Modificações gráficas

Teoria Completa

Primeiramente, o que seria alterar um gráfico? Para esse tipo, traremos como mover um gráfico no plano cartesiano, refleti-lo ou torná-lo mais ou menos inclinado. Venha conosco e vamos ver cada caso em separado.

Transformações do tipo y = f ( x - c ) e y = f x + c

Essa transformação acontece no eixo horizontal porque estamos mexendo com a variável x .

Logo, temos apenas duas possibilidades. Ou se movimenta para a direita ou para esquerda. Não há outra alternativa de “caminho” no eixo x .

A pergunta que fica é: se estamos saindo de y = f x para y = f x - c vamos pra direita ou para a esquerda? E aí o que você acha?

Vamos ver o que acontece em um exemplo!

Exemplo: vamos começar com a função y = x 2 - 4 , que é uma parábola. Já sabemos, não é? É uma parábola com raízes em - 2 e 2 . Tendo a = 1 , que é positivo, então o gráfico fica:

Agora vamos esboçar o gráfico da função

y = f x - 3

Isso vai ficar

y = x - 3 2 - 4

Como vamos esboçar o gráfico de y = x - 3 2 - 4 ?

Primeiro, repare que:

y = x - 3 2 - 4

⟹ y = x 2 - 6 x + 9 - 4 = x 2 - 6 x + 5

Essa função é uma parábola igual a outra só que com raízes diferente, elas são 1 e 5 . O seu gráfico fica:

Tá beleza, mas o que isso muda na nossa vida? O que um gráfico tem a ver com o outro?

Vamos colocar um do lado do outro pra conseguir enxergar o que ta rolando:

As formas dos gráficos são iguais né? Ambos são parábolas voltadas para cima.

Olhando com um pouco mais de cuidado podemos perceber que, na verdade, o gráfico verde parece ser o gráfico azul deslocado para direita. Concorda?

Mas porque fizemos isso? Repara que temos f x   para a função azul e f x - 3 para a função verde.

Nessa última, tudo acontece 3 unidades depois porque está tirando, ou mais conhecido como subtraindo, 3 do x . Isso faz a função “atrasar” tudo em 3 , então ela vai acontecer tudo igual mas com x indo 3 unidades para direita.

Opa! Aprendemos a primeira transformção, que é uma translação.

Conhecendo o gráfico de y = f x , o gráfico de y = f x - c é obtido a partir do gráfico de f x deslocando-a c unidades para a DIREITA!

Usando a mesma lógica, conhecendo o gráfico de y = f x , o gráfico de y = f x + c é obtido a partir do gráfico de f x desocando ele c unidades para a ESQUERDA!

Lembre que aqui estamos usando c como uma constante POSITIVA!

Transformações do tipo y = f ( x ) - c e y = f x + c

Repare que estamos, novamente, somando e subtraindo uma constante c , mas desta vez a constante está fora do parêntese. Vamos ver um exemplo para entender como funciona.

A função está sendo somada ou subtraída c unidades, ou seja, você está mudando o valor de y e mantendo o x igual. Mas o que isso que dizer? Que o gráfico está subindo ou descendo, porque só mudamos o valor de y .

Então se conhecemos o gráfico de y = f x e queremos esboçar o gráfico de y = f x + c basta deslocar o gráfico de f x em c unidades para cima!

Se quisermos esboçar o gráfico de y = f x - c , basta deslocar o gráfico de y = f x em c unidades para baixo.

De novo, c é uma constante POSITIVA!

Transformações do tipo y = f - x e y = - f x

Mais uma vez vale lembrar que, quando estamos mexendo dentro do parêntese da expressão y = f x estamos, na verdade, mexendo no eixo O X .

Se mudarmos algo fora do parêntese, estamos mudando alguma coisa no eixo O Y .

Com isso em mente, como fazer f - x a partir do gráfico de f x ?

Se estamos indo do gráfico de f x para o gráfico de f - x , tudo que era positivo no domínio passou a ser negativo não foi? E tudo que era negativo passou a ser positivo, já que tem um sinal de menos ali na frente. Então é como se tivéssemos mudado a orientação do eixo O X .

