Responde Aí

Teoria

Fala aí, você chegou no Responde Aí! E vamos lá bater um papo sobre Função Afim.

O que é Função Afim?

Nós sempre vamos pensar nas funções com aquela definição que vimos antes: TODO elemento do domínio se relaciona a um ÚNICO elemento do contradomínio.

Funções afim são funções que tem a seguinte forma:

Onde e são números reais.

Ou seja, todas as funções abaixo são Funções Afim:

Ou seja, sempre serão funções que lembram muito um polinômio de grau 1 ou grau 0 (o maior valor de expoente que vai estar junto do “x” é 1 ou 0).

Gráfico da Função Afim

Vamos montar o gráfico de uma função afim para estudar como funciona essa coisa toda.

O gráfico da Função Afim sempre é uma reta. Então para fazer o seu gráfico só vamos precisar de dois pontos! Vamos ver num exemplo.

Exemplo: Desenho o gráfico de

Passo 1: Vamos descobrir o valor de quando :

Passo 2: Vamos descobrir o valor de quando :

Passo 3: Num gráfico a gente marca os dois pontos:

Marcando os pontos calculados
Marcando os pontos calculados

Passo 4: E agora a gente só precisa ligar os pontos com uma reta!7

Traçando o gráfico.
Traçando o gráfico.

Interceptando os eixos

O zero de uma função é o valor de quando . Na prática é o ponto em que a função intercepta o eixo

Já a interseção com o eixo acontece quando .

Ou seja, quando interceptamos o eixo . E quando interceptamos o eixo .

Exemplo: Encontre o zero da função e a interseção com da função

Passo 1: Para encontrar o zero da função é só igualar a função a zero:

Ou seja, a função é igual a corta o eixo quando e , que corresponde ao par ordenado

Passo 2: A função intercepta o eixo y quando . Então é só aplicar na função:

Ou seja, a função é igual a corta o eixo quando e , que corresponde ao par ordenado .

Videoaula

Quer saber ainda mais sobre Função Afim? Então olha essa nossa videoaula que ensina tudo que você precisa saber

Não para por aí! Olha aqui em baixo e confere uns exercícios resolvidos 👇

Videoaula

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine os zeros das funções

  1. y = 5 x + 10
  2. y = - 4 x

Passo 1

Vamos lá!! Queremos encontrar o zero das funções, ou seja, o valor de x que faz com que a função seja igual a zero.

Lembrando que quando falamos qua a função será um determinado valor, estão falando do y encontrado.

Então, para fazer isso, basta fazermos y = 0 ! Bora pras continhas!

Passo 2

  1. Na letra (a) temos a função:
  2. y = 5 x + 10

    Fazendo

    y = 0

    Teremos:

    0 = 5 x + 10

    Vamos só trocar de lado pra ficar mais corfortável pra resolver:

    5 x + 10 = 0

    Para encontrar o valor de x ,   passamos o número 10   para o outro lado ele estava somando, e passa subtraindo.

    5 x = - 10

    Agora, vamos deixar o x sozinho passando o número 5 que estava multiplicando ele, para o outro lado dividindo:

    x = - 10 5

    Realizando a divisão, temos

    x = - 2

    Ou seja, o zero da função y = 5 x + 10 é x = - 2 .

    OBS: Pra termos certeza que fizemos a coisa certa, nós podemos testar, pra isso a gente pega a função original e substitui o valor de x que acabamos de encontrar como raiz. Veja:

    y = 5 x + 10

    Com x = - 2 :

    y = 5 ⋅ - 2 + 10

    y = - 10 + 10

    y = 0

    Viu, deu certinho, quando o x = - 2 , realmente a função vai a zero!

    Passo 3

  3. Vamos utilizar o mesmo raciocínio na letra (b). Fazendo

y = - 4 x

y = 0

Temos

0 = - 4 x

Mudando de lado:

- 4 x = 0

Assim, o número - 4 mudará de lado dividindo.

Repara que o que munda quando jogamos o - 4 para o outro lado é a operação, e não o sinal. Nesse caso, ele estava multiplicando o x e passa para o outro lado dividino que é a operação inversa da multiplicação. Por isso ele vai com o seu sinal de menos. Ok? Nós só mudamos o sinal quando ele está somando ou subtraindo!

Assim:

x = 0 - 4

EPAAAAA! Mas teremos o número 0 dividido por - 4 ... O zero dividido por qualquer número é zero!

