Funções Trigonométricas

Teoria Completa

Introdução

Vimos, na parte de trigonometria, o seno, cosseno e tangente. Quando generalizamos o argumento dessas relações, obtemos uma função denominada trigonométrica, tal como: f x = sen ⁡ ( x ) g x = cos ⁡ ( x ) h ( x ) = tan ⁡ ( x )

Essas funções terão alguns aspectos interessantes (e importantes) que iremos discutir nesse texto.

Periodicidade das funções trigonométricas

Antes de falar das funções trigonométricas mais comuns, vamos comentar um pouco sobre o período de uma função qualquer.

Bom, uma função é dita periódica quando existir um número T > 0 tal que:

f x + T = f ( x )

Para todo x .

E o menor valor de T que satisfaz a condição acima é chamado de período da função f .

Outra observação sobre funções periódicas é que o gráfico de uma função periódica tende a se repetir a cada período, ou seja, para construirmos o gráfico de uma função periódica basta construirmos o gráfico para um período da função, pois o resto do gráfico será a repetição dessa parte.

Bom, dito isso, vamos para as funções trigonométricas básicas.

O seno

Denominamos função seno, a função que associa a cada número real x , o número real f x = sen ⁡ ( x ) .

O seno é sempre um número que fica oscilando entre - 1 e 1 , não há nenhuma indeterminação no intervalo e isso se repete indefinidamente. Dessa forma, já podemos afirmar que o domínio da função seno é o conjunto dos números reais, ou: D f = R

Já a imagem do garoto está associada, justamente, ao fato do seno variar entre -1 a 1. O que eu quero dizer é que essa função só pode ter imagem entre esses valores.

Para o caso mais simples, onde:

f x = sen ⁡ x

Temos, como visto antes, uma função que está sempre no intervalo [ - 1,1 ] , logo sua imagem será:

I m f = y ∈ R   | - 1 ≤ y ≤ 1

Já para quando temos um coeficiente multiplicando, ficamos com:

f x = a ⋅ sen ⁡ ( x )

I m f = y ∈ R   | - a ≤ y ≤ a

Para a > 0 .

Outro fato importante é que o período do seno é 2 π , desta forma, para achar o período da função, pegamos o argumento e igualamos a 2 π , de forma que, por exemplo:

sen ⁡ ( 2 x ) ⟹ 2 π = 2 T ∴ T = π

Quando temos números somando dentro do seno, a gente pode ignorar esse valor! Igualamos 2 π só à parte que multiplica x . Então,

sen ⁡ ( 2 x + π ) ⟹ 2 T = 2 π ∴ T = π

Agora, o gráfico da função y = s e n x é dado por:

Repare nesse gráfico e veja que a função também é simétrica em relação a origem, o que implica que é uma função ímpar. Ou seja:

sen ⁡ - x = - sen ⁡ ( x )

Cosseno:

Denominamos função cosseno, a função que associa a cada número real x o número real f x = c o s ( x ) .

Assim como no seno, o domínio será o conjunto dos números reais:

D f = R

E, como também oscila entre [ - 1,1 ] , terá imagem:

I m f = y ∈ R   | - 1 ≤ y ≤ 1

Ou, para um coeficiente multiplicando a função:

f x = a ⋅ cos ⁡ ( x )

I m f = y ∈ R   | - a ≤ y ≤ a

As maneira de calcular o período é idêntica ao seno, uma vez que o período também é de 2 π .

O gráfico dessa belezinha será igual ao do seno, mas deslocado e tendo valor y = 1 em x = 0 .

Através deste mesmo gráfico é notável que a função será simétrica em relação ao eixo y , o que implica que a função é par. Ou seja: cos ⁡ ( x ) = cos ⁡ ( - x )

Tangente:

Denominamos função tangente, a função que associa a cada número real x o número real:

f x = t a n x = s e n x c o s ⁡ ( x )

Bom, agora a coisa complica mais um pouco. Para achar o domínio dessa função temos que ver os pontos problemáticos, isto é, os pontos em que o denominador é zero.

O denominador da função zera quando o c o s ⁡ ( x ) zera, que acontece quando:

x = π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 ,   7 π 2 …

Generalizando, vemos que ocorre para:

x = π 2 + k π   ,   k ∈ Z

Logo o domínio da função tangente é:

D f x = x ∈ R x ≠ π 2 + k π

Quanto a imagem, nada limita essa tangente e, portanto, a imagem é sempre o conjunto dos números reais: I m = R

Para o período, diferentemente do seno e do cosseno, temos que que a função tangente tem período π .

