Teoria Completa
Primeiramente, o que seria alterar um gráfico? Para esse tipo, traremos como mover um gráfico no plano cartesiano, refleti-lo ou torná-lo mais ou menos inclinado. Venha conosco e vamos ver cada caso em separado.
Transformações do tipo e
Essa transformação acontece no eixo horizontal porque estamos mexendo com a variável .
Logo, temos apenas duas possibilidades. Ou se movimenta para a direita ou para esquerda. Não há outra alternativa de “caminho” no eixo .
A pergunta que fica é: se estamos saindo de para vamos pra direita ou para a esquerda? E aí o que você acha?
Vamos ver o que acontece em um exemplo!
Exemplo: vamos começar com a função , que é uma parábola. Já sabemos, não é? É uma parábola com raízes em e . Tendo , que é positivo, então o gráfico fica:
Agora vamos esboçar o gráfico da função
Isso vai ficar
Como vamos esboçar o gráfico de ?
Primeiro, repare que:
Essa função é uma parábola igual a outra só que com raízes diferente, elas são e . O seu gráfico fica:
Tá beleza, mas o que isso muda na nossa vida? O que um gráfico tem a ver com o outro?
Vamos colocar um do lado do outro pra conseguir enxergar o que ta rolando:
As formas dos gráficos são iguais né? Ambos são parábolas voltadas para cima.
Olhando com um pouco mais de cuidado podemos perceber que, na verdade, o gráfico verde parece ser o gráfico azul deslocado para direita. Concorda?
Mas porque fizemos isso? Repara que temos para a função azul e para a função verde.
Nessa última, tudo acontece unidades depois porque está tirando, ou mais conhecido como subtraindo, do . Isso faz a função “atrasar” tudo em , então ela vai acontecer tudo igual mas com indo unidades para direita.
Opa! Aprendemos a primeira transformção, que é uma translação.
Conhecendo o gráfico de , o gráfico de é obtido a partir do gráfico de deslocando-a unidades para a DIREITA!
Usando a mesma lógica, conhecendo o gráfico de , o gráfico de é obtido a partir do gráfico de desocando ele unidades para a ESQUERDA!
Lembre que aqui estamos usando como uma constante POSITIVA!
Transformações do tipo e
Repare que estamos, novamente, somando e subtraindo uma constante , mas desta vez a constante está fora do parêntese. Vamos ver um exemplo para entender como funciona.
A função está sendo somada ou subtraída unidades, ou seja, você está mudando o valor de e mantendo o igual. Mas o que isso que dizer? Que o gráfico está subindo ou descendo, porque só mudamos o valor de .
Então se conhecemos o gráfico de e queremos esboçar o gráfico de basta deslocar o gráfico de em unidades para cima!
Se quisermos esboçar o gráfico de , basta deslocar o gráfico de em unidades para baixo.
De novo, é uma constante POSITIVA!
Transformações do tipo e
Mais uma vez vale lembrar que, quando estamos mexendo dentro do parêntese da expressão estamos, na verdade, mexendo no eixo .
Se mudarmos algo fora do parêntese, estamos mudando alguma coisa no eixo .
Com isso em mente, como fazer a partir do gráfico de ?
Se estamos indo do gráfico de para o gráfico de , tudo que era positivo no domínio passou a ser negativo não foi? E tudo que era negativo passou a ser positivo, já que tem um sinal de menos ali na frente. Então é como se tivéssemos mudado a orientação do eixo .
É COMO SE TIVÉSSEMOS. Não estamos mudando orientação nenhuma, só disse isso pra entendermos o que está rolando, o eixo fica lá paradinho na dele, mas é como se girássemos em torno de , isto é, refletimos tudo ao redor do .
Vamos a um exemplo que vai ficar mais claro.
Aliás, vamos começar por um exemplo que já é um velho conhecido nosso e você vai entender rapidão. Vejamos o gráfico de .
Como sabemos, dentro de uma raiz quadrada só podem entrar números positivos!
E como fica o gráfico da função ? Estamos perdidos? Não! É só pensarmos um pouco. Considerando a expressão , quais são os números que quando eu colocar ali dentro o resultado será positivo? Pronto! Sem muita dificuldade vemos que são todo os números negativos. E o gráfico fica...
É o mesmo gráfico de antes só que “para o outro lado”.
Finalizando o que aprendemos então: para esboçar o gráfico de a partir do gráfico de , basta girar o gráfico de em torno do eixo
Se você descobrir o que acontece quando multiplicamos o “menos um” fora do parêntese, te dou um doce.
