Modificações gráficas

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Primeiramente, o que seria alterar um gráfico? Aqui, vamos falar sobre algumas das possibilidades de mudanças que podemos fazer no gráfico de uma função, como movê-lo no plano cartesiano, refletí-lo ou deixá-lo mais ou menos inclinado.

Transformações do tipo y = f ( x - c ) e y = f x + c

Essa transformação acontece no eixo horizontal porque estamos mexendo com a variável x .

Logo, temos duas possibilidades: o gráfico pode se movimentar para a direita ou para esquerda. Não há outra alternativa de “caminho” no eixo x .

A pergunta que fica é: se estamos saindo de y = f x para y = f x - c vamos pra direita ou para a esquerda? E aí o que você acha?

Vamos ver o que acontece em um exemplo!

Exemplo: vamos começar com a função y = x 2 - 4 .

Como temos uma função do 2º grau, podemos afirmar que seu gráfico será uma parábola. Com algumas continhas, achamos suas raízes:

x 2 - 4 = 0

x 2 = 4

x = 4 = ± 2

Por fim, como o x 2 da função está “sozinho”, o a que o acompanha vale 1 , que sendo positivo faz a parábola ter abertura pra cima, então o gráfico fica:

Agora vamos esboçar o gráfico da função

y = f x - 3

Aqui, vamos substituir todos os x que fazem parte da nossa função por ( x - 3 ) . Como só temos o x 2 , a função vai ficar

y = x - 3 2 - 4

Repare que como o x estava elevado ao quadrado, o ( x - 3 ) que colocamos também fica elevado ao quadrado!

Mas e aí, como vamos esboçar o gráfico de y = x - 3 2 - 4 ?

Primeiro, repare que:

y = x - 3 2 - 4 ⟹ y = x 2 - 6 x + 9 - 4

y = x 2 - 6 x + 5

Essa função é uma parábola igual a outra só que com raízes diferentes, que são 1 e 5 . Então, seu gráfico fica:

Tá beleza, mas o que um gráfico tem a ver com o outro?

Vamos colocar um do lado do outro pra conseguir enxergar o que ta rolando:

As formas dos gráficos são iguais né? Ambos são parábolas voltadas para cima.

Olhando com um pouco mais de cuidado podemos perceber que, na verdade, o gráfico verde parece ser o gráfico azul deslocado para direita. Concorda?

Mas porque fizemos isso? Repara que temos f x   para a função azul e f x - 3 para a função verde.

Nessa última, tudo acontece 3 unidades depois porque estamos tirando, subtraindo, 3 do x . Isso faz a função “atrasar” tudo em 3 , então vai acontecer tudo igual mas com x indo 3 unidades para direita.

Opa! Aprendemos a primeira transformção, que chamamos de translação.

Conhecendo o gráfico de y = f x , o gráfico de y = f x - c é obtido a partir do gráfico de f x deslocando-o em c unidades para a DIREITA!

Usando a mesma lógica, conhecendo o gráfico de y = f x , o gráfico de y = f x + c é obtido a partir do gráfico de f x , mas agora deslocando em c unidades para a ESQUERDA!

Lembre que aqui estamos usando c como uma constante POSITIVA!

Transformações do tipo y = f ( x ) - c e y = f x + c

Repare que estamos, novamente, somando e subtraindo uma constante c , mas desta vez a constante está fora do parêntese.

Vamos ver um exemplo para entender como funciona, usando novamente a função f x = x 2 - 4 . Então, se quisermos fazer

y = f x + 6

Temos que somar o 6 à função que temos inicialmente:

y = ( x 2 - 4 ) + 6 ⟹ y = x 2 + 2

Mais uma vez temos uma parábola e, comparando os gráficos, podemos ver como a mudança afeta a função:

Repare que o gráfico em vermelho, que representa a função f x = x 2 + 2 , é idêntico ao azul, que representa f x = x 2 - 4 , mas deslocado pra cima exatamente em 6 unidades!

Mas por que isso acontece?

