Responde Aí

Inequações produto-quociente

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Quando falamos sobre as inequações polinomiais, vimos que a gente tinha um passo a passo bem definido do que fazer:

  1. Isole todos os termos da inequação em um único lado;
  2. Ache as raízes da equação correspondente
  3. Esboce o gráfico e veja quais regiões satisfazem a condição da inequação ou teste valores nos intervalos formados pelas raízes.

Show, vimos o que fazer com inequações polinomiais, principalmente as do 1º e 2º grau, mas e se estivermos fazendo o produto ou o quociente de mais de uma equação?

É isso que vamos ver agora, simbora?

Inequações produto

Esse tipo de inequação ocorre quando temos um produto entre funções que sabemos fazer a análise de sinais.

Digamos que a inequação seja:

3 - x x + 3 ≥ 0

Temos uma inequação que é um produto de duas funções de 1 º grau.

O primeiro binômio é o ( 3 - x ) e o segundo é ( x + 3 ) .

Utilizando o que nós acabamos de aprender, podemos construir uma tabela de sinais para cada uma dessas funções, fazendo a respectiva análise do sinal de cada uma delas.

Vamos olhar a primeira função 3 - x , sua raiz será:

3 - x = 0 → x = 3

Como o x é negativo, a função é decrescente e será positiva, antes da raiz e negativa, depois. Temos então o seguinte gráfico:

Já para a segunda parte, teremos como raiz:

x + 3 = 0 → x = - 3

Como aqui o x é positivo, a função é crescente e tem valores negativos antes da raiz, e positivos depois! Ficamos então com o seguinte gráfico:

Agora, temos que juntar as duas partes, para isso vamos fazer o quadro de sinais:

Vamos entender como construímos esse quadro! Olhando para a primeira coluna, temos na primeira linha, a função que vamos analisar o sinal e nas linhas seguintes, as expressões que compõem essa função.

Nas demais células vamos colocar o sinal de cada função nos intervalos correspondentes. As células a esquerda de - 3 , indicam valores de x menores que este número. As células entre - 3 e 3 indicam valores nesse intervalo e as células a direita de 3 indicam valores maiores que 3 .

Foram escolhidos - 3 e 3 não por acaso. Sempre escolhemos as raízes da função que estamos querendo analisar.

Vamos colocar os sinais da primeira função, que é positiva quando x é menor que 3 e depois é negativa:

Agora, para a segunda parte, temos valores negativos antes de - 3 e positivos depois:

Como nossa inequação é a multiplicação das duas partes que analisamos, para achar o sinal da inequação nos intervalos, vamos multiplicar os sinais de cada uma dessas partes!

Lembrando que é importantíssimo respeitar as regrinhas dos sinais para produto e quociente:

  • Sinais iguais →   +
  • Sinais diferentes   →   -

Temos então, sinal positivo para a inequação no intervalo do meio, onde os sinais são iguais, e para x < - 3 e x > 3 , temos o sinal negativo, já que os sinais de cada parte são diferentes:

E é isso aí! Como queríamos resolver a inequação:

3 - x x + 3 ≥ 0

Olhando a tabela, temos que a solução será a parte positiva:

- 3 ≤ x ≤ 3

Além disso, como queremos saber os valores maiores ou iguais a zero na inequação, colocamos o intervalo com ≤   (menor ou igual) para incluir as raízes, que são os valores onde a inequação será igual a zero!

Show? É basicamente isso.

Inequações quociente

Quando você tiver inequações com quocientes, usamos a mesma lógica da seção anterior, a mesma tabela, o mesmo esquema igualzinho!

Por exemplo, para a inequação abaixo:

3 - x x + 3 ≥ 0

A solução é quase a mesma que nós acabamos de encontrar para 3 - x x + 3 ≥ 0 , já que as duas inequações são formadas pelas mesmas partes.

A única diferença é que você tem que tirar o x que faz o denominador dar 0! No caso, x = - 3 .

Seguimos a mesma lógica no nosso quadro de sinais, lembrando que nossas regrinhas de sinais valem tanto pro produto, quanto pro quociente!

Por isso, chegamos no mesmo intervalo, só precisamos então excluir o x = - 3 da resposta, pra isso mudamos de (menor ou igual) para < (menor apenas):

- 3 < x ≤ 3

Prontinho! Com isso, conseguimos resolver inequações produto e quociente!

Inequações quociente

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine o conjunto solução que satisfaz a desigualdade x 2 > 4 .