Assim, o zero da fnção y = - 4 x é x = 0 !

Beleza?!

Resposta

a ) - 2

b )   0

Exercício Resolvido #2

Diga se as funções abaixo são crescentes ou decrescentes:

  1. y = 3 x + 2
  2. f x = - 2 x + 3 2
  3. y = - x 2

Passo 1

BORA TIMEEE!! Para classificarmos as funções afins como crescentes ou decrescentes precisamos lembrar que ela tem esse formato aqui:

E elas terão as seguintes carinhas:

Show de bola?! Então vamos analisar cada caso!

Passo 2

a) Na letra (a) temos a função y = 3 x + 2 . Quem é o a aqui nesse caso? Se você reparar

Então,

Como nosso a é maior que zero, a função y = 3 x + 2 é crescente!!

Passo 3

b) Vamos utilizar o mesmo raciocínio!! Temos a função f x = - 2 x + 3 2 . Nesse caso, quem será o nosso a ?

Você concorda que o nosso a = - 2 ? Assim,

Portanto, a função é descrescente!

Passo 4

c) Pra terminar, vamos analisar a função y = - x 2 . Tá meio diferente a carinha dessa função, né?! Mas não se assuste que vai ser mais fácil e rápido do que você imagina!!!

Se você reparar, o x está multiplicando o - 1 2 , olha:

E nesse caso não teremos o termo “b” da nossa função. Temos algo do tipo

Como o “ a ” é o termo que acompanha o x , o nosso a aqui é

Ou seja, a função é decrescente!

Resposta

  1. Crescente
  2. Decrescente
  3. Decrescente

Exercício Resolvido #3

A função real de variável real, definida por f x = 3 - 2 a x + 2 , é crescente quando:

  1. a > 0
  2. a < 3 2
  3. a = 3 2
  4. a > 3 2
  5. a < 3

Passo 1

Opaaaa! Antes de tudo vamos lembrar como classificamos as funções em crescentes ou decrescentes?

Show de bola?! Vamos então identificar o " a " da função f x = 3 - 2 a x + 2 e verificar quando será crescente.

Passo 2

O termo “ a ” da função é aquele que sempre acompanha o x , certo? No caso da nossa função

f x = 3 - 2 a x + 2

O termo que acompanha o x é

E para a função ser crescente esse termo que acompanha o x precisa ser maior que zero. Assim,

3 - 2 a > 0

Veja que aqui temos um inequação, é parecido com as equações, mas ao invés de termos o sinal de igual temos o sinal de maior ( > ) . Pra resolver fazemos de forma bem parecida com a o que já fazemos nas equações. Veja:

Podemos passar o três para o outro lado invertendo o sinal

- 2 a > - 3

Como temos o sinal de menos em ambos os lados, vamos multiplicar tudo por ( - 1 ) para sumir com o sinal de menos. Quando fizermos isso, o sinal da desigualdade irá inverter. Repare:

- 2 a > - 3

2 a < 3

Beleza?!

Agora é só passar o 2 que está multiplicando o a para o outro lado dividindo. Assim,

a < 3 2

E prontinho!

Ouuu seja, para a nossa função ser crescente,

a < 3 2

Resposta

Letra (B)

Exercício Resolvido #4

Considere a função f x = 4 x + 1 . Qual o valor de x   para que f x = 17 ?

Passo 1

Vamos láá!!! Temos a função f x = 4 x + 1 e queremos encontrar o valor de x de forma que f x = 17 , certo? Como podemos fazer isso?

Basta igualarmos

4 x + 1 = 17

E encontrar o valor de x !!

Passo 2

Vamos então isolar o x da equação

4 x + 1 = 17

Beleza?!

Dessa forma, o 1 passará para o outro lado invertendo o sinal

4 x = 17 - 1

4 x = 16

E agora o 4 passará para o outro lado dividindo

x = 16 4 = 4

Portanto, o valor de x   para que f x = 17 é x = 4 !

Resposta

x = 4

Exercício Resolvido #5

Diga se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas:

  1. O coeficiente angular (taxa de variação) da função y = 2 x + 8 é 8 ;
  2. O coeficiente Linear da função y = 4 x - 6 é - 6 ;
  3. A função y = - 5 x + 2 é crescente;
  4. No plano cartesiano, o eixo das ordenadas é equivale ao X , enquanto que o eixo das abscissas corresponde ao Y .