Nas transformações do tipo y = f ( x ) - c e y = f x + c , a função inteira está sendo somada ou subtraída em c unidades, ou seja, você está mudando o valor de y e mantendo o x igual. E como só estamos mudando o valor de y , o gráfico se desloca também no sentido de y : subindo ou descendo.

Então se conhecemos o gráfico de y = f x e queremos esboçar o gráfico de y = f x + c basta deslocar o gráfico de f x em c unidades para cima!

E se quisermos esboçar o gráfico de y = f x - c , basta deslocar o gráfico de y = f x em c unidades para baixo.

De novo, c deve ser uma constante POSITIVA!

Transformações do tipo y = f - x e y = - f x

Mais uma vez vale lembrar que, quando estamos mexendo dentro do parêntese da expressão y = f x estamos mexendo diretamente no x e se mudarmos algo fora do parêntese, estamos mexendo diretamente no y !

Com isso em mente, como fazer f - x a partir do gráfico de f x ?

Vamos começar com o gráfico de f x = x :

Importante lembrar que dentro de uma raiz quadrada só podem entrar números positivos, por isso o gráfico começa em x = 0 e depois conforme o x vai crescendo, o y vai crescendo também.

Agora vamos ver o que muda para f ( - x ) , que será:

y = - x

Como fica o gráfico dessa função? Estamos perdidos? Não! Precisamos pensar quais são os números que quando eu colocar ali dentro o resultado será positivo.

Como temos o sinal de negativo na função, pro valor dentro da raiz ser positivo precisamos de números também negativos, já que - × - = + ! Então o gráfico fica:

Repare que é o mesmo gráfico de antes só que “para o outro lado”.

Então, se estamos indo do gráfico de f x para o gráfico de f - x , tudo que era positivo no domínio passou a ser negativo, não foi? E tudo que era negativo passou a ser positivo, já que tem um sinal de menos ali na frente. Então é como se tivéssemos invertido a orientação do eixo horizontal.

É COMO SE TIVÉSSEMOS. Não estamos mudando orientação nenhuma, isso só ajuda a entender o que tá rolando, o eixo fica lá paradinho na dele, mas é como se girássemos 180 ° em torno do eixo vertical, isto é, refletimos tudo ao redor dele.

Resumindo: para esboçar o gráfico de f - x a partir do gráfico de f x , basta girar o gráfico de f x em torno do eixo vertical!

E para obter o gráfico de - f x , vai acontecer uma coisa beeem parecida, basta girar o gráfico de f x em 180 ° em torno do eixo horizontal e tudo que tava em cima vai pra baixo e vice-versa, já que aqui estamos mexendo com o y !

Vamos ver como exemplo o gráfico de y = - x :

Repare que ele tem a mesma forma do gráfico de y = x só que “de cabeça pra baixo”! E é isso que vai acontecer sempre que fizermos essas mudanças do tipo - f ( x ) !

Isso é tudo, pessoal!

Transformações do tipo y = f ( x ) - c e y = f x + c

Transformações do tipo y = f - x e y = - f x

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Esboce o gráfico da função

x + 1 2 + 1

Partindo do gráfico da função x 2

Passo 1

Vamos lá!! O enunciado já nos dá a dica de que devemos começar a esboçar o gráfico da função a partir da função x 2 ! Então vamos lá!!

A função x 2 tem essa carinha aqui:

Beleza?!

Passo 2

Agora vamos fazer algo do tipo y = f x + c . Ou seja, onde é x na função vai virar x + 1 . Então a função vai ficar com essa carinha   x + 1 2 . Tá... mas o que acontece com o gráfico nesse caso?

Quando temos uma transformação do tipo y = f x + c essa transformação acontece no eixo horizontal, porque estamos mexendo com a variável x . Então temos a possibilidade dele andar para a direita e para a esquerda.

Como estamos somando 1 , deslocaremos 1   unidades para a esquerda!

Perceba que na hora de fazer esse deslocamento no eixo x , fazemos sempre ao contrário. Se estivermos somando c , andamos c unidade para trás, e se estivermos subtraindo c , andamos c unidade para frente. Assim, nosso gráfico se torna:

Ou seja, já temos o esboço da função x + 1 2 !

