Teoria Completa
Introdução
Não, não. Funções afim não têm nada a ver com afinidade, não foi dessa vez hahaha
Nós sempre vamos pensar nas funções com aquela definição que vimos antes: TODO elemento do domínio se relaciona a um ÚNICO elemento do contradomínio.
Show! Mas a forma como essas relações acontecem, aparece de forma diferente, ou seja, tem LEIS DE FORMAÇÃO diferente. Primeiro vamos falar da função afim, depois a gente pensa nas outras. Relaxaaaa e vamos nessa!
Funções afim são sempre da seguinte forma:
Ou seja, sempre serão funções que lembram muito um polinômio de grau 1 e grau 0 (O maior valor de expoente que vai estar junto do “x” é 1 ou 0)
Isso significa que a nossa função vai trabalhar sempre nesse formato:
Onde e são números reais. Isso é o mesmo que dizer que:
Importante: O valor de não precisa ser diferente de para essa função ser afim, ou seja, a função afim não é igual a função de grau. Na segunda, precisa ser diferente de zero.
Fica atento a esse detalhe. =D
Domínio e Imagem
Conforme vimos no capítulo de introdução às funções, o domínio é o conjunto dos valores que o pode assumir. Como a função afim é da forma:
Mas o que dizer do domínio e do o contradomínio?
As funções afim sempre vão de Reais em Reais , ou seja:
Domínio: Conjunto dos números reais Contradomínio: Conjunto dos números reais
Gráficos da Função Afim
Vamos montar o gráfico de uma função afim para estudar como funciona essa coisa toda.
A função de primeiro grau é uma reta, assim para fazer o seu gráfico só precisamos de dois pontos.
Como nós precisamos apenas de dois pontos, podemos então, chutar dois valores de quaisquer e obter seus respectivos , certo?
Vamos ver como é o gráfico de .Fazendo e , vamos ter:
(Foi só substituir o valor de em ).
O que corresponde aos pares ordenados e . Se você não se lembra, um par ordenado é um ponto do tipo ou , o que dá no mesmo.
Podemos agora marcar no nosso gráfico cartesiano esses pontos:
Agora, como sabemos que a função é uma reta, podemos simplesmente ligar os dois pontos e estender a reta até o infinito, pois o gráfico da função continua pra sempre! MUAHAHAHA.
E se o “a” for igual à zero?
Por exemplo, observe a função:
Temos
Vamos montar uma tabelinha pra entender o que vai acontecer a medida que o x for variando:
Isso mesmo, NADA! Independente de quanto variemos o x, o y continua lá na dele, inabalável, CONSTANTE!
É assim que vamos chamar as funções que tem o : funções constantes.
Beleza, mas como fica o gráfico disso?
Let’s go:
Coeficientes angular e linear
Quando falamos dos gráficos para as funções afim, necessariamente eles são formados por retas.No entanto, você deve ter pecebido que mudarmos os valores do “a” e do “b” faz toda a diferença na forma como o gráfico é disposto.
O coeficiente é responsável por mudar a angulação da nossa reta, por isso ele é chamado de coeficiente ANGULAR.
Mas como isso funciona?
Observe a imagem abaixo
A medida que aumentamos o valor do a, nós aumentamos a inclinação! Tanto é, que quando colocamos o valor de negativo a nossa função será decrescente e para o o positivo, nossa função será crescente.
Agora imagine a seguinte situação: Você cansou dos estudos e resolveu abrir uma barraquinha de churros, você vai ter um custo fixo de 100 reais (água, luz e etc), que você vai gastar independente de ter vendido nenhum ou 10000 de churros, além disso você vai ter um custo de R$ 0,50 para cada churro que vender.
Ou seja, esse 0,50 será o nosso coeficiente e o 100 o coeficiente .
Nossa função ficará assim:
Esse 0,50 vai necessariamente representar uma taxa de variação entre o custo(y) e a quantidade de churros vendidos (x)
Ou seja, podemos escrever o da seguinte forma:
Para o nosso caso, poderíamos pensar o seguinte:
Poderíamos pensar isso para qualquer , a razão entre ele e o seu correspondente, seria .
Para fechar essa parte, vamos falar sobre o agora.
Ele vai ser chamado de coeficiente linear, isso porque ele vai deslocar nossa reta para cima ou para baixo.Se meu , por exemplo, eu subo duas casas em relação ao , se fosse, eu desceria duas casas. Observa que lindo isso:
Achando e
Assim como podemos traçar o gráfico da reta tendo dois pontos quaisquer que pertencem a função, podemos também achar sua expressão com a mesma informação.
Imagine que tenhamos dois pontos e que sabemos que pertencem a uma função afim.
Se a função é afim, então tem o formato:
Substituindo o primeiro ponto, temos:
Logo:
Com o valor de , encontramos substituindo o segundo ponto:
Logo:
Assim, a expressão será:
Quando um dos pontos não é a origem, teremos um sistema, como quando são fornecidos os pontos e :
Resolvendo o sisteminha:
E portanto:
Zero da função e interseção com o eixo
Show? Vamos ver outro exemplo para ilustrar outro conceito bem importante. Vamos pegar a função:
O professor que vai fazer a sua prova pode pedir o seguinte: encontre os pontos onde a função corta os eixos e .
Que é a mesma coisa que dizer:
Encontre o zero da função (ou raiz) e a interseção com ou eixo .