Passo 1

Fala Aíí!! Vamos analisar cada uma das afirmações e verificar quais são verdadeiras e quais são falsas!

Na letra (a) temos a afirmação “O coeficiente angular (taxa de variação) da função y = 2 x + 8 é 8 " . Vamos lembrar o que é o coeficiente angular de uma função? Em uma função, f x = a x + b , o “ a ” é chamado de coeficiente angular ou taxa de variação e está ligado a inclinação da reta em relação ao eixo O x .

Ou seja, na função y = 2 x + 8 o nosso coeficiente angular será o número 2 , e não o 8 como informado na afirmação! Assim, a afirmação é falsa!

Passo 2

b) A letra (b) fala sobre coeficiente linear de uma função. O coeficiente linear de uma função será o termo independente:

Portanto, na função   y = 4 x - 6 o coeficiente linear é o termo - 6 ! Ou seja, a afirmação é verdadeira!!

Passo 3

c) A afirmação da letra (c) é “A função y = - 5 x + 2 é crescente”. Uma função será crescente quando

Beleza?! Aqui como o nosso a = - 5 < 0 , então a função será decrescente. Ou seja, a afirmação é falsa!!

Passo 4

d) A última afirmação “No plano cartesiano, o eixo das ordenadas é equivale ao X , enquanto que o eixo das abscissas corresponde ao Y " fala sobre os eixos do plano cartesiano. Vale lembrar que

E na afirmação da letra (d) fala exatamente o contrário, rs. Então a afirmação é falsa!

Resposta

  1. Falsa
  2. Verdadeira
  3. Falsa
  4. Falsa

Exercício Resolvido #6

Dada uma função f x = a x + 2 , determine o valor de ´ a ` para que se tenha f 4 = 20 .

Passo 1

Substitua o valor de x na função

x = 4

f 4 = 4 a + 2

Passo 2

Substitua o valor de f 4 = 20

20 = 4 a + 2  

4 a = 20 - 2

a = 18 4 = 4,5

Resposta

Agora ficou fácil, fácil !!! É só escrever a equação substituindo o valor de a   .

f x = 4,5 x + 2

Exercício Resolvido #7

Dado os pontos P ( 1,4 ) e Q ( 5 , - 2 ) determine a respectiva reta que passa por P e Q.

Passo 1

Escreva a equação geral da reta:

y = a x + b

Passo 2

Substitua os pontos dados para encontrar duas equações. Aqui caberá lembrar que um ponto é um par ordenado P ( x , y ) .

Equação para o ponto P ( 1,4 ) :

4 = a . 1 + b                 ( 1 )

Equação para o ponto Q ( 5 , - 2 ) :

- 2 = 5 a + b             ( 2 )

Passo 3

Agora você deverá isolar uma variável da equação (1) e substituir na equação (2).

4 = a + b

b = 4 - a                   ( 3 )

Substituir (3) em (2):

- 2 = 5 a + b             ( 2 )

- 2 = 5 a + 4 - a

- 2 = 4 a + 4

4 a = - 2 - 4

a = - 6 4 = - 1,5

Por último, substitua m na equação (1) ou (2). Tanto faz, você pode fazer o teste para comprovar o resultado.

4 = a + b                           ( 1 )

4 = - 6 4 + b

4 + 6 4 = b

16 + 6 4 = b

b = 5,5    

Conhecendo os valores de b = 5,5     e   m = - 1,5 , basta escrever a função.

Resposta

y = - 1,5 x + 5,5

Exercício Resolvido #8

A função f ( x ) é do 1º grau. Escreva a função se f - 1 = 2 e f 2 = 3

Passo 1

Em primeiro lugar vamos escrever a equação do 1º grau na forma geral:

f x = a x + b

(Daria no mesmo se você escrevesse f x = m x + b ou y = z x + w ou quaisquer outras letras)

Passo 2

Agora vamos escrever as relações substituindo os dados do enunciado

f - 1 = a - 1 + b                                                                           ( 1 )

f 2 = a . 2 + b                                                                                                 ( 2 )  

Como os valores de f - 1 = 2 e f 2 = 3 são conhecidos vamos substituir nas equações (1) e (2)

f - 1 = 2 = a - 1 + b                                                                                     ( 3 )

f 2 = 3 = a . 2 + b                                                                                                       ( 4 )

Passo 3

Basta isolar uma variável em umadas equações anteriores e substituir na outra equação

2 = a - 1 + b

b = 2 + a                                         ( 5 )

Substituir b em (4) para obter a :

3 = 2 a + b                                           ( 4 )

3 = 2 a + 2 + a

3 = 3 a + 2

3 a = 3 - 2

3 a = 1 = a = 1 3

E subititua a em (3), (4) ou (5):

b = 2 + a                                         ( 5 )    

b = 2 + 1 3

b = 7 3

Por fim escrevemos a equação procurada, onde a = 1 / 3 e     b = 7 / 3 .