É COMO SE TIVÉSSEMOS. Não estamos mudando orientação nenhuma, só disse isso pra entendermos o que está rolando, o eixo fica lá paradinho na dele, mas é como se girássemos 180 ° em torno de O Y , isto é, refletimos tudo ao redor do O Y .

Vamos a um exemplo que vai ficar mais claro.

Aliás, vamos começar por um exemplo que já é um velho conhecido nosso e você vai entender rapidão. Vejamos o gráfico de f x = x .

Como sabemos, dentro de uma raiz quadrada só podem entrar números positivos!

E como fica o gráfico da função f x = - x ? Estamos perdidos? Não! É só pensarmos um pouco. Considerando a expressão - x , quais são os números que quando eu colocar ali dentro o resultado será positivo? Pronto! Sem muita dificuldade vemos que são todo os números negativos. E o gráfico fica...

É o mesmo gráfico de antes só que “para o outro lado”.

Finalizando o que aprendemos então: para esboçar o gráfico de f - x a partir do gráfico de f x , basta girar o gráfico de f x em torno do eixo O Y .

Se você descobrir o que acontece quando multiplicamos o “menos um” fora do parêntese, te dou um doce.

...

...

...

Para obter o gráfico de - f x , basta girar o gráfico de f x em 180 ° em torno do eixo O X ;-)

Transformações do tipo f c x e c f x em funções trigonométricas

Pois bem, galera. Agora vamos ver duas transformações de funções trigonométricas que nos ajudam bastante na hora de resolver alguns exercícios. São elas f c x   e   c f x .

Quando a gente tem uma função e aplica nela uma transformação do tipo f c x o período T do gráfico vai diminuir c vezes, obedecendo sempre uma regrinha, dada por:

T = 2 π c     ,     p a r a   s e n o ,   c o s s e n o   e   s e c a n t e

Ou:

T = π c   ,     p a r a   a   t a n g e n t e

Mas o que isso quer dizer? A cada vez que multiplicamos o argumento da função trigonométrica por um número c > 1 esta vai se encolher c vezes no eixo x . Já se tivermos algo do tipo f x k , ou seja, c = 1 k , a função vai se esticar k vezes também no eixo x .

Vamos dar uma olhada como isso é feito na prática para as principais funções trigonométricas. #SóVem

f x = sen ⁡ ( 3 x )

A gente já viu como é que é desenhado o gráfico da função seno, né? É algo do tipo:

Como a gente acabou de ver, ao multiplicar o meu x por 3 na função s e n x ela “encolhe” 3 vezes na direção x . O seu período vai passar a ser T = 2 π 3 , certo? E a nossa função será:

Mais uma!

Esboce:

f x = cos ⁡ x 3

O cosseno tem características bem parecidas com o seno. Nós também sabemos desenhar o seu gráfico, que é:

Como vimos, ao dividir o x por 3 na nossa função trigonométrica, vamos esticar esta em 3 vezes, pois o seu período vai passar a ser:

T = 2 π c = 2 π 1 / 3 = 6 π

E aí o gráfico da nossa função será:

Vamos ver agora como é que isso é feito na tangente? Vamos esboçar a função abaixo:

h x = tan ⁡ ( 2 x )

Jovem, o procedimento é todo igual aos que a gente já fez. A única diferença entre o seno e a tangente é que o período do seno é   T = 2 π / c e na tangente é T = π / c , mas da mesma forma ao multiplicar o x por 2 na função trigonométrica essa função vai encolher na metade no eixo x . A função tan ⁡ ( x ) é dada por:

Fazendo a transformação em 2 x , ou seja, encolhendo a função na metade, vai ficar:

Ah! A última função que vou falar e não menos importante é a secante. Bora fazer esse exemplo abaixo:

f x = sec ⁡ x 2

Vimos lá em cima como se desenhar o gráfico da secante, né? Ele é representado por:

Simples! Ao fazer a transformação que a função f nos dá, estaremos esticando a nossa figura em duas vezes, certo? O seu período vai ser dobrado, já que:

T = 2 π c = 2 π 1 / 2 = 4 π

Assim, vamos ter:

Depois de ver todos esses exemplos, vamos ver agora o outro tipo de transformação que havíamos falado: a transformação do tipo c f x .