Agora, o gráfico da função y = t a n x é dado por:

Novamente, dá pra ver uma simetria bonita em relação a origem, portanto, a função é impar e:

tan ⁡ - x = - tan ⁡ ( x )

Secante:

Chegamos na última, eu prometo! Outra função que aparece bastante é a função secante, que é uma função que associa a cada número real x o número real:

f x = s e c x = 1 c o s ⁡ ( x )

Como temos o c o s ⁡ ( x ) no denominador, o domínio da função secante é o mesmo da função tangente, isto é

D f x = x ∈ R x ≠ π 2 + k π

Quanto a imagem, temos o cosseno no denominador e no numerador o 1 . Considerando os valores positivos do cosseno, temos:

f x = 1 g ( x )

Onde 0 < g x ≤ 1 . 1 dividido por um número entre 0 e 1 resulta num valor sempre maior que 1 .

De maneira análoga, considerando a parte negativa do cosseno, temos:

f x = 1 h ( x )

Onde - 1 ≤ h x < 0 .   1 dividido por um número entre - 1 e 0 resulta num valor sempre menor que - 1 .

Dessa forma, a imagem da função estará sempre fora do intervalor ( - 1,1 ) e será, portanto:

I m f = y ∈ R     y ∈   - 1,1 [

Não foi erro de digitação, o colchete ao contrário indica valores fora do intervalo.

A secante, assim como o cosseno, terá período 2 π e o gráfico será:

Simétrica em relação ao eixo y e, portanto, par:

sec ⁡ ( x ) = sec ⁡ - x

Nossa amiga cossecante é praticamente idêntica a secante, com o detalhe que é ímpar, tem valor y = 1 para x = 0 e domínio:

D f = x ∈ R x ≠ k π

#PartiuExercitar #PartiuPassar.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine o período das seguintes funções:

  1. f x = 4 cos ⁡ x
  2. f x = 3 cos ⁡ x 2
  3. f x = 2 tg ⁡ x
  4. f x = cos ⁡ x - π 3
  5. f x = cos ⁡ x + sen ⁡ x
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Passo 1

  1. O período do cosseno é sempre 2 π , então chamamos x de T e igualamos seu argumento a esse valor:
  2. x = T = 2 π

    Só isso mesmo

    Passo 2

  3. O período do cosseno é sempre 2 π , então chamamos x de T e igualamos seu argumento a esse valor:
  4. x 2 = T 2 = 2 π ⟹ T = 4 π

    Passo 3

  5. Já para a tangente, o período é sempre π , então chamamos x de T e igualamos seu argumento a esse valor:
  6. x = T = π

    Passo 4

  7. O período do cosseno é sempre 2 π , então chamamos x de T e igualamos seu argumento a esse valor, mas cuidado, aqui, o π / 3 indica somente que a função está deslocada π / 3 unidades para a direita e isso, portanto, não afetará seu período, que continua:
  8. x = T = 2 π

    Passo 5

  9. Na soma de seno e cosseno, o período continua sendo 2 π e, portanto:

x = T = 2 π

Resposta

  1. T = 2 π
  2. T = 4 π
  3. T = π
  4. T = 2 π
  5. T = 2 π

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Simplifique a função abaixo:

f x = s e n x 1 - cos 2 ⁡ ( x )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Relembrando, sabemos que a Equação Fundamental   da Trigonometria nos diz:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1

Isolando o s e n ² ( x ) , teremos:

s e n 2 x = 1 - c o s ² ( x )

Opa! Acabamos de ver uma relação para expressão do nosso denominador.

Passo 2

Passando a raiz dos dois lados, teremos:

s e n x = 1 - c o s ² ( x )

Agora sim, substituindo lá, teremos:

f x = s e n x 1 - cos 2 ⁡ ( x ) = s e n x s e n ( x ) = 1

Porém a função só está definida para valores de x ≠ k π [para k = 0,1 , 2 , … ] pois nesses valores s e n x = 0 e teríamos uma indeterminação.

