Funções Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras e Inversas

Teoria Completa

Introdução

No tópico de introdução às funções falamos que para uma variável dependente y ser função de uma variável independente x é necessário que para cada valor de x , só exista um y associado.

Enquanto essa condição determina a existência da função, há também outras condições que servem para classificar as funções em algumas categorias: funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras.

Você pode pensar que essas categorias só servem para inventar mais coisa para te reprovar, apesar de conveniente, não é verdade. As funções inversas, que são muito importantes e veremos mais a frente, precisam ser bijetoras.

Então, vem conosco e vamos ver direitinho isso aí ;)

Funções injetoras

Repare no gráfico abaixo:

Nessa função, para pontos diferentes x 1 e x 2 , temos um mesmo valor associado.

f x 1 = f ( x 2 )

Agora, nessa:

Para qualquer pontos diferentes x 1 e x 2 que escolhermos, temos: f x 1 ≠ f ( x 2 )

Uma função f é dita injetora se para dois pontos quaisquer pertencentes ao domínio de f : x 1 ≠ x 2

Tivermos:

f x 1 ≠ f ( x 2 )

Essa é uma função injetora! Nesse tipo de função, temos sempre que dois valores diferentes de x , sempre implicam em valores de y distintos. Ô x , não se misture com essa gentalha!

Função sobrejetora

No gráfico da função abaixo temos uma parábola bem pomposa:

Essa parábola tem uma condição típica: possui um ponto extremo. Neste caso, esse ponto é o ponto de mínimo y = - 1 .

Isso significa que não importa o valor de x que escolhermos, teremos sempre que:

f x ≥ - 1

A imagem de y , portanto, estará limitada a todos os números reais maiores ou iguais a - 1 :

I m f = y ∈ R   |   y ≥ - 1

Enquanto o contradomínio não está limitado, continua sendo:

C D f = R

A despeito disso, para uma função cúbica:

Para todo valor de y ∈ C D , existe sempre um y ∈ I m associado, ou seja, o conjunto imagem é igual ao contradomínio!

I m g = C D ( g )

Uma função f é dita sobrejetora se para cada valor y existir ao menos um valor de x associado.

y 1 → x 1

Esse tipo de função é chamada de função sobrejetora:

Dentro desta definição, a parábola tem, por exemplo y = - 2 não associado a nenhum x e não é, portanto, sobrejetora.

Funções bijetoras

Uma função f é dita injetora se para cada valor da variável dependente y existir um e somente um valor da variável dependente x associado.

Quanto as bijetoras, não há nada de novo a considerar. Uma função é dita bijetora se for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora!

Função inversa

Imagine que temos a função:

f x = y = 2 x + 1

Neste caso, temos uma função, pois cada valor de x está associado a um único valor de y , ou seja, y é uma função de x .

Mas e se, ao invés de representarmos y como função de x , colocarmos x como função de y ?

Não é nada complicado, é só isolar x :

y = 2 x + 1 ⟹ 2 x = y - 1

g y = x = y - 1 2

Se mudarmos x por y e y por x simplesmente para manter a notação usual das funções ficamos com: g x = x - 1 2

Essa função g ( x ) não é uma função qualquer, ela é a função inversa de f e pode ter a notação:

f - 1 x = g ( x )

Com esse sobrescrito - 1 .

Então, é basicamente assim que determinamos uma função inversa, isolando x e substituindo x por y e vice-versa ao final.

Infelizmente, nem tudo são flores e nem toda função tem sua inversa. Vamos ver, por exemplo:

f x = y = x 2

Se tentarmos isolar x , obtemos não:

x = y

Mas sim:

x = ± y  

Esse ± indica que são geradas duas funções, uma positiva (em azul) e outra negativa (em verde).

Isso acontece, pois, para uma função ser invertível, ou seja, para ter uma função inversa, é necessário ser bijetora.

O primeiro exemplo é de uma função bijetora e tem, portanto, inversa, enquanto a parábola do segundo exemplo não é não pode ser invertida usando somente uma função.

Isso é necessário porque uma função inversa também é uma função e, portanto, precisa que cada valor de sua variável independente esteja associado a somente um da variável dependente.

Quando isolamos x para achar a inversa, colocamos x em função de y , isso implica que um valor y precisa estar sempre associado a somente um valor de x , o que não acontece na parábola do nosso exemplo, mas é verdade para todas as funções bijetoras.

Funções inversas relevantes

Falaremos aqui de algumas funções inversas bem recorrentes no nosso estudo. Se você não viu algumas dessas funções para as quais trataremos a inversa, não tem problema. Agora, se as funções são relevantes para seu estudo, fique atento nas suas respectivas inversas!

Uma propriedade muito útil associada as funções inversas é:

f f - 1 x = x

Como, por exemplo: e ln ⁡ ( x ) = x

Isso significa que uma função com argumento igual a sua inversa tem como resultado o argumento da inversa.

Dessa maneira, para quando há uma função como argumento da inversa, teremos:

f f - 1 g x = g ( x )

Ou, por exemplo: sen ⁡ ( arcsen ⁡ ( x 2 ) ) = x 2

Shooow?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Matemática Elementar – Gelson Iezzi e Carlos Murakami – 3ª edição – Pág. 191

Para as funções em R representadas abaixo qual é injetora? E sobrejetora? E bijetora?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a) A primeira função não é sobrejetora, pois ela não vai atingir todos os valores do contradomínio, nunca atingirá os elementos em y que são menores ou iguais a 0, ou seja a imagem não será igual ao CD.