Quando uma transformação do tipo c f x acontece, nós vamos esticar ou encolher a nossa figura, mas agora no sentido do eixo y .

Aqui, em vez do período, o que vai mudar é a imagem da nossa função, da seguinte forma:

Temos uma função trigonométrica qualquer de imagem [ a , b ] . Ao aplicar a transformação c f x , a imagem será [ c a , c b ] .

Simples, né? Desta forma, notamos que existe uma diferença entre as duas transformações que a gente aprendeu.

Enquanto a f c x   , quando c > 1   , encolhe a função, para c f x , ela é esticada, pois aumenta a imagem c vezes. Da mesma forma, se a gente tiver uma transformação do tipo f ( x ) / k , ou seja, c = 1 / k   , a imagem vai diminuir em k vezes, encolhendo a figura nessa mesma quantidade.

Vamos ver como isso é feito para o seno e tangente, uma vez que para as demais é análogo, e já falamos bastante sobre os gráficos de funções trigonométricas.

Bora lá! Primeiro, num exemplo com seno, teremos:

f x = 3 sen ⁡ ( x )

A gente já viu lá em cima como é o gráfico do seno, né? Como acabamos de aprender, vamos esticar nossa figura em 3 vezes no eixo y . A imagem de sen ⁡ ( x ) é [ - 1,1 ] , após a transformação vamos ter que a imagem da nossa f será [ - 3,3 ] , e o gráfico dela vai ser:

Na tangente não vai ser diferente, porém temos uma peculiaridade aqui. A imagem da tangente é ( - ∞ , ∞ ) e se a gente multiplicar ou dividir por qualquer número ela continuará sendo ( - ∞ , ∞ ) . Mas e aí, não muda nada? Muda sim, a figura vai continuar sendo esticada ou encolhida. Saca só!

f x = 1 3 tan ⁡ ( x )

O gráfico dessa função vai ser o da tangente encolhido três vezes. Já deve estar careca de saber, né? Haha.

Ele vai ser representado por:

Comparando com tan ⁡ ( x ) :

Deu pra perceber a encolhida, né? Show!

Ufaa! Finalmente acabamos! Vamos exercitar agora pra chegar na lista e na prova 100%.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Esboce os gráficos da função

f x = - 2 + x + 1

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Passo 1

Opa, vamos esboçar essa figurinha marota agora.

A primeira coisa que a gente faz aqui é escolher a nossa função inicial para depois fazer as devidas transformações. Saca só!

Vou escolher como função f x inicial um função parecida que essa que eu saiba desenha o gráfico. De cara, minha f x vai ser

f x = x

O gráfico dessa função é o seguinte:

Passo 2

Fazendo uma transformação do tipo f x = f x + 1 , teremos:

f x = x + 1

Nesta transformação, como a gente já viu, estaremos arrastando a nossa função em uma unidade para o lado esquerdo e o gráfico resultante vai ser:

Passo 3

Show de bola!

Agora, fazendo a 2ª e última transformação, que vai ser do tipo f x = f x - 2 , teremos:

f x = - 2 + x + 1

Que é a função que a gente quer descobrir.

Essa transformação desloca o meu gráfico em 2 unidades para baixo, certo?

Dessa forma, vamos encontrar o gráfico que é a resposta dessa questão linda, dado por:

Resposta

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Esboce o gráfico de f x = 2 + | x - 1 |

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Passo 1

Em primeiro lugar escreveremos a regra para a função modular.

f x = 2 + x - 1   s e   x - 1 ≥ 0 2 - x - 1       s e   ( x - 1 ) < 0

Logo:

f x = x + 1   s e   x ≥ 1 - x + 3   s e   x < 1

Passo 2

Vamos construir esse gráfico em duas partes.

Primeiro, a partir de x = 1 , vamos construir a reta x + 1 .