Passo 3

Agora falta somarmos 1 para chegarmos na função x + 1 2 + 1 .

E o que vai acontecer com o esboço do nosso gráfico quando fizermos isso?

Repare que estamos somando novamente um número, porém agora estamos somando fora dos parênteses.

Temos algo do tipo f x + c . Nesse caso, o gráfico irá se deslocar para cima ou para baixo.

Aqui como estamos somando, o gráfico irá deslocar para cima! Então, teremos

E assim conseguimos fazer o esboço da função x + 1 2 + 1 !!! Uhulll!!

Resposta

Exercício Resolvido #2

Faça o passo a passo de como construir o gráfico de y = sen ⁡ ( 2 x ) + 1   a partir do gráfico de sen ⁡ ( x ) .

Passo 1

Opa! Bora lá!! Como o enunciado diz, precisamos partir do gráfico de s e n ( x ) :

Beleza?!

Passo 2

Primeiro vamos multiplicar o x por 2 dentro do parêntenses. O que irá acontecer com o nosso gráfico quando fizermos isso? O período da função irá mudar! O período T pode ser calculado por

T = 2 Π c

Sendo c o que multiplica o x ! Assim, como o número que está multiplicando o x   é o 2

T = 2 Π c = 2 Π 2 = Π

Ou seja, estaremos encolhendo a nossa função em 2 vezes no eixo x :

Passo 3

Agora falta somarmos 1 para chegarmos na função sen ⁡ ( 2 x ) + 1   . E o que vai acontecer com o esboço do nosso gráfico quando fizermos isso?

Repare que estamos somando novamente um número, porém estamos somando fora do parêntese agora. Temos algo do tipo f x + c . Então o gráfico irá se deslocar para cima ou para baixo.

Aqui como estamos somando, o gráfico irá deslocar para cima! Então, teremos

E assim conseguimos fazer o esboço da função sen ⁡ ( 2 x ) + 1   !!!

Resposta

Exercício Resolvido #3

Esboce o gráfico de y = 2 - x a partir do gráfico de y = x .

Passo 1

Vamos lááá!!! Como o enunciado diz, precisamos partir do gráfico de y = x

Beleza?!

Passo 2

Primeiro vamos multiplicar o x por - 1 dentro do parêntenses. O que irá acontecer com o nosso gráfico quando fizermos isso? O que faremos será refletir o gráfico de y = x em torno do eixo y :

Passo 3

Agora falta multiplicarmos a função por 2 para chegarmos na função y = 2 - x   . E o que vai acontecer com o esboço do nosso gráfico quando fizermos isso? Como estamos multiplicando a função por um número maior do que 1 , vamos expandir o gráfico de y = x verticalmente 2 unidades! Ficará assim:

E assim conseguimos fazer o esboço da função y = 2 - x   !!

Resposta

Exercício Resolvido #4

Esboce o gráfico da função y = t g x 2 + 1 a partir do gráfico de y = t g x .

Passo 1

Fala Aíí!! Vamos partir do gráfico da função de y = t g x

Beleza?!

Passo 2

Primeiro vamos multiplicar o x por 1 2 na nossa função. O que irá acontecer com o nosso gráfico quando fizermos isso? ? O período da função irá mudar! O período T pode ser calculado por

T = π c

Assim,

T = π 1 / 2 = 2 π

Dessa forma, estaremos esticando a nossa função ao dobro no eixo x . Vamos ficar com essa carinha:

Passo 3

Agora falta somarmos 1 a nossa função para chegarmos na função y   = t g x 2 + 1   . E o que vai acontecer com o esboço do nosso gráfico quando fizermos isso? Repare que estamos somando um número, porém estamos somando fora do parêntese agora. Temos algo do tipo f x + c . Então o gráfico irá se deslocar para cima:

E assim conseguimos fazer o esboço da função y   = t g x 2 + 1     !!

