então

- 1 ≤ x < 1

Passo 5

Escrevendo isso daquela forma bonitinha, primeiro colocamos

D f x = x ∈ R |

D f x = x ∈ R | - 1 ≤ x < 1  

Resposta

D f x = x ∈ R | - 1 ≤ x < 1  

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

O valor do imposto pago por uma certa empresa, com V   em milhares, em função do tempo, ocorre segundo a função V t = log 2 ⁡ ( t + 4 ) .

Determine o valor do imposto pago daqui a 4 anos e o tempo no qual o imposto pago é 6mil.

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Passo 1

Aqui basta substituir o valor do tempo t = 4   anos:

  V 4 = log 2 ⁡ ( 4 + 4 ) = log 2 ⁡ 8 = log 2 ⁡ 2 3  

V 4 = 3 log 2 ⁡ 2  

Como log x ⁡ x   = 1

V 4 = 3.1 = 3

V 4 = 3000

Passo 2

Agora vamos calcular o tempo, para o imposto ser pago quando V t = 6 m i l

V t = log 2 ⁡ ( t + 4 )

6 = log 2 ⁡ t + 4

2 6 = t + 4

t = 64 - 4

t = 60   anos

Resposta

V 4 = R $   3.000,00

t = 60 anos

Exercício Resolvido #3

IFPE 2018 (Adaptada)

Os alunos do curso de Biologia de uma determinada faculdade observaram que o número de flores em uma árvore X segue o modelo matemático F h = 16 - log 2 ⁡ ( 3 h + 1 ) onde F h é a quantidade de flores após h horas de observação. Após quanto tempo de observação esta árvore estará com apenas 10 flores?

a) 6 horas.

b) 25 horas.

c) 20 horas.

d) 21 horas.

e) 64 horas.

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Passo 1

Logo no início da questão, ele nos deu a função logarítmica que vamos utilizar para fazer a questão:

F h = 16 - log 2 ⁡ ( 3 h + 1 )

O enunciado nos pergunta em quantas horas ele vai produzir 10 flores, em outras palavras, queremos

F h = 10

Show?

Passo 2

Fazendo essa igualdade, teremos o seguinte:

F h = 10

16 - log 2 ⁡ 3 h + 1 = 10

log 2 ⁡ 3 h + 1 = 6

Ou sejaaaaa

2 6 = 3 h + 1

64 = 3 h + 1

h = 63 3

h = 21

Ou seja, a resposta será: Letra D

Resposta

Letra D

Exercício Resolvido #4

Insper 2009

Considere a função real f, dada pela lei f x = log x ⁡ x x

a) Desenhe o gráfico de f ( x )

b) Calcule k, k ∈ R   de modo que se tenha 16 f ( k ) = 40 . Se necessário, utilize a aproximação: log ⁡ 2 = 0,3

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Passo 1

Primeiramente, vamos falar a respeito do domínio da nossa função, sabemos pela condição de existência que x ≠ 1   e   x > 0 , Show?

Agora, vamos analisar a melhor a nossa lei de formação, observa ela um pouquinho:

f x = log x ⁡ x x

Acho que você concorda comigo que a gente precisa mexer um pouco nela, rs. Afinal, está difícil entender o que faremos... A pergunta que não quer calar é: O que vamos fazer?

Lembra daquelas propriedades que a gente aplicava em logaritmos?

Observe a mágica acontecer:

f x = x

Portanto, o gráfico da função f, NESSE CASO, será o mesmo de uma função do 1º grau!!!

Nosso gráfico vai ficar assim:

Muita atenção as restrições de domínio que vimos acima: x ≠ 1   e   x > 0 . Por isso tanto no x igual a zero quanto no x igual a um, temos a “bolinha aberta”.

Shooow?

Passo 2

Agora vamos a parte b)

No item a) descobrimos que f x = x

Então, por consequência

f k = k

Portanto, podemos escrever

16 f ( k ) = 40

Da seguinte forma:

16 k = 40

2 4 k = 2 ² . 10

2 4 k 2 2 = 10

2 4 k - 2 = 10

Como queremos encontrar um valor que está no expoente, vamos aplicar um logaritmo de base 10 dos dois lados (Lembra? Logaritmo=Expoente).

log ⁡ 2 4 k - 2 = log ⁡ 10

Sendo que log ⁡ 10 = 1

Com isso temos:

( 4 k - 2 ) log ⁡ 2 = 1

O enunciado disse que   log ⁡ 2 = 0,3