No entanto, ela será injetora, pois todos os elementos do domínio (x) vão se relacionar a um elemento diferente do contradomínio (y).

Passo 2

b) Essa será bijetora, ou seja injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. A imagem é igual ao CD e nunca dois elementos do domínio (x) vão se relacionar a um mesmo elemento do CD (y)

Passo 3

c) Será sobrejetora, pois atingirá todos os elementos possíveis do contradomínio. Mas não será injetora pois existem elementos do domínio que vão atingir o mesmo elemento no contradomínio. Observe só:

Viu?

Para 3 valores distintos de x, temos o mesmo valor de y associado. Toda vez que mais de um elemento x estiver associado a um mesmo y, você já pode concluir que essa função não é injetora.

Passo 4

Essa não será nem sobrejetora e nem injetora, observe bem:

  1. Ela não atingirá todos os elementos de y, pois tem um ponto de máximo. Ou seja, a imagem não será igual ao contradomínio.
  2. Ela tem valores de x que atingem o mesmo y.

Passo 5

Resposta

  1. Injetora
  2. Bijetora
  3. Sobrejetora
  4. Nem sobrejetora e nem injetora

Exercício Resolvido #2

Matemática Elementar – Gelson Iezzi e Carlos Murakami – 3ª edição – Pág. 192

Determine o valor de b em B = y ∈ R   y ≥ b de modo que a função f de R em B definida por f x = x ² - 4 x + 6 seja SOBREJETORA.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para que a função seja sobrejetora, precisamos que a imagem seja igual ao contradomínio.

Vamos observar o gráfico da nossa função   f x = x ² - 4 x + 6 .

Perceba que o nosso vértice está no ponto ( 2 ,   2 ) , ou seja o nosso domínio(x) só atingirá valores maiores do que 2 no contradomínio. Vê se assim fica mais claro:

Isso significa que para a Imagem ser igual ao contra domínio, o nosso b precisa ser maior ou igual a 2.

Resposta

b ≥ 2  

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Determine a inversa das funções abaixo:

  1. y = 2 x + 1
  2. y = 3 x 2 - 5
  3. y = 1 x + 1
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

  1. A função tem tanto o contradomínio quanto a imagem igual ao conjunto dos números reais e não existe mais de um x para cada y , dessa forma, ela é bijetora e invertível.
  2. Isolando x :

    y = 2 x + 1 → 2 x = y - 1 → x = y - 1 2

    Trocando as variáveis, chegamos a inversa: f - 1 x = y = x - 1 2

    Passo 2

  3. Sabemos que essa função aí é uma parábola. Logo sabemos que a função não é bijetora, pois dois valores diferentes de x podem resultar em um único valor de y . Dessa maneira, não há inversa.
  4. Passo 3

  5. Primeiramente, observamos que a função tem uma restrição no domínio: x ≠ - 1 .

Apesar disso, vamos tentar inverter a função mesmo assim.

Isolando x :

y = 1 x + 1 → x + 1 = 1 y → x = 1 y - 1

Trocando as variáveis, chegamos a inversa:

f - 1 x = y = 1 x - 1

Verificamos que foi possível encontrar uma única expressão para a função inversa de f . Dessa maneira, podemos concluir que tratava-se de uma função bijetora.

Resposta

  1. f - 1   ( x ) = ( x - 1 ) / 2
  2. Não há
  3. f - 1   ( x ) = 1 / x - 1

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Determine o valor de f - 1 2 + f - 1 ( - 2 ) , sendo

f x = 3 x + 1

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Passo 1

A função tem tanto o contradomínio quanto a imagem igual ao conjunto dos números reais e não existe mais de um x para cada y , dessa forma, ela é bijetora e invertível. Isolando x :

y = 3 x + 1 → 3 x = y - 1 → x = 1 3 y - 1

Trocando as variáveis, chegamos na inversa:

f - 1 x = y = 1 3 x - 1

Passo 2

Agora é substituir valores como qualquer função e calcular a soma que o enunciado pediu:

f - 1 2 = 1 3 2 - 1 = 1 3

f - 1 - 2 = 1 3 - 2 - 1 = - 1

f - 1 2 + f - 1 - 2 = 1 3 - 1 = - 2 3

Resposta

f - 1 2 + f - 1 - 2 = - 2 3

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Determine o valor de a para que f x = ( x + 1 ) / ( 2 x + a ) possua como inversa a função:

f - 1 x = 1 - 3 x 2 x - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Essa pode parecer difícil, mas não é. Vamos pegar f ( x ) e tentar inverter normalmente:

y = x + 1 2 x + a → y 2 x + a = x + 1 → y 2 x + a - x = 1  

2 y x + y a - x = 1 → 2 y x - x = 1 - y a

Colocando o x em evidência:

x 2 y - 1 = 1 - y a

x = 1 - a y 2 y - 1

Substituindo variável por outra, chegamos a inversa: f - 1 x = 1 - a x 2 x - 1

Passo 2

Comparando com:

f - 1 x = 1 - 3 x 2 x - 1

Concluímos que a = 3 .

Resposta

a = 3

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