Funções Hiperbólicas

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Teoria

Introdução

Bom, chegou a hora de falar das funções hiperbólicas, que são funções em que aparece o seno ou cosseno hiperbólicos e seus derivados:

senh ⁡ x             e             c o s h ⁡ ( x )

Arrancando a máscara dos dois, vemos que eles são formados por exponenciais:

senh ⁡ x = e x - e - x 2               cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Se quisermos os valores para x = 0 , é só substituir:

senh ⁡ 0 = e 0 - e - 0 2 = 0 2 = 0

cosh ⁡ 0 = e 0 + e - 0 2 = 1 + 1 2 = 1

Que são os mesmos valores das trigonométricas normais.

Maaas diferentemente de seus quase-xarás, a relação entre os quadrados tem um sinal de menos ao invés do de mais:

cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x = 1

Por fim, os parentes são os mesmos:

tgh ⁡ x = senh ⁡ x cosh ⁡ x         cotgh ⁡ x = cosh ⁡ x senh ⁡ x = 1 tgh ⁡ x

sech ⁡ x = 1 cosh ⁡ x             cossech ⁡ x = 1 senh ⁡ x

Domínio

Agora vamos voltar a definição pelas exponenciais e analisar o domínio das hiperbólicas.

Como temos a soma ou subtração de exponenciais, que têm como domínio o conjunto de todos os números reais, é de se esperar que o senh ⁡ x e cosh ⁡ x também tenham domínio nos reais, certo? Isso mesmo!

D senh ⁡ x = R           D cosh ⁡ x = R

Já para as demais relações hiperbólicas, que são sempre divisões, temos que ter cuidado com os pontos onde o denominador é zero, porque não será possível dividir e o ponto não fará parte do domínio.

Isso acontece para as funções que têm o senh ⁡ x no denominador, que zera apenas no ponto x = 0 , logo:

D cotgh ⁡ x = R - 0 D cossech ⁡ x = R - 0  

Já o cosh ⁡ x nunca zera, então não teremos problema nenhum nas funções que o tem como denominador e seus domínios serão todos os números reais:

D tgh ⁡ x = R D sech ⁡ x = R

Imagem e gráficos

Falando de imagem agora, a coisa muda de figura. Esqueça as relações trigonométricas, pois a imagem do seno e cosseno hiperbólico não é limitada entre - 1 e 1 .

Vamos olhar a definição de novo, para o seno, temos:

senh ⁡ x = e x - e - x 2

Sabemos que em x = 0 , a função vale zero, mas o que acontece quando ela se afasta? Se x cresce, a parcela de e x vai crescendo também, enquanto:

e - x = 1 e x

Vai diminuindo e se aproximando de zero. Dessa maneira, a função vai crescendo indefinidamente conforme x cresce e a imagem abrange todos os números positivos.

Show? Mas e se x descresce? Aí temos o contrário, e x diminui e e - x cresce, mas como temos o sinal de menos na frente do segundo termo, a função se torna cada vez mais negativa e a imagem abrange também todos os números negativos.

Então, a imagem é o conjunto de todos os números, positivos e negativos, ou seja:

I m senh ⁡ x = R

Essa mesma ideia nos leva ao gráfico:

Para o cosseno, temos a soma de exponenciais, que são sempre positivas:

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Independente de que lado tomemos a partir da origem, o cosseno hiperbólico sempre aumentará e será sempre positivo.

Vimos que para x = 0 , cosh ⁡ 0 = 1 e esse é o menor valor da função. Assim, a imagem será composta por todos os valores de y maiores que 1:

I m cosh ⁡ x = y ∈ R   |   y ≥ 1

Essa ideia vai levar ao seguinte gráfico:

Show? Agora, que tal uns exercícios? :D

Domínio

Imagem e gráficos

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Dada a função

f x = sen h ⁡ x

Determine o valor de y para x = 0

Passo 1

Opa!!! Vamos lá!! Vamos primeiro observar como nós definimos o sen h ⁡ x lá na nossa teoria. Vimos que ele aparece assim...

sen h ⁡ x = e x - e - x 2

Certo?

Beleza!! Então vamos partir dessa definição!

Passo 2

Queremos o valor de y para x = 0 , então basta substituirmos esse valor na nossa função. Vai ficar assim ó..

senh ⁡ 0 = e 0 - e - 0 2

Isso vai ser igual a

senh ⁡ 0 = 1 - 1 2 = 0 2 = 0

Assim,

senh ⁡ 0 = 0

Show de bola?!

Resposta

0

Exercício Resolvido #2

Reescreva a expressão em forma de exponenciais e simplifique o máximo que puder:

senh ⁡ x - cosh ⁡ x 2

Passo 1

Vamos lááá! Queremos simplificar a expressão

senh ⁡ x - cosh ⁡ x 2

Certo!? MSA PERA!! Primeiramente, não podemos confundir:

senh ⁡ x - cosh ⁡ x 2

Com

senh 2 ⁡ x - cosh 2 ⁡ x = - 1

Beleza?! Cuidado!

