Função Afim

Teoria Completa

Introdução

Não, não. Funções afim não têm nada a ver com afinidade, não foi dessa vez hahaha

Nós sempre vamos pensar nas funções com aquela definição que vimos antes: TODO elemento do domínio se relaciona a um ÚNICO elemento do contradomínio.

Show! Mas a forma como essas relações acontecem, aparece de forma diferente, ou seja, tem LEIS DE FORMAÇÃO diferente. Primeiro vamos falar da função afim, depois a gente pensa nas outras. Relaxaaaa e vamos nessa!

Funções afim são sempre da seguinte forma:

f x = x + 2                     f x = - 3 2 x               f x = 5                 f x = 1.44 x - 0.1 π

  Ou seja, sempre serão funções que lembram muito um polinômio de grau 1 e grau 0 (O maior valor de expoente que vai estar junto do “x” é 1 ou 0)

Isso significa que a nossa função vai trabalhar sempre nesse formato:

f x = a x + b

Onde a e b são números reais. Isso é o mesmo que dizer que:

y = a x + b

Importante: O valor de a não precisa ser diferente de 0 para essa função ser afim, ou seja, a função afim não é igual a função de 1 º grau. Na segunda, a precisa ser diferente de zero.

Fica atento a esse detalhe. =D

Domínio e Imagem

Conforme vimos no capítulo de introdução às funções, o domínio é o conjunto dos valores que o x pode assumir. Como a função afim é da forma:

f x = a x + b

Mas o que dizer do domínio e do o contradomínio?

As funções afim sempre vão de Reais em Reais R →   R , ou seja:

Domínio: Conjunto dos números reais Contradomínio: Conjunto dos números reais

Gráficos da Função Afim

Vamos montar o gráfico de uma função afim para estudar como funciona essa coisa toda.

A função de primeiro grau é uma reta, assim para fazer o seu gráfico só precisamos de dois pontos.

Como nós precisamos apenas de dois pontos, podemos então, chutar dois valores de x quaisquer e obter seus respectivos f ( x ) , certo?

Vamos ver como é o gráfico de f x = x .Fazendo x = 0 e x = 1 , vamos ter:

f 0 = 0 f 1 = 1

(Foi só substituir o valor de x em f ( x ) ).

O que corresponde aos pares ordenados 0 ,   0 e 1 ,   1 . Se você não se lembra, um par ordenado é um ponto do tipo x ,   f x ou ( x ,   y ) , o que dá no mesmo.

Podemos agora marcar no nosso gráfico cartesiano esses pontos:

Agora, como sabemos que a função é uma reta, podemos simplesmente ligar os dois pontos e estender a reta até o infinito, pois o gráfico da função continua pra sempre! MUAHAHAHA.

E se o “a” for igual à zero?

Por exemplo, observe a função:   y =   2

Temos a = 0   e   b = 2

Vamos montar uma tabelinha pra entender o que vai acontecer a medida que o x for variando:

Isso mesmo, NADA! Independente de quanto variemos o x, o y continua lá na dele, inabalável, CONSTANTE!

É assim que vamos chamar as funções que tem o a = 0 : funções constantes.

Beleza, mas como fica o gráfico disso?

Let’s go:

Coeficientes angular e linear

Quando falamos dos gráficos para as funções afim, necessariamente eles são formados por retas.No entanto, você deve ter pecebido que mudarmos os valores do “a” e do “b” faz toda a diferença na forma como o gráfico é disposto.

O coeficiente   a é responsável por mudar a angulação da nossa reta, por isso ele é chamado de coeficiente ANGULAR.

Mas como isso funciona?

Observe a imagem abaixo

A medida que aumentamos o valor do a, nós aumentamos a inclinação! Tanto é, que quando colocamos o valor de a negativo a nossa função será decrescente e para o o a positivo, nossa função será crescente.

Agora imagine a seguinte situação: Você cansou dos estudos e resolveu abrir uma barraquinha de churros, você vai ter um custo fixo de 100 reais (água, luz e etc), que você vai gastar independente de ter vendido nenhum ou 10000 de churros, além disso você vai ter um custo de R$ 0,50 para cada churro que vender.

Ou seja, esse 0,50 será o nosso coeficiente a e o 100 o coeficiente b .

Nossa função ficará assim:

f x = 0,5 x + 100

Esse 0,50 vai necessariamente representar uma taxa de variação entre o custo(y) e a quantidade de churros vendidos (x)

Ou seja, podemos escrever o a da seguinte forma:

a = ∆ y ∆ x

  O n d e :   ∆ y →     V a r i a ç ã o   e m   y   e   ∆ x → V a r i a ç ã o   e m   x

Para o nosso caso, poderíamos pensar o seguinte:

a = ∆ y ∆ x = 101 - 100 2 - 0 = 1 2 = 0,5

Poderíamos pensar isso para qualquer ∆ y , a razão entre ele e o seu ∆ x correspondente, seria 0,5 .

Para fechar essa parte, vamos falar sobre o b agora.

Ele vai ser chamado de coeficiente linear, isso porque ele vai deslocar nossa reta para cima ou para baixo.Se meu b = 2 , por exemplo, eu subo duas casas em relação ao b = 0 , se fosse b = - 2 , eu desceria duas casas. Observa que lindo isso:

Achando a e b

Assim como podemos traçar o gráfico da reta tendo dois pontos quaisquer que pertencem a função, podemos também achar sua expressão com a mesma informação.