Resposta

Exercício Resolvido #5

Esboce os gráficos da função

f x = - 2 + x + 1

Passo 1

Opa, vamos esboçar essa figurinha marota agora.

A primeira coisa que a gente faz aqui é escolher a nossa função inicial para depois fazer as devidas transformações. Saca só!

Vou escolher como função f x inicial um função parecida que essa que eu saiba desenha o gráfico. De cara, minha f x vai ser

f x = x

O gráfico dessa função é o seguinte:

Passo 2

Fazendo uma transformação do tipo f x = f x + 1 , teremos:

f x = x + 1

Nesta transformação, como a gente já viu, estaremos arrastando a nossa função em uma unidade para o lado esquerdo e o gráfico resultante vai ser:

Passo 3

Show de bola!

Agora, fazendo a 2ª e última transformação, que vai ser do tipo f x = f x - 2 , teremos:

f x = - 2 + x + 1

Que é a função que a gente quer descobrir.

Essa transformação desloca o meu gráfico em 2 unidades para baixo, certo?

Dessa forma, vamos encontrar o gráfico que é a resposta dessa questão linda, dado por:

Resposta

Exercício Resolvido #6

Esboce o gráfico de f x = 2 + | x - 1 |

Passo 1

Em primeiro lugar escreveremos a regra para a função modular.

f x = 2 + x - 1   s e   x - 1 ≥ 0 2 - x - 1       s e   ( x - 1 ) < 0

Logo:

f x = x + 1   s e   x ≥ 1 - x + 3   s e   x < 1

Passo 2

Vamos construir esse gráfico em duas partes.

Primeiro, a partir de x = 1 , vamos construir a reta x + 1 .

Depois, antes de x = 1 , vamos construir a reta - x + 3 .

Obs: poderíamos usar outro método para construir esse gráfico. Poderiamos desenhar o gráfico da função x - 1 e usar o macete do espelho, espelhando tudo abaixo do eixo x . Depois, teríamos que “subir” o gráfico em duas unidades, já que a função é x - 1 + 2 .

Repare que daria no mesmo do método anterior.

Resposta

Exercício Resolvido #7

Esboce os gráficos da função

f x = x 3 - 4

Depois, esboce os gráficos de - f ( - x ) .

Passo 1

Bem, primeiro a gente sempre começa esboçando o gráfico por uma função que a gente sabe esboçar, né? Nesse caso, sabemos esboçar a função f x = x 3 . Seu gráfico será dado por:

Passo 2

Se a gente fizer uma pequena transformação já achamos a nossa função f x , sacou?

f x = f x - 4

Logo, como a gente aprendeu, vamos arrastar a nossa função em - 4 unidades para baixo, tendo como resultado a figura a seguir:

Passo 3

Beleza, agora queremos achar - f - x . Lembra como faz isso?

Fazendo primeiro a transformação f - x a gente tem que refletir a nossa figura no eixo y, beleza? Assim, vamos obter o seguinte gráfico:

Passo 4

Por fim, agora temos que achar - f - x . Quando uma transformação do tipo - f x acontece, o que a gente faz? Boa, garoto a !Fazemos uma reflexão do gráfico no eixo x . Desta forma vamos ter , finalmente, o gráfico que é a resposta desta questão.

Resposta

Exercício Resolvido #8

Seja f   uma função real que tem o gráfico abaixo, onde y = f ( x ) . Por exemplo, no gráfico abaixo, para x = 4 , y assume o valor 6 como no ponto destacado.

Sabendo disso, esboce o gráfico de | y | + 5 e encontre os valores de x para os quais a mesma assuma valor mínimo

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é o módulo da função f ( x ) . Quando a gente faz isso, a gente transforma tudo que é negativo em positivo, ou seja, toda a parte abaixo do eixo x no gráfico, a gente vai espelhar para cima. Ele vai ficar assim ó:

Show?

