Funções Hiperbólicas

Teoria Completa

Introdução

Show, chegou a hora de falar das funções hiperbólicas, que são aquelas funções em que aparece o seno ou cosseno hiperbólicos e seus derivados.

Arrancando a máscara dos dois, vemos que temos exponenciais por de trás:

senh ⁡ x = e x - e - x 2 cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Assim, se substituirmos, encontramos:

senh ⁡ 0 = e 0 - e - 0 2 = 0 2 = 0

Assim como nas trigonométricas normais. Diferentemente de seus quase-charas a relação entre os quadrados tem um sinal de menos ao invés do de mais:

cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x = 1

Mas os parentes são os mesmos:

tgh ⁡ x = senh ⁡ x cosh ⁡ x cotgh ⁡ x = cosh ⁡ x senh ⁡ x = 1 tgh ⁡ x

sech ⁡ x = 1 cosh ⁡ x cossech ⁡ x = 1 senh ⁡ x

Domínio

Agora vamos voltar a definição pelas exponenciais e analisar o domínio das hiperbólicas. Como temos a soma ou subtração de exponenciais que têm domínio no conjunto dos números reais, é de se esperar que o senh ⁡ x e cosh ⁡ x também têm domínio nos reais, certo? Sim, sem porém nenhum!

D senh ⁡ x = R D cosh ⁡ x = R

Já para as demais relações hiperbólicas, teremos que ter cuidado com o ponto zero, pois, se ele aparecer no denominador, teremos indeterminações e o ponto não fará parte do domínio. Isso acontece para as funções que têm o senh ⁡ x no denominador, que zera no ponto x = 0 , como cotgh ⁡ x e cossech ⁡ x :

D cotgh ⁡ x = R - 0 D cossech ⁡ x = R - 0  

Para as demais, nada muda:

D tgh ⁡ x = R D sech ⁡ x = R

Imagem e gráficos

Falando de imagem agora, a coisa muda de figura. Esqueça as relações trigonométricas, pois a imagem do seno e cosseno hiperbólico não é limitada entre - 1 e 1 .

Vamos olhar a definição de novo, para o seno, temos:

senh ⁡ x = e x - e - x 2

Sabemos que em x = 0 , a função vale zero, mas o que acontece quando ela se afasta? Se x cresce, a parcela de e x vai crescendo também, enquanto:

e - x = 1 e x

Vai diminuindo e se aproximando de zero. Dessa maneira, a função vai crescendo indefinidamente conforme x cresce e a imagem abrange todos os números positivos.

Show? Mas e se x descresce? Aí temos o contrário, e x diminui e e - x cresce, mas como temos o sinal de menos na frente do segundo termo, a função se torna cada vez mais negativa e a imagem abrange também todos os números negativos:

I m senh ⁡ x = R

Essa mesma ideia nos leva ao gráfico:

Para o cosseno, jovem, temos a soma de exponenciais que são sempre positivas:

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Independente de que lado tomemos a partir da origem, o cosseno hiperbólico sempre aumentará e será sempre positivo. Vimos que para x = 0 , cosh ⁡ 0 = 1 e esse é o seu menor valor. Assim a imagem será:

I m cosh ⁡ x = x ∈ R   |   x ≥ 1

Essa ideia vai levar ao seguinte gráfico:

Show?Agora, que tal uns exercícios? :D

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Dada a função

f x = cos h ⁡ x

Determine o valor de y para x=0

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Passo 1

Vamos primeiro observar como nós definimos o cosh ⁡ x lá na nossa teoria. Vimos que ele aparece assim...

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Certo?

Beleza, se queremos o valor de y para x=0, basta substituirmos na nossa função... Vai ficar assim ó..

cosh ⁡ 0 = e 0 + e - 0 2

Isso vai ser igual a

cosh ⁡ 0 = 1 + 1 2 = 2 2 = 1

Tranquilinho, né?

Resposta

1

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Prove que

cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x = 1

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Passo 1

Para provarmos isso, vamos sair de um dos lados da igualdade e tentar chegar no outro... Por motivos lógicos, é muito mais fácil sairmos do lado esquerdo da igualdade e tentarmos chegar que isso é igual a 1. Vamos tentar?

