Modificações gráficas

Teoria Completa

Primeiramente, o que seria alterar um gráfico? Para esse tipo, traremos como mover um gráfico no plano cartesiano, refleti-lo ou torná-lo mais ou menos inclinado. Venha conosco e vamos ver cada caso em separado.

Transformações do tipo y = f ( x - c ) e y = f x + c

Essa transformação acontece no eixo horizontal porque estamos mexendo com a variável x .

Logo, temos apenas duas possibilidades. Ou se movimenta para a direita ou para esquerda. Não há outra alternativa de “caminho” no eixo x .

A pergunta que fica é: se estamos saindo de y = f x para y = f x - c vamos pra direita ou para a esquerda? E aí o que você acha?

Vamos ver o que acontece em um exemplo!

Exemplo: vamos começar com a função y = x 2 - 4 , que é uma parábola. Já sabemos, não é? É uma parábola com raízes em - 2 e 2 . Tendo a = 1 , que é positivo, então o gráfico fica:

Agora vamos esboçar o gráfico da função

y = f x - 3

Isso vai ficar

y = x - 3 2 - 4

Como vamos esboçar o gráfico de y = x - 3 2 - 4 ?

Primeiro, repare que:

y = x - 3 2 - 4

⟹ y = x 2 - 6 x + 9 - 4 = x 2 - 6 x + 5

Essa função é uma parábola igual a outra só que com raízes diferente, elas são 1 e 5 . O seu gráfico fica:

Tá beleza, mas o que isso muda na nossa vida? O que um gráfico tem a ver com o outro?

Vamos colocar um do lado do outro pra conseguir enxergar o que ta rolando:

As formas dos gráficos são iguais né? Ambos são parábolas voltadas para cima.

Olhando com um pouco mais de cuidado podemos perceber que, na verdade, o gráfico verde parece ser o gráfico azul deslocado para direita. Concorda?

Mas porque fizemos isso? Repara que temos f x   para a função azul e f x - 3 para a função verde.

Nessa última, tudo acontece 3 unidades depois porque está tirando, ou mais conhecido como subtraindo, 3 do x . Isso faz a função “atrasar” tudo em 3 , então ela vai acontecer tudo igual mas com x indo 3 unidades para direita.

Opa! Aprendemos a primeira transformção, que é uma translação.

Conhecendo o gráfico de y = f x , o gráfico de y = f x - c é obtido a partir do gráfico de f x deslocando-a c unidades para a DIREITA!

Usando a mesma lógica, conhecendo o gráfico de y = f x , o gráfico de y = f x + c é obtido a partir do gráfico de f x desocando ele c unidades para a ESQUERDA!

Lembre que aqui estamos usando c como uma constante POSITIVA!

Transformações do tipo y = f ( x ) - c e y = f x + c

Repare que estamos, novamente, somando e subtraindo uma constante c , mas desta vez a constante está fora do parêntese. Vamos ver um exemplo para entender como funciona.

A função está sendo somada ou subtraída c unidades, ou seja, você está mudando o valor de y e mantendo o x igual. Mas o que isso que dizer? Que o gráfico está subindo ou descendo, porque só mudamos o valor de y .

Então se conhecemos o gráfico de y = f x e queremos esboçar o gráfico de y = f x + c basta deslocar o gráfico de f x em c unidades para cima!

Se quisermos esboçar o gráfico de y = f x - c , basta deslocar o gráfico de y = f x em c unidades para baixo.

De novo, c é uma constante POSITIVA!

Transformações do tipo y = f - x e y = - f x

Mais uma vez vale lembrar que, quando estamos mexendo dentro do parêntese da expressão y = f x estamos, na verdade, mexendo no eixo O X .

Se mudarmos algo fora do parêntese, estamos mudando alguma coisa no eixo O Y .

Com isso em mente, como fazer f - x a partir do gráfico de f x ?

Se estamos indo do gráfico de f x para o gráfico de f - x , tudo que era positivo no domínio passou a ser negativo não foi? E tudo que era negativo passou a ser positivo, já que tem um sinal de menos ali na frente. Então é como se tivéssemos mudado a orientação do eixo O X .