Resposta

f x = 1   , s e   x ≠ k π   [ p a r a   k = 0,1 , 2 , … ]  

Exercício Resolvido #3

UFRGS 2018

Um ponto A que se movimenta sobre uma circunferência, tem sua posição p ( t ) considerada na vertical, no instante t descrita pela relação p t = 100 - 20 s e n ( t ) para t ≥ 0 . Nesse caso, a medida do diâmetro dessa circunferência é:

a) 30

b) 40

c) 50

d) 80

e) 120

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Passo 1

Bom, ele deu a equação da posição vertical. Vamos ver o que conseguimos fazer com isso?

Lembra que a função seno pode assumir + 1 como valor máximo e - 1 como valor mínimo?

Vamos usar esse mesmo raciocínio aqui!

O valor máximo da posição vertical vai ser quando o seno for mínimo. Ou seja:

p m á x = 100 + 20 = 120

Do mesmo jeito, a posição vertical vai ser mínima quando o seno for máximo:

p m í n = 100 - 20 = 80

Passo 2

Beleza, mas o que podemos fazer com essa informação?

Esse ponto A que ele tá falando no enunciado tá se movimentando de acordo com uma função trigonométrica, assumindo valores sempre maiores que 80 e menores que 120.

E como a função é PERIÓDICA, ele fica repetindo esse movimento de vai-e-vem, descrevendo uma circunferência (como disse o enunciado).

Aí que vem o pulo do gato!

Se o ponto A está descrevendo uma circunferência, e sua posição varia entre 80   e   120 , o que ele vai estar fazendo é isso aqui:

E o diâmetro vai ser dado por:

d = 120 - 80 = 40

Ou seja, d = 40 . LETRA B

Resposta

Letra B

Exercício Resolvido #4

Ueg 2019 (Adaptada)

Quais são os valores de x , sendo 0 ≤ x ≤ 2 π , para os quais as funções f x = s e n   x e g x = cos ⁡ x se interceptam?

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Passo 1

Vamos lá, as nossas duas funções vão se interceptar quando

f x = g x

Ou seja

s e n   x = cos ⁡ x

Vamos melhorar isso passando o cos ⁡ x   para o outro lado dividindo, assim ó

s e n   x cos ⁡ x = 1

Passo 2

Agora basta lembrarmos que s e n   x cos ⁡ x = t g   x . Então, teremos:

t g   x = 1

Basta pegarmos então os valores para os quais a t g   x   será igual a 1. Teremos esses valores para.

x = 45 °   o u   x = 225 °

Escrevendo isso em radianos, pra ficar padrão... teremos:

x = π 4 r a d     o u     x = 5 π 4 r a d

Resposta

x = π 4 r a d     o u     x = 5 π 4 r a d

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

A figura mostra o gráfico da função f, dada pela lei

f x = s e n x + c o s x 2 - s e n x - c o s x 2

Qual o valor de a e b indicados no eixo x?

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Passo 1

Acho que você concorda comigo que essa função não está nada amigável e receptiva, está bem complicado de chegarmos a alguma conclusão sobre ela.

Vamos tentar simplificar?

f x = s e n x + c o s x 2 - s e n x - c o s x 2

Fazendo esses produtos notáveis, temos

f x = s e n ² x + 2 . s e n x . c o s x + c o s ² x - ( s e n ² x - 2 . s e n x . c o s x + c o s ² x )

f x = s e n ² x + 2 . s e n x . c o s x + c o s ² x - s e n 2 x + 2 . s e n x . c o s x - c o s ² x

f x = 2 . s e n x . c o s x + 2 . s e n x . c o s x

f x = 4 . s e n x . c o s x

Beeeem mais bonitinha, né? =D

Passo 2

Beleza, agora precisamos ver os pontos do primeiro quadrante que terão o y = 3 , como nos mostra o enunciado. Basta igualarmos a nossa função a 3 . Fica assim ó:

4 . s e n x . c o s x = 3

Dividindo os dois lados por 2, temos:

2 . s e n x . c o s x = 3 2

Tá, mas no que isso adianta a gente?

A expressão que está ao lado esquerdo é igual ao seno de um arco duplo, portanto, teremos:

s e n 2 x = 3 2

Agora, pensa comigo no seguinte, quais são os valores que tem como o seno o   3 2 ?

O seno de 60° e o de 120° graus, por estarem no 1º e 2º quadrantes, são positivos.

60 ° = π 3   e   120 ° = 2 π 3

Ou seja, teremos:

2 x =   π 3   o u   2 x = 2 π 3

Concluimos então que

x = π 6   o u   x = π 3

Resposta

a   = π 6     e   b   = π 3

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