Resposta

f x = 1 3 x + 7 3

Exercício Resolvido #9

A medida que o ar seco move-se para cima, ele se expande e esfria. Se a temperatura do solo for 20 ℃ e a temperatura a uma altitude de 1 km for de 10 ℃ , expresse a temperatura T em como função da altitude h em Km, supondo que um modelo linear seja apropriado.

Passo 1

Para comerçarmos a resolver isso você deve saber o que é um modelo linear. Pulo do gato!!!

y = a x + b é um modelo linear, porque representa uma reta. Quer dizer que a temperatura T varia em função da altura h de forma linear.

Logo, vamos escrever a equação utilizando as variáveis que o problema sugeriu.

y = a x + b

T = a h + b

Você deve estar se perguntando, como chegar nisso sozinho??

Note que T é a temperatura que varia conforme muda a altura h , pronto é só isso. Agora voltaremos ao enunciado e vamos determinar o valor de b .

Passo 2

O enunciado diz que quando T = 20 ℃ está na altura do solo, ou seja, h = 0 T = a h + b

20 = a . 0 + b

b = 20

Também é dado que em h = 1 K m , a temperatura é T = 10 ℃

T = a h + 20

10 = a . 1 + 20

a = 10 - 20

a = - 10

Conhecendo os valores de b = 20     e a = - 10 , basta escrever a função.

Resposta

T = - 10 h + 20

Exercício Resolvido #10

Estudar segundos os valores do parâmetro m , a variação(crescente, decrescente ou constante) das funções abaixo:

  1. y = m + 2 x - 3
  2. y = 4 - m x + 2
  3. y = 4 - m + 3 x
  4. y = m x - 1 + 3 - x

Passo 1

a)

Bom, nessa função afim temos que a = m + 2 .

Portanto, temos que usar a definição de função crescente, decrescente e constante.

Se:

  • a = m + 2 > 0 ⇒ m > - 2 Então a função é crescente.
  • a = m + 2 < 0 ⇒ m < - 2   Então a função é decrescente.
  • a = m + 2 = 0 ⇒ m = - 2 Então a função é constante.

Passo 2

b)

Nessa função, temos a = 4 - m .

Então, se:

  • a = 4 - m > 0 ⇒ - m > - 4 ⇒ m < 4 Então a função é crescente.
  • a = 4 - m < 0 ⇒ - m < - 4 ⇒ m > 4 Então a função é decrescente.
  • a = 4 - m = 0 ⇒ m = 4 Então a função é constante.
  • Passo 3

    c)

    Nessa função temos a =   - m + 3 .

    Então, se:

  • a = - m + 3 > 0 ⇒ m + 3 < 0 ⇒ m < - 3 Então a função é crescente.
  • a = - m + 3 < 0 ⇒ m + 3 > 0 ⇒ m > - 3 Então a função é decrescente.
  • a = - m + 3 = 0 ⇒ m + 3 = 0 ⇒ m = - 3 Então a função é constante.
  • Passo 4

    d)

    Nessa questão temos que fazer um pouco de manipulação.

    Bom,

    y = m x - 1 + 3 - x = m x - m + 3 - x

    ⇒ y = x m - 1 + 3 - m

    Agora só precisamos nos preocupar com o valor de a , não ligue para o valor de b mesmo que tenha um m no meio.

    Então, se:

  • a = m - 1 > 0 ⇒ m > 1 Então a função é crescente.
  • a = m - 1 < 0 ⇒ m < 1 Então a função é decrescente.
  • a = m - 1 = 0 ⇒ m = 1 Então a função é constante.

Resposta

a)

m > - 2

m < - 2

m = - 2

b)

m < 4

m > 4

m = 4

c)

m < - 3

m > - 3

m = - 3

d)

m > 1

m < 1

m = 1

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