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Funções Pares e Ímpares

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Teoria

Sim, funções também podem ser classificadas como sendo pares ou impares e há ainda aquelas que não se prendem a rótulos e não são nenhuma das duas.

Mas essa classificação é um pouco diferente pra funções e a melhor forma de entender a paridade das funções é pensando em simetria.

Isso porque dizemos que uma função é par se ela é simétrica em relação ao eixo y , que é o eixo vertical, como podemos ver na figura abaixo:

Repare que a função à esquerda do eixo vertical é igual à função à direita do eixo vertical, como se tivéssemos o reflexo num espelho. Escrevendo algebricamente, temos:

f x = f ( - x )

Ou seja, tanto faz se a o argumento é positivo ou negativo, o resultado da função é o mesmo!

São exemplos de funções pares:

f x = x 2 g x = x Para o primeiro caso, além do gráfico, conseguimos também demonstrar algebricamente substituindo o x por - x e tentando chegar à mesma expressão:

f - x = - x 2 = - 1 x 2 = - 1 2 x 2 = x 2 = f ( x )

As funções ímpares, por sua vez, são simétricas em relação a origem 0,0 , como a função cúbica abaixo:

É como se pegássemos a parte da função à direita do eixo y e refletíssemos duas vezes, uma vez pra esquerda e outra pra baixo.

No fim, se pegarmos dois pontos opostos de mesmo módulo, por exemplo 1 e - 1 , temos valores também opostos e que ficam a uma mesma distância da origem.

Podemos escrever isso algebricamente como:

f - x = - f ( x )

Ou seja, quando o valor do argumento tiver o sinal oposto, o resultado da função também tem o sinal oposto!

São bons exemplos de funções impares:

f x = x 3 f x = 5 x

Para o primeiro caso, veja que:

f - x = - x 3 = - 1 x 3 = - 1 3 x 3 = - x 3 = - f ( x )

Por fim, temos aquelas funções que não se prendem aos rótulos e, portanto, não apresentam nenhuma das duas simetrias. Como:

f x = x + 1

Onde:

Que não tem simetria nem com o eixo y , nem com a origem. E tá tudo bem!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

  1. Verifique a paridade da função f ( x ) :
  2. f x = x - 1 2

  3. Calcule g ( x ) :
  4. g x = f x + f ( - x )

  5. Verifique a paridade da função g ( x ) .

Passo 1

a) Bom, o primeiro passo é analisar f ( x ) . Para isso, calculamos f ( - x ) :

f - x = - x - 1 2  

f - x = [ ( - 1 ) ( x + 1 ) ] 2

f - x = - 1 2 x + 1 2

f - x = x + 1 2

Passo 2

Não é muito trivial verificar as condições de paridade agora – isto é, comparar f ( - x ) com f ( x ) . Se preferir, podemos abrir as expressões:

f x = x - 1 2 = x 2 - 2 x + 1

f - x = x + 1 2 = x 2 + 2 x + 1

E a verdade é que f - x ≠ f ( x ) e f - x ≠ - f ( x ) . Ou seja, a função f não é par nem ímpar!

Passo 3

b) Agora vamos obter g ( x ) usando as expressões abertas do passo 2:

g x = f x + f - x

g x = x 2 - 2 x + 1 + x 2 + 2 x + 1

g x = 2 x 2 + 2

Passo 4

c) Agora observamos que

g - x = 2 - x 2 + 2

g - x = 2 x 2 + 2

g - x = g ( x )

E, portanto, a função g é par!

Resposta

  1. f ( x ) não tem paridade.
  2. g x = 2 x 2 + 2
  3. g ( x ) é par.

Exercício Resolvido #2

Toda função quadrática é par?

Passo 1

Para mostrarmos que é falso, basta encontrarmos um contra exemplo.

Observe a função quadrática abaixo, dada por f x = x 2 - 5 x + 6

Observe que essa função com certeza não é simétrica em relação ao eixo y.

Mostrando isso algebricamente, temos:

f x = x 2 - 5 x + 6   ≠ f - x = - x 2 - 5 - x + 6

x 2 - 5 x + 6   ≠ x 2 + 5 x + 6

Na real, a nossa função quadrática só será uma função par quando o seu vértice estiver sobre o eixo y. Caso contrário, não.

Portanto, essa afirmativa é FALSA.

Resposta

Falso.

Exercício Resolvido #3

Classifique as funções abaixo em pares, ímpares ou sem paridade.

  1. b) c)

Passo 1

O primeiro com certeza não é nem par e nem ímpar, pois não há simetria nem em relação a y e nem em relação a origem.

  1. SEM PARIDADE
  2. Vamos ao segundo gráfico, observe que ele é simétrico em relação ao eixo y, portanto ele é par.

  3. PAR
  4. Por último, o terceiro: Ele será uma função ímpar pois esse gráfico é simétrico em relação a origem.

  5. ÍMPAR

Agora um obs muito importante: Sempre que possível verifique se sua função é par ou ímpar algebricamente, pois gráficos podem nos enganar, pode parecer que é simétrico quando na verdade não é, beleza?

Resposta

  1. SEM PARIDADE
  2. PAR
  3. ÍMPAR

Exercício Resolvido #4

Verifique se a função f x = x 2 + 0,01 x - 3   é par.

Passo 1

Esse é um clássico exemplo que precisamos tomar cuidado

Sabe por que, se construirmos o gráfico dessa função. Veremos que ele vai aparecer da seguinte forma:

Daí você olha e diz: é claro que essa função é simétrica!

Vai com calmaaaaa!

Confere isso algebricamente, antes de afirmar qualquer coisa.

f - x = - x 2 + 0,01 - x - 3 = x 2 - 0,01 x - 3

Ou seja, f ( x ) ≠ f ( - x )

Portanto, essa função NÃO é par.

Resposta

Não é par.

Exercício Resolvido #5

Considere a afirmação a seguir:

A função f ( x )   =   x 4 - 2 x ² + 3 x possui um gráfico simétrico ao eixo y. A afirmação está:

a) Correta, pois a função é par

b) Correta, pois a função é ímpar

c) Falsa, pois a função é ímpar

d) Falsa, pois a função não possui paridade

e) Não tem como saber

Passo 1

Beleza, NÃO VAMOS FAZER O GRÁFICO DESSA FUNÇÃO, por motivos de: Preguiça kkkkkkkk

Mentira, é bem bizarro pensarmos num gráfico de uma função de 4º grau, você vai perder muito tempo de forma desnecessária. Em casos assim é bem melhor utilizarmos os métodos algébricos para descobrirmos o que a gente quer.

Primeiro, vamos verificar se a nossa função é par

Para isso, teremos: f x = f - x

f - x = - x 4 - 2 - x 2 + 3 - x

f - x = x 4 - 2 x 2 - 3 x

Opaaaaaa!

Nesse caso, f x ≠ f - x , ou seja, a função não é par!

Então já sabemos que a nossa afirmativa é FALSA, basta sabermos se a nossa função é ímpar ou não.

Passo 2

Vamos ver se a nossa função é ímpar agora, para isso faremos: f - x =   - f ( x )

Já sabemos que f - x = x 4 - 2 x 2 - 3 x

Basta agora encontrarmos   - f ( x ) e verificarmos se os dois são iguais.

- f x = - x 4 - 2 x 2 + 3 x

- f x =   - x 4 + 2 x 2 - 3 x

Perceba que f - x ≠   - f ( x ) .

Isso significa que a nossa função NÃO possui paridade.

Portanto, a resposta é a letra D.

Resposta

Letra D.

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