Beleza, de início vamos trabalhar com as definições de cosh ⁡ x e   s e n h x . Sendo assim, teremos:

senh ⁡ x = e x - e - x 2   e       cosh ⁡ x = e x + e - x 2

cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x = e x + e - x 2 2 - e x - e - x 2 2

Aplicando os produtos notáveis, teremos:

Reorganizando...

Lembrando que: 2 e x e - x = 2 e x - x = 2 e 0 = 2   .   1 = 2 , ficamos assim:

2 + 2 4 = 4 4 = 1

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Determine o valor de:

c o s s e c h ( ln ⁡ 2 )

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Passo 1

Lembrando que a cossecante é o inverso do seno, podemos escrever o seguinte:

c o s s e c h ln ⁡ 2 = 1 s e n h ln ⁡ 2

Lembrando da definição de s e n h como

senh ⁡ x = e x - e - x 2

Podemos escrever:

c o s s e c h ln ⁡ 2 = 1 s e n h ln ⁡ 2 = 1 e ln ⁡ 2 - e - ln ⁡ 2 2 = 2 e ln ⁡ 2 - e - ln ⁡ 2

Agora, um pulo do gato importante:

e ln ⁡ 2 = 2                         e                   e - ln ⁡ 2 = 1 2

A gente sempre “corta” o e com o l n (Quando o log natural está no expoente)

Ah, mas por que ficou ½ ali?

Lembra que quando temos o sinal negativo no expoente a gente inverte?

O inverso de 2 é o 1/2, ok?

Show, agora só falta terminarmos essa parada...

Passo 2

Por fim, teremos o seguinte:

c o s s e c h ln ⁡ 2 = 2 e ln ⁡ 2 - e - ln ⁡ 2 = 2 2 - 1 2 = 2 3 2 = 4 3

Ou sejaaaa...

c o s s e c h ln ⁡ 2 = 4 3

Resposta

c o s s e c h ln ⁡ 2 = 4 3

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Determine o domínio e imagem de:

f x = senh ⁡ ln ⁡ x

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Passo 1

Hummm. Antes de pensar no domínio, vamos tentar simplificar isso aí. Para tal, vamos aplicar a definição pelas exponenciais:

senh ⁡ x = e x - e - x 2 ⟹ senh ⁡ ln ⁡ x = e ln ⁡ x - e - ln ⁡ x 2 = e ln ⁡ x - 1 e ln ⁡ x 2

Podemos “cortar” o e com o l n :

… = x - 1 x 2 = 1 2 x 2 - 1 x

Passo 2

Veja só, conseguimos transformar uma sopa de hiperbólica com log em algo uma função racional.

O domínio dessa função excluirá os pontos onde o denominador zera. Isso ocorre em x = 0 , então ele não vai fazer parte do domínio, ficando:

D f x = R - 0

Passo 3

Vamos pensar na imagem agora. O que não é tão difícil. Veja que o numerador é uma parábola virada para cima com mínimo em - 1 , enquanto o denominador é x .

A parábola pode assumir valores negativos de - 1 até 0 e o numerador pode assumir qualquer valor positivo ou negativo, sendo que eles não trocam juntos de sinal. Dessa maneira, a imagem pode ser qualquer número real, e, portanto:

I m f x = R

Resposta

D f x = R - 0

I m f x = R

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Esboce o gráfico de:

f x = senh 2 ⁡ x + cosh 2 ⁡ x - 1 2

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Passo 1

Não confunda essa expressão com identidade fundamental trigonométrica, lembre-se que:

senh 2 ⁡ x + cosh 2 ⁡ x ≠ 1

Mas sim:

cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x = 1

Vamos então tentar usar essa identidade para simplificar f x e então esboçá-lo. Para tal, vamos tentar escrever a expressão de maneira que a identidade fundamental apareça.

Se somarmos e subtrairmos se nh 2 ⁡ x dentro da raiz estaremos somando zero e, portanto, não alterando nada, certo? Então vamos fazer isso:

f x = senh 2 ⁡ x + cosh 2 ⁡ x - 1 + senh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x 2

Agora vamos reorganizar para aparecer a identidade:

f x = cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x - 1 + senh 2 ⁡ x + senh 2 ⁡ x 2