A função corta o eixo , ou tem zero, justamente quando (daí o nome). Assim, para achar o zero da função, basta achar o que satisfaz essa igualdade:
Que corresponde ao par ordenado .
Viu? Não é difícil. No caso da função afim, só haverá uma raiz ou zero, pois é uma reta. Outras funções poderão ter mais de um zero ou zero nenhum.
Agora precisamos achar a interseção com o eixo . Repare que a função corta este eixo quando . Afinal, o eixo é a reta . Assim, basta definir o argumento na fórmula da função:
Ou seja, corresponde ao par ordenado . Logo, a função corta o eixo em .
Será que foi coincidência?
Não, pode ficar feliz! A função sempre vai cortar o eixo y no ponto (0,b). Por que?
Observe a mágica acontecer, lembra que nossa função afim sempre vai aparecer assim pra gente: ?
Se colocarmos o , teremos:
Voltando ao nosso exemplo, vamos marcar os pontos no gráfico cartesiano, conectar os pontos e o gráfico está pronto!
Estudo do sinal
A função de primeiro grau só tem uma raiz (assim como a de segundo tem duas, a de terceiro tem três e etc.) e o sinal de uma função polinomial só muda ao passar pela raiz. Dessa maneira, para saber quando a função será positiva ou negativa, basta achar sua raiz e testar o sinal antes e depois dela.
Na função , temos zero em:
Assim, testamos um valor à esquerda desse número (menor que ele):
E um valor à direita (maior que ele):
Obtivemos valor negativo quando testamos para e valor positivo quando testamos para . Como a função só pode trocar de sinal na raiz, que é o , concluímos que função é negativa para à esquerda de e positiva à direita desse mesmo valor.
Você pode usar esse mesmo raciocínio para o estudo do sinal de qualquer função afim ;-D
AGORA, #PARTIUEXERCÍCIOS :D
Exercício Resolvido #1
Dada uma função , determine o valor de para que se tenha .
Passo 1
Substitua o valor de na função
Passo 2
Substitua o valor de
Resposta
Agora ficou fácil, fácil !!! É só escrever a equação substituindo o valor de .
Exercício Resolvido #2
Dado os pontos e determine a respectiva reta que passa por P e Q.
Passo 1
Escreva a equação geral da reta:
Passo 2
Substitua os pontos dados para encontrar duas equações. Aqui caberá lembrar que um ponto é um par ordenado .
Equação para o ponto :
Equação para o ponto :
Passo 3
Agora você deverá isolar uma variável da equação (1) e substituir na equação (2).
Substituir (3) em (2):
Por último, substitua na equação (1) ou (2). Tanto faz, você pode fazer o teste para comprovar o resultado.
Conhecendo os valores de e , basta escrever a função.
Resposta
Exercício Resolvido #3
A função é do 1º grau. Escreva a função se e
Passo 1
Em primeiro lugar vamos escrever a equação do 1º grau na forma geral:
(Daria no mesmo se você escrevesse ou ou quaisquer outras letras)
Passo 2
Agora vamos escrever as relações substituindo os dados do enunciado
Como os valores de e são conhecidos vamos substituir nas equações (1) e (2)
Passo 3
Basta isolar uma variável em umadas equações anteriores e substituir na outra equação
Substituir em (4) para obter :
E subititua em (3), (4) ou (5):
Por fim escrevemos a equação procurada, onde a e .
Resposta
Exercício Resolvido #4
A medida que o ar seco move-se para cima, ele se expande e esfria. Se a temperatura do solo for e a temperatura a uma altitude de 1 km for de , expresse a temperatura em como função da altitude em Km, supondo que um modelo linear seja apropriado.
Passo 1
Para comerçarmos a resolver isso você deve saber o que é um modelo linear. Pulo do gato!!!
é um modelo linear, porque representa uma reta. Quer dizer que a temperatura varia em função da altura de forma linear.
Logo, vamos escrever a equação utilizando as variáveis que o problema sugeriu.
Você deve estar se perguntando, como chegar nisso sozinho??
Note que é a temperatura que varia conforme muda a altura , pronto é só isso. Agora voltaremos ao enunciado e vamos determinar o valor de .
Passo 2
O enunciado diz que quando está na altura do solo, ou seja,
Também é dado que em , a temperatura é
Conhecendo os valores de e , basta escrever a função.
Resposta
Exercício Resolvido #5
Estudar segundos os valores do parâmetro , a variação(crescente, decrescente ou constante) das funções abaixo:
Passo 1
a)
Bom, nessa função afim temos que .
Portanto, temos que usar a definição de função crescente, decrescente e constante.
Se:
- Então a função é crescente.
- Então a função é decrescente.
- Então a função é constante.
Passo 2
b)
Nessa função, temos
Então, se:
- Então a função é crescente.
- Então a função é decrescente.
- Então a função é constante.
- Então a função é crescente.
- Então a função é decrescente.
- Então a função é constante.
- Então a função é crescente.
- Então a função é decrescente.
- Então a função é constante.
Passo 3
c)
Nessa função temos
Então, se:
Passo 4
d)
Nessa questão temos que fazer um pouco de manipulação.
Bom,
Agora só precisamos nos preocupar com o valor de , não ligue para o valor de b mesmo que tenha um no meio.
Então, se:
Resposta
a)
b)
c)
d)