...
...
...
Para obter o gráfico de , basta girar o gráfico de em em torno do eixo ;-)
Transformações do tipo e em funções trigonométricas
Pois bem, galera. Agora vamos ver duas transformações de funções trigonométricas que nos ajudam bastante na hora de resolver alguns exercícios. São elas .
Quando a gente tem uma função e aplica nela uma transformação do tipo o período do gráfico vai diminuir vezes, obedecendo sempre uma regrinha, dada por:
Ou:
Mas o que isso quer dizer? A cada vez que multiplicamos o argumento da função trigonométrica por um número esta vai se encolher vezes no eixo . Já se tivermos algo do tipo , ou seja, , a função vai se esticar vezes também no eixo .
Vamos dar uma olhada como isso é feito na prática para as principais funções trigonométricas. #SóVem
A gente já viu como é que é desenhado o gráfico da função seno, né? É algo do tipo:
Como a gente acabou de ver, ao multiplicar o meu por 3 na função ela “encolhe” 3 vezes na direção . O seu período vai passar a ser , certo? E a nossa função será:
Mais uma!
Esboce Aí:
O cosseno tem características bem parecidas com o seno. Nós também sabemos desenhar o seu gráfico, que é:
Como vimos, ao dividir o por na nossa função trigonométrica, vamos esticar esta em 3 vezes, pois o seu período vai passar a ser:
E aí o gráfico da nossa função será:
Vamos ver agora como é que isso é feito na tangente? Vamos esboçar a função abaixo:
Jovem, o procedimento é todo igual aos que a gente já fez. A única diferença entre o seno e a tangente é que o período do seno é e na tangente é , mas da mesma forma ao multiplicar o por 2 na função trigonométrica essa função vai encolher na metade no eixo . A função é dada por:
Fazendo a transformação em , ou seja, encolhendo a função na metade, vai ficar:
Ah! A última função que vou falar e não menos importante é a secante. Bora fazer esse exemplo abaixo:
Vimos lá em cima como se desenhar o gráfico da secante, né? Ele é representado por:
Simples! Ao fazer a transformação que a função nos dá, estaremos esticando a nossa figura em duas vezes, certo? O seu período vai ser dobrado, já que:
Assim, vamos ter:
Depois de ver todos esses exemplos, vamos ver agora o outro tipo de transformação que havíamos falado: a transformação do tipo .
Quando uma transformação do tipo acontece, nós vamos esticar ou encolher a nossa figura, mas agora no sentido do eixo .
Aqui, em vez do período, o que vai mudar é a imagem da nossa função, da seguinte forma:
Temos uma função trigonométrica qualquer de imagem . Ao aplicar a transformação , a imagem será .
Simples, né? Desta forma, notamos que existe uma diferença entre as duas transformações que a gente aprendeu.
Enquanto a , quando , encolhe a função, para , ela é esticada, pois aumenta a imagem vezes. Da mesma forma, se a gente tiver uma transformação do tipo , ou seja, , a imagem vai diminuir em vezes, encolhendo a figura nessa mesma quantidade.
Vamos ver como isso é feito para o seno e tangente, uma vez que para as demais é análogo, e já falamos bastante sobre os gráficos de funções trigonométricas.
Bora lá! Primeiro, num exemplo com seno, teremos:
A gente já viu lá em cima como é o gráfico do seno, né? Como acabamos de aprender, vamos esticar nossa figura em 3 vezes no eixo . A imagem de é , após a transformação vamos ter que a imagem da nossa será , e o gráfico dela vai ser:
Na tangente não vai ser diferente, porém temos uma peculiaridade aqui. A imagem da tangente é e se a gente multiplicar ou dividir por qualquer número ela continuará sendo . Mas e aí, não muda nada? Muda sim, a figura vai continuar sendo esticada ou encolhida. Saca só!
O gráfico dessa função vai ser o da tangente encolhido três vezes. Já deve estar careca de saber, né? Haha.
Ele vai ser representado por:
Comparando com :
Deu pra perceber a encolhida, né? Show!
Ufaa! Finalmente acabamos! Vamos exercitar agora pra chegar na lista e na prova 100%.
Exercício Resolvido #1
Esboce os gráficos da função
Passo 1
Opa, vamos esboçar essa figurinha marota agora.
A primeira coisa que a gente faz aqui é escolher a nossa função inicial para depois fazer as devidas transformações. Saca só!