Passo 2

Agora, pense no seguinte: Se estamos somando 5 a essa nossa nova função, basta que a gente suba 5 casas com ela. Sempre que a gente fizer um somatório, a gente vai deslocar o gráfico de acordo com o somatório feito. Então ficaremos com o nosso gráfico assim:

Muito bem, percebemos que a nossa expressão y + 5 gerará 2 pontos mínimos, os pontos 1,5   e   ( 3,5 ) . Ou seja, os valores de x para os quais a função | y | + 5 assume valor mínimo são x = 1 ou   x = 3

Resposta

x = 1 ou   x = 3

Exercício Resolvido #9

Construir os gráficos das seguintes funções definidas em R :

  1. f x = cos ⁡ x 2
  2. f x = cos ⁡ x 3
  3. f x = 2 s e n ( π x )

Passo 1

  1. Temos que o gráfico da função cosseno é dado por

Passo 2

Agora multiplicamos x por 1 2 no cosseno e teremos cos ⁡ x 2 porém,o período da função vai mudar, saca só!

O período T   pode ser calculado por T = 2 π c , sendo c o que multiplica o x , teremos:

T = 2 π 1 / 2 = 4 π

Desta forma, estaremos esticando a nossa função ao dobro no eixo x.

Logo o gráfico da nossa função vai ser:

Passo 3

b)

O que fazer aqui?Molezinha!

Temos uma transformação do tipo c f x com c = 1 / 3 .

Desta forma estaremos encolhendo o nosso gráfico em 3 vezes no eixo y

O domínio continua o mesmo, pois não alteramos o valor de x . Mas a imagem se torna o intervalo - 1 3 , 1 3 que é a imagem da função cosseno, que é [ - 1,1 ] dividida por 3. Assim, o nosso gráfico será:

Passo 4

c)

Bom, como multiplicamos a função seno por 2 temos que a imagem vai se tornar o intervalo - 2,2 pelo mesmo motivo da letra b). Assim a nossa função vai esticar em duas vezes o seu tamanho no eixo y.

Além disso também temos uma transformação do tipo f c x com c = π . Desta forma, estaremos diminuindo o período da função em π vezes, passando a ser T = 2 π π = 2 .

Com isso, estaremos encolhendo a nossa função em π vezes no eixo x.

Desta forma, vamos ter o gráfico que é a nossa resposta final.

:D

Resposta

b)

c)

Exercício Resolvido #10

A função y = a + b . c o s   x com a e b reais, representada graficamente a seguir, intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, -1) e tem valor máximo y = 5 . Qual é o valor da soma 5 a + 2 b ?

Passo 1

Sabemos que o “a” da nossa função apenas vai transladar nosso gráfico para cima ou para baixo, enquanto o “b” vai nos mostrar o quanto se a função foi ampliada de tamanho(duplicou, triplicou, etc)

Observe que o nosso gráfico está com um período indo de -1 a 5, ou seja, está abrangendo 6 casas, enquanto o gráfico de cosx abrange apenas 2 casas. Isso significa que triplicamos o valor da nossa função.

Agora observa o que acontece quando multiplicamos a nossa função por -1

Nos invertemos o sentido da nossa função, isso acontece com a nossa função.

Sendo assim, o valor de b será -3.

No entanto, se fizermos o gráfico da função y = - 3 c o s x , teremos o gráfico em vermelho abaixo.

Mas queremos chegar no gráfico que está de verde e tracejado.

Ele está duas casas acima do outro, certo?

Então basta somarmos 2 a ele. Isso significa que a = 2 .

A nossa função então é :

y = 2 - 3 . c o s   x

Com a = 2   e   b = - 3

Show?

Passo 2

Agora ficou fácil, vamos achar o valor da expressão 5 a + 2 b pedida no enunciado

5 a + 2 b = 5 . 2 + 2 . - 3 = 10 - 6 = 4

Nossa resposta então será igual a 4.

Resposta

4

Exercícios de Livros Relacionados

Se f   ( x ) = 3 x 2 - x + 2 , encontre f ( 2 ) , f - 2 , f ( a )
Um balão esférico com raio de r centímetros tem o volume V r = 4 3 &nb
Classifique cada função como uma função potência, função raiz, função
Uma estrela variável é aquela cujo brilho alternadamente cresce e decr