É COMO SE TIVÉSSEMOS. Não estamos mudando orientação nenhuma, só disse isso pra entendermos o que está rolando, o eixo fica lá paradinho na dele, mas é como se girássemos 180 ° em torno de O Y , isto é, refletimos tudo ao redor do O Y .

Vamos a um exemplo que vai ficar mais claro.

Aliás, vamos começar por um exemplo que já é um velho conhecido nosso e você vai entender rapidão. Vejamos o gráfico de f x = x .

Como sabemos, dentro de uma raiz quadrada só podem entrar números positivos!

E como fica o gráfico da função f x = - x ? Estamos perdidos? Não! É só pensarmos um pouco. Considerando a expressão - x , quais são os números que quando eu colocar ali dentro o resultado será positivo? Pronto! Sem muita dificuldade vemos que são todo os números negativos. E o gráfico fica...

É o mesmo gráfico de antes só que “para o outro lado”.

Finalizando o que aprendemos então: para esboçar o gráfico de f - x a partir do gráfico de f x , basta girar o gráfico de f x em torno do eixo O Y .

Se você descobrir o que acontece quando multiplicamos o “menos um” fora do parêntese, te dou um doce.

...

...

...

Para obter o gráfico de - f x , basta girar o gráfico de f x em 180 ° em torno do eixo O X ;-)

Transformações do tipo f c x e c f x em funções trigonométricas

Pois bem, galera. Agora vamos ver duas transformações de funções trigonométricas que nos ajudam bastante na hora de resolver alguns exercícios. São elas f c x   e   c f x .

Quando a gente tem uma função e aplica nela uma transformação do tipo f c x o período T do gráfico vai diminuir c vezes, obedecendo sempre uma regrinha, dada por:

T = 2 π c     ,     p a r a   s e n o ,   c o s s e n o   e   s e c a n t e

Ou:

T = π c   ,     p a r a   a   t a n g e n t e

Mas o que isso quer dizer? A cada vez que multiplicamos o argumento da função trigonométrica por um número c > 1 esta vai se encolher c vezes no eixo x . Já se tivermos algo do tipo f x k , ou seja, c = 1 k , a função vai se esticar k vezes também no eixo x .

Vamos dar uma olhada como isso é feito na prática para as principais funções trigonométricas. #SóVem

f x = sen ⁡ ( 3 x )

A gente já viu como é que é desenhado o gráfico da função seno, né? É algo do tipo:

Como a gente acabou de ver, ao multiplicar o meu x por 3 na função s e n x ela “encolhe” 3 vezes na direção x . O seu período vai passar a ser T = 2 π 3 , certo? E a nossa função será:

Mais uma!

Esboce:

f x = cos ⁡ x 3

O cosseno tem características bem parecidas com o seno. Nós também sabemos desenhar o seu gráfico, que é:

Como vimos, ao dividir o x por 3 na nossa função trigonométrica, vamos esticar esta em 3 vezes, pois o seu período vai passar a ser:

T = 2 π c = 2 π 1 / 3 = 6 π

E aí o gráfico da nossa função será:

Vamos ver agora como é que isso é feito na tangente? Vamos esboçar a função abaixo:

h x = tan ⁡ ( 2 x )

Jovem, o procedimento é todo igual aos que a gente já fez. A única diferença entre o seno e a tangente é que o período do seno é   T = 2 π / c e na tangente é T = π / c , mas da mesma forma ao multiplicar o x por 2 na função trigonométrica essa função vai encolher na metade no eixo x . A função tan ⁡ ( x ) é dada por:

Fazendo a transformação em 2 x , ou seja, encolhendo a função na metade, vai ficar:

Ah! A última função que vou falar e não menos importante é a secante. Bora fazer esse exemplo abaixo:

f x = sec ⁡ x 2

Vimos lá em cima como se desenhar o gráfico da secante, né? Ele é representado por: