Funções Pares e Ímpares, Crescimento e Decrescimento

Teoria Completa

Funções pares e impares

Sim, funções também podem ser classificadas como sendo pares ou impares. Há ainda aquelas que não se prendem a rótulos e não são nenhuma das duas.

Apesar da paridade de funções estar ligada a paridade dos números naturais em funções polinomiais, é melhor associar o termo a simetria.

Isso porque dizemos que uma função é par se ela é simétrica em relação ao eixo y , ou o eixo vertical, como podemos ver na figura abaixo:

A função à esquerda do eixo vertical é igual à função à direita do eixo vertical. Algebricamente, isso significa que:

f x = f ( - x )

Ou seja, tanto faz se a o argumento é positivo ou negativo. São exemplos:

f x = x 2 g x = x Para o nosso primeiro caso, não é difícil demonstrar. Veja:

f - x = - x 2 = - 1 x 2 = - 1 2 x 2 = x 2 = f ( x )

As funções ímpares, por sua vez, são simétricas em relação a origem 0,0 , como a função cúbica:

Nesse caso, algebricamente, temos:

f - x = - f ( x )

São bons exemplos de funções impares:

f x = x 3 f x = 5 x

Para o primeiro caso, veja que:

f - x = - x 3 = - 1 x 3 = - 1 3 x 3 = - x 3 = - f ( x )

Por fim, temos aquelas que não se prendem a rótulos da sociedade e, portanto, não apresentam nenhuma das duas últimas simetrias. Como:

f x = x + 1

Onde:

Que não tem simetria nem com o eixo y , nem com a origem.

Crescimento e decrescimento da função

Como uma pessoa fica rica? Quando a quantidade de dinheiro na sua conta aumenta conforme o tempo passa. E pobre? Ah, isso muita gente já viu, é quando a quantidade de dinheiro na conta diminui conforme o tempo passa.

No primeiro caso, a quantidade de dinheiro cresce e no segundo, decresce. Com funções não é diferente. Um função f ( x ) é dita crescente quando o seu valor aumenta conforme x aumenta e é dita decrescente quando seu valor diminui conforme x aumenta.

Graficamente, ser crescente significa que a função se aproxima cada vez mais do topo da escala do gráfico conforme x se aproxima do limite direito de sua escala, como em f x = 5 x + 1 , na última figura.

Já ser decrescente significa que a função se aproxima cada vez mais do mínimo escala do gráfico conforme x se aproxima do limite direito de sua escala, como em f x = 1 - 2 x :

Para representar essa ideia algebricamente, basta acrescentarmos um termo positivo Δ x no argumento da função. Se:

f x + Δ x > f ( x )

Então a função é crescente. Já que, adicionando um pequeno valor a x, a função torna-se maior em relação ao seu valor sem o incremento. Já se:

f x + Δ x < f ( x )

A função é analogamente decrescente.

Vale lembrar que uma função negativa pode ser crescente, afinal, por mais que o banco não queira isso, uma conta negativa pode crescer e entrar no azul.

Estudo de sinais no gráfico da função

Por falar nessa história de função negativa ou positiva, podemos perceber que quando a função é negativa ou positiva a partir de seu gráfico.

Quando a curva está abaixo o eixo x , a função será negativa, do contrário, será positiva:

O ponto intermediário onde a função toca o eixo x será justamente a região onde esta cruza o zero e, portanto, sua raiz.

TOP! Agora, não deixa de praticar nos exercícios!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria
  1. Verifique a paridade da função f ( x ) :
  2. f x = x - 1 2

  3. Calcule g ( x ) :
  4. g x = f x + f ( - x )

  5. Verifique a paridade da função g ( x ) .
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a) Bom, o primeiro passo é analisar f ( x ) . Para isso, calculamos f ( - x ) :

f - x = - x - 1 2  

f - x = [ ( - 1 ) ( x + 1 ) ] 2

f - x = - 1 2 x + 1 2

f - x = x + 1 2

Passo 2

Não é muito trivial verificar as condições de paridade agora – isto é, comparar f ( - x ) com f ( x ) . Se preferir, podemos abrir as expressões:

f x = x - 1 2 = x 2 - 2 x + 1

f - x = x + 1 2 = x 2 + 2 x + 1

E a verdade é que f - x ≠ f ( x ) e f - x ≠ - f ( x ) . Ou seja, a função f não é par nem ímpar!

Passo 3

b) Agora vamos obter g ( x ) usando as expressões abertas do passo 2:

g x = f x + f - x

g x = x 2 - 2 x + 1 + x 2 + 2 x + 1

g x = 2 x 2 + 2

Passo 4

c) Agora observamos que

g - x = 2 - x 2 + 2

g - x = 2 x 2 + 2

g - x = g ( x )

E, portanto, a função g é par!

Resposta

  1. f ( x ) não tem paridade.
  2. g x = 2 x 2 + 2
  3. g ( x ) é par.

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Toda função quadrática é par?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para mostrarmos que é falso, basta encontrarmos um contra exemplo.

Observe a função quadrática abaixo, dada por f x = x 2 - 5 x + 6

Observe que essa função com certeza não é simétrica em relação ao eixo y.

Mostrando isso algebricamente, temos:

f x = x 2 - 5 x + 6   ≠ f - x = - x 2 - 5 - x + 6

x 2 - 5 x + 6   ≠ x 2 + 5 x + 6

Na real, a nossa função quadrática só será uma função par quando o seu vértice estiver sobre o eixo y. Caso contrário, não.

Portanto, essa afirmativa é FALSA.

Resposta

Falso.

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Classifique as funções abaixo em pares, ímpares ou sem paridade.

  1. b) c)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O primeiro com certeza não é nem par e nem ímpar, pois não há simetria nem em relação a y e nem em relação a origem.

  1. SEM PARIDADE
  2. Vamos ao segundo gráfico, observe que ele é simétrico em relação ao eixo y, portanto ele é par.

  3. PAR
  4. Por último, o terceiro: Ele será uma função ímpar pois esse gráfico é simétrico em relação a origem.

  5. ÍMPAR

Agora um obs muito importante: Sempre que possível verifique se sua função é par ou ímpar algebricamente, pois gráficos podem nos enganar, pode parecer que é simétrico quando na verdade não é, beleza?

Resposta

  1. SEM PARIDADE
  2. PAR
  3. ÍMPAR

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Verifique se a função f x = x 2 + 0,01 x - 3   é par.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Esse é um clássico exemplo que precisamos tomar cuidado

Sabe por que, se construirmos o gráfico dessa função. Veremos que ele vai aparecer da seguinte forma:

Daí você olha e diz: é claro que essa função é simétrica!

Vai com calmaaaaa!

Confere isso algebricamente, antes de afirmar qualquer coisa.

f - x = - x 2 + 0,01 - x - 3 = x 2 - 0,01 x - 3

Ou seja, f ( x ) ≠ f ( - x )

Portanto, essa função NÃO é par.

Resposta

Não é par.

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Considere a afirmação a seguir:

A função f ( x )   =   x 4 - 2 x ² + 3 x possui um gráfico simétrico ao eixo y. A afirmação está:

a) Correta, pois a função é par

b) Correta, pois a função é ímpar

c) Falsa, pois a função é ímpar

d) Falsa, pois a função não possui paridade

e) Não tem como saber

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Beleza, NÃO VAMOS FAZER O GRÁFICO DESSA FUNÇÃO, por motivos de: Preguiça kkkkkkkk

Mentira, é bem bizarro pensarmos num gráfico de uma função de 4º grau, você vai perder muito tempo de forma desnecessária. Em casos assim é bem melhor utilizarmos os métodos algébricos para descobrirmos o que a gente quer.

Primeiro, vamos verificar se a nossa função é par

Para isso, teremos: f x = f - x

f - x = - x 4 - 2 - x 2 + 3 - x

f - x = x 4 - 2 x 2 - 3 x

Opaaaaaa!

Nesse caso, f x ≠ f - x , ou seja, a função não é par!

Então já sabemos que a nossa afirmativa é FALSA, basta sabermos se a nossa função é ímpar ou não.

Passo 2

Vamos ver se a nossa função é ímpar agora, para isso faremos: f - x =   - f ( x )

Já sabemos que f - x = x 4 - 2 x 2 - 3 x

Basta agora encontrarmos   - f ( x ) e verificarmos se os dois são iguais.

- f x = - x 4 - 2 x 2 + 3 x

- f x =   - x 4 + 2 x 2 - 3 x

Perceba que f - x ≠   - f ( x ) .

Isso significa que a nossa função NÃO possui paridade.

Portanto, a resposta é a letra D.

Resposta

Letra D.

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