Depois, antes de x = 1 , vamos construir a reta - x + 3 .

Obs: poderíamos usar outro método para construir esse gráfico. Poderiamos desenhar o gráfico da função x - 1 e usar o macete do espelho, espelhando tudo abaixo do eixo x . Depois, teríamos que “subir” o gráfico em duas unidades, já que a função é x - 1 + 2 .

Repare que daria no mesmo do método anterior.

Resposta

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Esboce os gráficos da função

f x = x 3 - 4

Depois, esboce os gráficos de - f ( - x ) .

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Passo 1

Bem, primeiro a gente sempre começa esboçando o gráfico por uma função que a gente sabe esboçar, né? Nesse caso, sabemos esboçar a função f x = x 3 . Seu gráfico será dado por:

Passo 2

Se a gente fizer uma pequena transformação já achamos a nossa função f x , sacou?

f x = f x - 4

Logo, como a gente aprendeu, vamos arrastar a nossa função em - 4 unidades para baixo, tendo como resultado a figura a seguir:

Passo 3

Beleza, agora queremos achar - f - x . Lembra como faz isso?

Fazendo primeiro a transformação f - x a gente tem que refletir a nossa figura no eixo y, beleza? Assim, vamos obter o seguinte gráfico:

Passo 4

Por fim, agora temos que achar - f - x . Quando uma transformação do tipo - f x acontece, o que a gente faz? Boa, garoto a !Fazemos uma reflexão do gráfico no eixo x . Desta forma vamos ter , finalmente, o gráfico que é a resposta desta questão.

Resposta

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

A função y = a + b . c o s   x com a e b reais, representada graficamente a seguir, intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, -1) e tem valor máximo y=5. Para quais valores de x a expressão y + 5 tem valor mínimo?

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Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é o módulo da função f(x). O gráfico vai ficar assim ó:

Show?

Passo 2

Agora, pense no seguinte: Se estamos somando 5 a essa nossa nova função, basta que a gente suba 5 casas com ela. Então ficaremos com o nosso gráfico assim:

Muito bem, percebemos que a nossa expressão y + 5 gerará 2 pontos mínimos, os pontos 1,5   e   ( 3,5 ) . Ou seja, os valores de x para os quais a função | y | + 5 assume valor mínimo são x = 1 ou   x = 3

Resposta

x = 1 ou   x = 3

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Construir os gráficos das seguintes funções definidas em R :

  1. f x = cos ⁡ x 2
  2. f x = cos ⁡ x 3
  3. f x = 2 s e n ( π x )
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Passo 1

  1. Temos que o gráfico da função cosseno é dado por

Passo 2

Agora multiplicamos x por 1 2 no cosseno e teremos cos ⁡ x 2 porém,o período da função vai mudar, saca só!

O período T   pode ser calculado por T = 2 π c , sendo c o que multiplica o x , teremos:

T = 2 π 1 / 2 = 4 π

Desta forma, estaremos esticando a nossa função ao dobro no eixo x.

Logo o gráfico da nossa função vai ser:

Passo 3

b)

O que fazer aqui?Molezinha!

Temos uma transformação do tipo c f x com c = 1 / 3 .

Desta forma estaremos encolhendo o nosso gráfico em 3 vezes no eixo y

O domínio continua o mesmo, pois não alteramos o valor de x . Mas a imagem se torna o intervalo - 1 3 , 1 3 que é a imagem da função cosseno, que é [ - 1,1 ] dividida por 3. Assim, o nosso gráfico será:

Passo 4

c)

Bom, como multiplicamos a função seno por 2 temos que a imagem vai se tornar o intervalo - 2,2 pelo mesmo motivo da letra b). Assim a nossa função vai esticar em duas vezes o seu tamanho no eixo y.

Além disso também temos uma transformação do tipo f c x com c = π . Desta forma, estaremos diminuindo o período da função em π vezes, passando a ser T = 2 π π = 2 .

Com isso, estaremos encolhendo a nossa função em π vezes no eixo x.

Desta forma, vamos ter o gráfico que é a nossa resposta final.

:D

Resposta

b)

c)