Função Quadrática

Teoria Completa

Introdução

Aqui vamos ver as funções de segundo grau. Como o nome diz, são funções em que aparece o termo:

x 2

Mas, não é somente isso. Esse termo precisa ser aquele de maior grau na função, ou seja, são funções de segundo grau: f x = x 2 + 2 x + 1

g x = x 2 + 5

Mas não é:

f x = x 5 + 2 x 2 + 1

Pois o termo de maior grau é o x 5 . Tudo bem? A partir disso, podemos representar uma forma geral para a função de segundo grau, como fizemos para a função afim:

f x = a x 2 + b x + c

Onde a , b e c são números reais. Aqui temos um detalhe importante: aquele valor junto ao x 2 precisa ser diferente de 0 , caso contrário o x 2 não ia aparecer e não teríamos uma função de segundo grau.

Domínio

O domínio da função é bem tranquilo de achar. Como ela é:

f x = a x 2 + b x + c

E não temos nenhuma restrição para nenhum valor de x , assim o domínio vai ser qualquer valor real de x , e vamos ter:

D f = R

Não vamos nos preocupar por enquanto com a imagem da função de 2 º grau. Vamos ver agora como é o se gráfico e entender seus componentes.

Gráfico da função de 2º grau

A primeira coisa é saber como é o gráfico desse tipo de função. Esse gráfico vai ser uma parábola, e saber como é essa parábola no eixo cartesiano é que é o grande detalhe dessa parte de gráfico. Primeiramente, você sabe como é uma parábola em geral? Ela é algo parecido com um arco:

Essa é uma parábola qualquer, só para você ver como é o desenho dela, puxa aí na sua mente... Não lembra bastante uma antena parabólica (Claro que a antena é 3D, aqui estamos falando de coisas planas) ou a trajetória que uma bola basquete faz ao ser arremessada na sexta?

Para desenhar a parábola precisamos de duas coisas:

  1. Raízes da função de segundo grau
  2. Concavidade da função de segundo grau

A primeira coisa a fazer é sempre achar as raízes dessa função de 2 grau. Para isso fazemos:

f x = 0

Isso nada mais é, neste caso, que a equação:

a x 2 + b x + c = 0

Ou seja, para a achar as raízes da função de segundo grau, basta calcular as raízes da equação de segundo grau correspondente! Conforme vimos no tipo de equações de segundo grau, as raízes serão dadas pela fórmula de Bhaskara!

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Considerando:

Δ = b 2 - 4 a c

Escrevemos a solução como sendo:

x 1,2 = - b ± Δ 2 a

Dependendo do valor de Δ , temos:

  • Se Δ = 0 , temos raízes reais iguais.
  • Se Δ < 0 , temos raízes complexas distintas.
  • Se Δ > 0 , temos raízes reais distintas.

Em termos gráficos, isso implica em:

Ou seja, quando Δ > 0 , temos a primeira situação, onde o gráfico cruza o eixo x duas vezes. Para Δ = 0 , temos a segunda, onde a parábola apenas tocará o eixo x . Finalmente, quando Δ < 0 , a função não tem raiz real e, portanto, nunca encontrará o eixo x (triste).

Beleza, entendemos como achar as raízes e ver se são duas ou uma só e como isso afeta a posição da parábola. Agora temos que analisar a concavidade dessa parábola. Mas, você deve se perguntar: o que é essa tal de concavidade? Ela nada mais é para onde a parábola está virada - ou para cima ou para baixo. Os dois casos ficam assim:

Nessa primeira em azul, a parábola está com a “barriguinha” virada para baixo, assim ela é côncava para cima. Enquanto a marrom (ou laranja dependendo do seu monitor) está com a “barriguinha” virada para cima, assim ela é côncava para baixo.

Outra forma de ver isso é fazendo uma setinha malandra na nossa parábola, vamos pegar o início da seta na parte que a parábola faz a curva, e depois apontar para o outro lado da parábola, ficando assim:

Assim, aquela que a seta aponta para cima é côncava para cima, a que a seta aponta para baixo é côncava para baixo.

Algebricamente, podemos saber essa concavidade pelo coeficiente a da equação, que é aquele que multiplica o x 2

  • Se a > 0 , o gráfico da função tem concavidade para cima;
  • Se a < 0 , o gráfico da função tem concavidade para baixo.

Vamos deixar aqui todas as situações possíveis de concavidade e quantidade de raízes só para você se familiarizar com isso de boa

Côncava para cima

Todas essas três são côncavas para cima, o que muda aqui são as raízes.

Côncava para baixo

A ideia é exatamente a mesma para a outra concavidade. Agora que entendemos as duas partes principais, vamos um exemplo.