Vou escolher como função inicial um função parecida que essa que eu saiba desenha o gráfico. De cara, minha vai ser
O gráfico dessa função é o seguinte:
Passo 2
Fazendo uma transformação do tipo , teremos:
Nesta transformação, como a gente já viu, estaremos arrastando a nossa função em uma unidade para o lado esquerdo e o gráfico resultante vai ser:
Passo 3
Show de bola!
Agora, fazendo a 2ª e última transformação, que vai ser do tipo , teremos:
Que é a função que a gente quer descobrir.
Essa transformação desloca o meu gráfico em 2 unidades para baixo, certo?
Dessa forma, vamos encontrar o gráfico que é a resposta dessa questão linda, dado por:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Esboce o gráfico de
Passo 1
Em primeiro lugar escreveremos a regra para a função modular.
Logo:
Passo 2
Vamos construir esse gráfico em duas partes.
Primeiro, a partir de , vamos construir a reta .
Depois, antes de , vamos construir a reta .
Obs: poderíamos usar outro método para construir esse gráfico. Poderiamos desenhar o gráfico da função e usar o macete do espelho, espelhando tudo abaixo do eixo . Depois, teríamos que “subir” o gráfico em duas unidades, já que a função é .
Repare que daria no mesmo do método anterior.
Resposta
Exercício Resolvido #3
Esboce os gráficos da função
Depois, esboce os gráficos de .
Passo 1
Bem, primeiro a gente sempre começa esboçando o gráfico por uma função que a gente sabe esboçar, né? Nesse caso, sabemos esboçar a função . Seu gráfico será dado por:
Passo 2
Se a gente fizer uma pequena transformação já achamos a nossa função , sacou?
Logo, como a gente aprendeu, vamos arrastar a nossa função em unidades para baixo, tendo como resultado a figura a seguir:
Passo 3
Beleza, agora queremos achar . Lembra como faz isso?
Fazendo primeiro a transformação a gente tem que refletir a nossa figura no eixo y, beleza? Assim, vamos obter o seguinte gráfico:
Passo 4
Por fim, agora temos que achar . Quando uma transformação do tipo acontece, o que a gente faz? Boa, garoto!Fazemos uma reflexão do gráfico no eixo . Desta forma vamos ter , finalmente, o gráfico que é a resposta desta questão.
Resposta
Exercício Resolvido #4
Seja uma função real que tem o gráfico abaixo, onde . Por exemplo, no gráfico abaixo, para , assume o valor como no ponto destacado.
Sabendo disso, esboce o gráfico de e encontre os valores de para os quais a mesma assuma valor mínimo
Passo 1
A primeira coisa que vamos fazer é o módulo da função . Quando a gente faz isso, a gente transforma tudo que é negativo em positivo, ou seja, toda a parte abaixo do eixo no gráfico, a gente vai espelhar para cima. Ele vai ficar assim ó:
Show?
Passo 2
Agora, pense no seguinte: Se estamos somando a essa nossa nova função, basta que a gente suba casas com ela. Sempre que a gente fizer um somatório, a gente vai deslocar o gráfico de acordo com o somatório feito. Então ficaremos com o nosso gráfico assim:
Muito bem, percebemos que a nossa expressão gerará pontos mínimos, os pontos . Ou seja, os valores de para os quais a função assume valor mínimo são ou
Resposta
ou
Exercício Resolvido #5
Construir os gráficos das seguintes funções definidas em :
Passo 1
- Temos que o gráfico da função cosseno é dado por
Passo 2
Agora multiplicamos por no cosseno e teremos porém,o período da função vai mudar, saca só!
O período pode ser calculado por , sendo o que multiplica o , teremos:
Desta forma, estaremos esticando a nossa função ao dobro no eixo x.
Logo o gráfico da nossa função vai ser:
Passo 3
b)
O que fazer aqui?Molezinha!
Temos uma transformação do tipo com .
Desta forma estaremos encolhendo o nosso gráfico em 3 vezes no eixo y
O domínio continua o mesmo, pois não alteramos o valor de . Mas a imagem se torna o intervalo que é a imagem da função cosseno, que é dividida por 3. Assim, o nosso gráfico será:
Passo 4
c)
Bom, como multiplicamos a função seno por temos que a imagem vai se tornar o intervalo pelo mesmo motivo da letra b). Assim a nossa função vai esticar em duas vezes o seu tamanho no eixo y.
Além disso também temos uma transformação do tipo com . Desta forma, estaremos diminuindo o período da função em vezes, passando a ser .
Com isso, estaremos encolhendo a nossa função em vezes no eixo x.
Desta forma, vamos ter o gráfico que é a nossa resposta final.
:D
Resposta
b)
c)