Como o problema quer o tudo em exponenciais, vamos aplicar a definição:

senh ⁡ x = e x - e - x 2 cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Substituindo esses valores na expressão, temos

e x - e - x 2 - e x + e - x 2 2

Fazendo as continhas, temos

e x - e - x 2 - e x + e - x 2 2 = - 2 e x 2 2 = e 2 x

Assim,

senh ⁡ x - cosh ⁡ x 2 = e 2 x

Show de bola?!

Resposta

senh ⁡ x - cosh ⁡ x 2 = e 2 x

Exercício Resolvido #3

Mostre que a função

f x =   s e n h ( x )

É uma função ímpar.

Passo 1

Vamos lááá!! Antes de qualquer coisa, vamos relembrar o que significa uma função ser ímpar?

Uma função será ímpar quando

f - x = - f x

Beleza?! Então vamos verificar se essa igualdade é satisfeita com a função f x =   s e n h ( x ) ?!

Passo 2

Podemos escrever a função senh ⁡ x da forma exponencial

senh ⁡ x = e x - e - x 2

Utilizaremos ela para verificar se a igualdade f - x = - f x

É verdadeira, beleza?!

Assim,

senh ⁡ - x = e - x - e + x 2

Da mesma forma,

- senh ⁡ x = - e x - e - x 2 = - e x + e - x 2

Ou seja,

senh ⁡ - x = - senh ⁡ x

Logo, a função s e n h x é ímpar!

Resposta

Exercício Resolvido #4

Mostre que a função

f x =   c o s h ( x )

É uma função par.

Passo 1

Vamos lááá!! Antes de qualquer coisa, vamos relembrar o que significa uma função ser par?

Uma função será par quando

f - x = f x

Beleza?! Então vamos verificar se essa igualdade é satisfeita com a função f x =   c o s h ( x ) ?!

Passo 2

Podemos escrever a função senh ⁡ x da forma exponencial

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Utilizaremos ela para verificar se a igualdade c o s h - x = c o s h x

É verdadeira, beleza?!

Assim,

cosh ⁡ - x = e - x + e x 2

OPA! O a expressão que encontramos é exatamento a expressão de cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Ou seja,

c o s h - x = c o s h x

Logo, a função cosh ⁡ x é par!

Resposta

Exercício Resolvido #5

Mostre que a função

f x =   t g h ( x )

É uma função ímpar.

Passo 1

Vamos lááá!! Antes de qualquer coisa, vamos relembrar o que significa uma função ser ímpar?

Uma função será ímpar quando

f - x = - f x

Beleza?! Então vamos verificar se essa igualdade é satisfeita com a função f x =   t g h ( x ) ?!

Passo 2

Podemos escrever a função tg h ⁡ x da forma

tgh ⁡ x = s e n h x   cosh ⁡ x

Beleza?! Utilizaremos ela para verificar se a igualdade f - x = - f x

É verdadeira, beleza?!

Assim,

tgh ⁡ - x = s e n h - x   cosh ⁡ - x

Temos que a função s e n h x é uma função ímpar, então

senh ⁡ - x = - senh ⁡ x

Da mesma forma, a função cosh ⁡ x é par, então

c o s h - x = c o s h x

Assim,

tgh ⁡ - x = - s e n h x   cosh ⁡ x

Opa! A expressão que encontramos

- s e n h x   cosh ⁡ x =   - t g h x

Ou seja,

t g h - x = - t g h x

Logo, a função t g h x é ímpar!

Resposta

Exercício Resolvido #6

Dada a função

f x = cos h ⁡ x

Determine o valor de y para x=0

Passo 1

Vamos primeiro observar como nós definimos o cosh ⁡ x lá na nossa teoria. Vimos que ele aparece assim...

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Certo?

Beleza, se queremos o valor de y para x=0, basta substituirmos na nossa função... Vai ficar assim ó..

cosh ⁡ 0 = e 0 + e - 0 2

Isso vai ser igual a

cosh ⁡ 0 = 1 + 1 2 = 2 2 = 1

Tranquilinho, né?

Resposta

1

Exercício Resolvido #7

Prove que

cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x = 1

Passo 1

Para provarmos isso, vamos sair de um dos lados da igualdade e tentar chegar no outro... Por motivos lógicos, é muito mais fácil sairmos do lado esquerdo da igualdade e tentarmos chegar que isso é igual a 1. Vamos tentar?