Determine o gráfico da f x

f x = x 2 - 1

Vamos começar achando as raízes:

x 2 - 1 = 0

Podemos resolver por Bhaskara ou, neste caso, isolando o x 2 :

x 2 = 1

x = ± 1

E temos as nossas duas raízes, que são diferentes. Além disso o valor de a é 1 , que é maior que 0 , então ela é côncava para cima. O seu gráfico vai ficar

Vértice da parábola

Falta mais uma última coisa para ficar lindo. O último componente dessa parte de fazer o gráfico da função de 2 º grau é o seu extremo. Repara que a parábola, independente da concavidade, possui um ponto que faz a curva. Esse ponto é o extremo dessa parábola e também chamado de vértice. O valor x do vértice x v é fácil de achar e determinado por:

x v = - b 2 a

Já o y do vértice y v ou f ( x v ) é determinado por:

y v = f x v = - Δ 4 a

Por exemplo, para f x = x ² - 5 x + 6 temos:

∆ = b ² - 4 a c = 5 2 - 4.1 . 6 = 25 - 24 = 1

x v = - - 5 2.1 = 5 2 = 2,5

y v =   - 1 4.1 = - 1 4 = -   0,25

Ou seja, o nosso vértice tem coordenadas ( 2.5 ,   - 0.25 )

Para f x = x ² - 5 x + 6 temos:

a > 0 → C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

R a í z e s → 2   e   3

V é r t i c e → ( 2.5 , -   0.25 )

Vamos observar isso no gráfico?

Imagem

A imagem da função de segundo grau está intimamente ligada ao seu vértice. Quando a função é côncava para cima, o seu vértice será o ponto de mínimo da parábola, e, portanto, a imagem será todos os valores iguais ou maiores que o ponto.

Já quando a função é côncava para baixo, o seu vértice será o ponto de máximo e a imagem, portanto, será todos os valores iguais ou menores que esse ponto.

No exemplo do f x = x 2 - 1 , temos que: f x v = - Δ 4 a = - 4 4 = - 1

Também, temos a = 1 , ou seja, a função é côncava para cima e o valor do f ( x v ) indica o ponto mínimo da função. Dessa forma, a imagem será:

I m f = y ∈ R     y ≥ - 1 }

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Faça o esboço da seguinte função de 2 º grau

f x = - x 2 + 7 x + 30

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Essa questão é bem de boa né? Ele quer o esboço da função, para isso lembra quais as duas primeiras coisas a fazer? Essa é uma função de 2 º grau, então precisamos:

  1. Achar as raízes dessa função
  2. Achar a concavidade dessa função

Vamos começar com a raiz, que vai ser

f x = 0

Então

- x 2 + 7 x + 30 = 0

x = - 7 ± 7 2 - 4 ∙ - 1 ∙ 30 2 ∙ - 1 = - 7 ± 49 + 120 - 2 = - 7 ± 169 - 2 = - 7 ± 13 - 2

Assim vamos ter

x 1 = - 7 + 13 - 2 = 6 - 2 = - 6 2 = - 3

x 2 = - 7 - 13 - 2 = - 20 - 2 = 20 2 = 10

Passo 2

Agora vamos para o segundo passo, que é achar a concavidade dessa função, repara que temos

a = - 1

b = 7

c = 30

Assim, como a < 0 , essa função é côncava para baixo

Passo 3

Beleza, agora que sabemos essas duas informações podemos fazer o esboço do gráfico, mas antes de continuarmos vamos fazer umas contas a mais, só para deixar o nosso gráfico mais completo.

Vamos achar mais dois pontos, o extremo da parábola, e o ponto que ela corta o eixo y .

O extremo, que é chamado de vértice vai ser

x v = - b 2 a = - 7 2 ∙ - 1 = - 7 - 2 = 7 2 = 3,5

E

y v = f x v = - Δ 4 a = - 7 2 - 4 ∙ - 1 ∙ 30 4 ∙ - 1 = - 49 + 120 - 4 = - 169 - 4 = 169 4 = 42,25

Agora vamos achar o ponto que ela corta o eixo y , que vai ser quando

x = 0

Assim

f 0 = - 0 2 + 7 ∙ 0 + 30

f 0 = 30

Passo 4

Vamos repassar as informações que achamos:

R a i z 1 , x = - 3 R a i z 2 , x = 10 V é r t i c e , 3,5 ; 42,25 P o n t o   q u e   c o r t a   o   e i x o   y , 0,30 C o n c a v i d a d e , C ô n c a v a   p a r a   b a i x o

Agora é só fazer a nossa parábola

Eu marquei de diferentes cores os principais pontos que usamos só para você conseguir se localizar,

R a í z e s ⇒ V e r m e l h o V é r t i c e ⇒ A z u l P o n t o   q u e   c o r t a   o   e i x o   y ⇒ V e r d e