Imagine que tenhamos dois pontos 0,0 e ( 1,2 ) que sabemos que pertencem a uma função afim.

Se a função é afim, então tem o formato:

f x = a x + b

Substituindo o primeiro ponto, temos:

f 0 = 0 ⟹ f 0 = a ⋅ 0 + b = 0

Logo:

b = 0

Com o valor de b , encontramos a substituindo o segundo ponto:

f 1 = 2 ⟹ a ⋅ 1 + 0 = 2

Logo:

a = 2

Assim, a expressão será:

f x = 2 x

Quando um dos pontos não é a origem, teremos um sistema, como quando são fornecidos os pontos ( 1,2 ) e ( 2,4 ) :

f 1 = 2 = a ⋅ 1 + b ⟹ a + b = 2

f 2 = 4 = a ⋅ 2 + b ⟹ 2 a + b = 4

Resolvendo o sisteminha:

a = 2 ; b = 0

E portanto:

f x = 2 x

Zero da função e interseção com o eixo y

Show? Vamos ver outro exemplo para ilustrar outro conceito bem importante. Vamos pegar a função:

f x = 2 x + 6

O professor que vai fazer a sua prova pode pedir o seguinte: encontre os pontos onde a função corta os eixos x e y .

Que é a mesma coisa que dizer:

Encontre o zero da função (ou raiz) e a interseção com ou eixo y .

A função corta o eixo x , ou tem zero, justamente quando y = f x = 0 (daí o nome). Assim, para achar o zero da função, basta achar o x que satisfaz essa igualdade:

f x = 0 ⟹ 2 x + 6 = 0

2 x = - 6

x = - 3

Que corresponde ao par ordenado ( - 3 ,   0 ) .

Viu? Não é difícil. No caso da função afim, só haverá uma raiz ou zero, pois é uma reta. Outras funções poderão ter mais de um zero ou zero nenhum.

Agora precisamos achar a interseção com o eixo y . Repare que a função corta este eixo quando x = 0 . Afinal, o eixo y é a reta x = 0 . Assim, basta definir o argumento x = 0 na fórmula da função:

f 0 = 2 ⋅ 0 + 6

f 0 = 6

Ou seja, corresponde ao par ordenado 0 ,   6 . Logo, a função corta o eixo y em y = 6 .

Será que foi coincidência?

Não, pode ficar feliz! A função sempre vai cortar o eixo y no ponto (0,b). Por que?

Observe a mágica acontecer, lembra que nossa função afim sempre vai aparecer assim pra gente: y = a x + b ?

Se colocarmos o x = 0 , teremos:

y = a × 0 + b

y = b

Voltando ao nosso exemplo, vamos marcar os pontos no gráfico cartesiano, conectar os pontos e o gráfico está pronto!

Estudo do sinal

A função de primeiro grau só tem uma raiz (assim como a de segundo tem duas, a de terceiro tem três e etc.) e o sinal de uma função polinomial só muda ao passar pela raiz. Dessa maneira, para saber quando a função será positiva ou negativa, basta achar sua raiz e testar o sinal antes e depois dela.

Na função f x = 2 x + 6 , temos zero em:

f x = 0 ⟹ 2 x + 6 = 0 ⟹ x = - 3

Assim, testamos um valor à esquerda desse número (menor que ele):

f - 5 = 2 ⋅ - 5 + 6 = - 4 < 0

E um valor à direita (maior que ele): f 0 = 2 ⋅ 0 + 6 = 6 > 0

Obtivemos valor negativo quando testamos para x < - 3 e valor positivo quando testamos para x > - 3 . Como a função só pode trocar de sinal na raiz, que é o x = - 3 , concluímos que função é negativa para à esquerda de x = - 3 e positiva à direita desse mesmo valor.

Você pode usar esse mesmo raciocínio para o estudo do sinal de qualquer função afim ;-D

AGORA, #PARTIUEXERCÍCIOS :D

Expandir

Exercício Resolvido #1

AV1 Estácio de Sá

Dada uma função f x = a x + 2 , determine o valor de ´ a ` para que se tenha f 4 = 20 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Substitua o valor de x na função

x = 4

f 4 = 4 a + 2

Passo 2

Substitua o valor de f 4 = 20

20 = 4 a + 2  

4 a = 20 - 2

a = 18 4 = 4,5

Resposta

Agora ficou fácil, fácil !!! É só escrever a equação substituindo o valor de a   .

f x = 4,5 x + 2

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Dado os pontos P ( 1,4 ) e Q ( 5 , - 2 ) determine a respectiva reta que passa por P e Q.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Escreva a equação geral da reta:

y = a x + b

Passo 2

Substitua os pontos dados para encontrar duas equações. Aqui caberá lembrar que um ponto é um par ordenado P ( x , y ) .

Equação para o ponto P ( 1,4 ) :

4 = a . 1 + b                 ( 1 )

Equação para o ponto Q ( 5 , - 2 ) :

- 2 = 5 a + b             ( 2 )

Passo 3

Agora você deverá isolar uma variável da equação (1) e substituir na equação (2).

4 = a + b

b = 4 - a                   ( 3 )

Substituir (3) em (2):

- 2 = 5 a + b             ( 2 )

- 2 = 5 a + 4 - a

- 2 = 4 a + 4

4 a = - 2 - 4