Beleza, de início vamos trabalhar com as definições de cosh ⁡ x e   s e n h x . Sendo assim, teremos:

senh ⁡ x = e x - e - x 2   e       cosh ⁡ x = e x + e - x 2

cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x = e x + e - x 2 2 - e x - e - x 2 2

Aplicando os produtos notáveis, teremos:

Reorganizando...

Lembrando que: 2 e x e - x = 2 e x - x = 2 e 0 = 2   .   1 = 2 , ficamos assim:

2 + 2 4 = 4 4 = 1

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Exercício Resolvido #8

Determine o valor de:

c o s s e c h ( ln ⁡ 2 )

Passo 1

Lembrando que a cossecante é o inverso do seno, podemos escrever o seguinte:

c o s s e c h ln ⁡ 2 = 1 s e n h ln ⁡ 2

Lembrando da definição de s e n h como

senh ⁡ x = e x - e - x 2

Podemos escrever:

c o s s e c h ln ⁡ 2 = 1 s e n h ln ⁡ 2 = 1 e ln ⁡ 2 - e - ln ⁡ 2 2 = 2 e ln ⁡ 2 - e - ln ⁡ 2

Agora, um pulo do gato importante:

e ln ⁡ 2 = 2                         e                   e - ln ⁡ 2 = 1 2

A gente sempre “corta” o e com o l n (Quando o log natural está no expoente)

Ah, mas por que ficou ½ ali?

Lembra que quando temos o sinal negativo no expoente a gente inverte?

O inverso de 2 é o 1/2, ok?

Show, agora só falta terminarmos essa parada...

Passo 2

Por fim, teremos o seguinte:

c o s s e c h ln ⁡ 2 = 2 e ln ⁡ 2 - e - ln ⁡ 2 = 2 2 - 1 2 = 2 3 2 = 4 3

Ou sejaaaa...

c o s s e c h ln ⁡ 2 = 4 3

Resposta

c o s s e c h ln ⁡ 2 = 4 3

Exercício Resolvido #9

Determine o domínio e imagem de:

f x = senh ⁡ ln ⁡ x

Passo 1

Hummm. Antes de pensar no domínio, vamos tentar simplificar isso aí. Para tal, vamos aplicar a definição pelas exponenciais:

senh ⁡ x = e x - e - x 2 ⟹ senh ⁡ ln ⁡ x = e ln ⁡ x - e - ln ⁡ x 2 = e ln ⁡ x - 1 e ln ⁡ x 2

Podemos “cortar” o e com o l n :

… = x - 1 x 2 = 1 2 x 2 - 1 x

Passo 2

Veja só, conseguimos transformar uma sopa de hiperbólica com log em algo uma função racional.

O domínio dessa função excluirá os pontos onde o denominador zera. Isso ocorre em x = 0 , então ele não vai fazer parte do domínio, ficando:

D f x = R - 0

Passo 3

Vamos pensar na imagem agora. O que não é tão difícil. Veja que o numerador é uma parábola virada para cima com mínimo em - 1 , enquanto o denominador é x .

A parábola pode assumir valores negativos de - 1 até 0 e o numerador pode assumir qualquer valor positivo ou negativo, sendo que eles não trocam juntos de sinal. Dessa maneira, a imagem pode ser qualquer número real, e, portanto:

I m f x = R

Resposta

D f x = R - 0

I m f x = R

Exercício Resolvido #10

Esboce o gráfico de:

f x = senh 2 ⁡ x + cosh 2 ⁡ x - 1 2

Passo 1

Não confunda essa expressão com identidade fundamental trigonométrica, lembre-se que:

senh 2 ⁡ x + cosh 2 ⁡ x ≠ 1

Mas sim:

cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x = 1

Vamos então tentar usar essa identidade para simplificar f x e então esboçá-lo. Para tal, vamos tentar escrever a expressão de maneira que a identidade fundamental apareça.

Se somarmos e subtrairmos se nh 2 ⁡ x dentro da raiz estaremos somando zero e, portanto, não alterando nada, certo? Então vamos fazer isso:

f x = senh 2 ⁡ x + cosh 2 ⁡ x - 1 + senh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x 2

Agora vamos reorganizar para aparecer a identidade:

f x = cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x - 1 + senh 2 ⁡ x + senh 2 ⁡ x 2

Olha ela lá! Vamos substituir:

f x = 1 - 1 + 2 senh 2 ⁡ x 2 = senh ⁡ x

Passo 2

Agora ficou tranquilo, né? Já vimos esse gráfico na teoria. A diferença é que, por aparecer o módulo, a parte positiva estará refletida para cima:

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

Prove que a função seno hiperbólico é contínua e crescente em todo o s
Prove que a função cosseno hiperbólico é contínua em todo o seu domíni
Prove que a função tangente hiperbólico é contínua e crescente em todo
Prove que a catenária é côncava para cima em todo ponto.OBS: Equação d