Passo 1

Primeiro vamos arrumar a desigualdade, para ficar com a cara que você viu na teoria.

x 2 - 4 > 0

Passo 2

Agora surge a diferença de quadrados, que você conhece muito bem. Basta resolver-la para encontrar os monômios, ou seja, um polinômio de grau 1, que é uma função do 1º grau.

x 2 - 2 2 > 0

x - 2 ⋅ x + 2 > 0

Passo 3

Vamos usar o macete da tabela para analisar os sinais:

Agora temos o intervalo em que a desigualdade x 2 - 4 > 0 é positiva e o intervalo em que ela será negativa. Como queremos positiva, temos:

Resposta

x < - 2     e     x > 2 ,       ou       S =   ] - ∞ , - 2 [       ∪       ] 2 , ∞ [

Exercício Resolvido #2

Resolva a inequação:

2 x - 1 2 < 16

Passo 1

Beleza, primeiramente vamos distribuir o termo elevado ao quadrado:

2 x - 1 2 = 4 x 2 - 4 x + 1

Substituindo, temos:

2 x - 1 2 < 16 → 4 x 2 - 4 x + 1 < 16

Jogando tudo para o mesmo lado sem pudor algum:

4 x 2 - 4 x - 15 < 0

Opa, temos uma inequação de segundo grau limpinha agora!

Passo 2

Vamos achar as raízes, para então fazer o estudo do sinal:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = 4 ± 16 - 4 ⋅ ( 4 ) ( - 15 ) 2 ⋅ 4 = 4 ± 16 + 16 ⋅ 15 8 = 4 ± 16 8 = 1 ± 4 2

Logo:

x 1 = 5 2 x 2 = - 3 2

Passo 3

A partir disso, dividimos o domínio em intervalos limitados pelas raízes e testamos o sinal, que só muda quando passa na raiz, ou seja, podemos escolher qualquer valor nos intervalos gerados que garantiremos que o sinal não muda naquele intervalo. Eles serão:

- ∞ , - 3 2 - 3 2 , 5 2 5 2 ,   ∞

Para o primeiro intervalo, podemos escolher x = - 3 :

4 - 3 2 - 4 - 3 - 15 = 33 > 0

Logo, ela é positiva nesse intervalo.

Para o segundo, podemos escolher o x = 0 :

4 0 2 - 4 0 - 15 = - 15 < 0

Logo, ela é negativa nesse intervalo.

Para o terceiro, podemos escolher x = 5 :

4 5 2 - 4 5 - 15 = 65 > 0

Logo, ela é positiva nesse intervalo.

Passo 4

Voltando a inequação do problema, temos:

2 x - 1 2 < 16 → 4 x 2 - 4 x - 15 < 0

Queremos, portanto, o intervalo com valor negativo da expressão, ou seja:

- 3 2 , 5 2

A solução será, portanto:

x ∈ - 3 2 , 5 2

Resposta

x ∈ - 3 2 , 5 2

Exercício Resolvido #3

Resolva a inequação:

x + 1 x > 2

Passo 1

Vamos primeiro juntar tudo num mesmo lado:

x + 1 x - 2 > 0

Agora, vamos deixar tudo no mesmo denominador:

x 2 - 2 x + 1 x > 0 → x - 1 2 x > 0

Passo 2

Como o numerador está ao quadrado, o seu sinal vai ser sempre positivo, dessa forma, o sinal da expressão vai depender do denominador, que é positivo para x > 0 e negativo do contrário.

Com isso, como queremos:

x - 1 2 x > 0

A solução será:

x ∈ x > 0 x ≠ 1 }

x ≠ 1 , pois nesse ponto o numerador zera e a expressão também, o que não satisfaz a desigualdade proposta, que cobra um valor maior que zero.

Resposta

x ∈ x > 0 x ≠ 1 }

Exercício Resolvido #4

Qual a solução da inequação abaixo?

3 - x 2 x + 4 x + 1 < 0

Passo 1

Vamo que vamo!

Para início de conversa, vamos estudar o sinal da função:

f x = 3 - x 2 x + 4 x + 1

Depois, iremos ver para que intervalo do domínio, f x < 0

Só que, antes, teremos que definir o domínio de f ( x ) .

Passo 2

A única restrição ao domínio de f x é o denominador, já que a função não apresenta raízes, nem logaritmos, nem nada. Vamos olhar para o denominador:

x + 1 ≠ 0 → x ≠ - 1

Passo 3

Hora de analisar o sinal da função. Repare que a função já está toda fatorada em monômios do primeiro grau: 3 - x ,   2 x + 4 ,   ( x + 1 ) .

Vamos analisar o sinal desses monômios separadamente e depois usar a tabelinha. Para analisar, basta achar as raízes e ver se a função é crescente ou decrescente.

Analisando ( 3 - x ) :

3 - x = 0 → x = 3

A função é decrescente, então, é positiva antes de 3 e negativa depois de 3 .

Analisando ( 2 x + 4 ) :

2 x + 4 = 0 → x = - 2

A função é crescente, então, é negativa antes de - 2 e positiva depois de - 2 .

Analisando ( x + 1 ) :

x + 1 = 0 → x = - 1

A função é crescente, então, é negativa antes de - 1 e positiva depois de - 1 .

Passo 4

Hora de usar a tabelinha!

Repare que representei com bolinhas fechadas as raízes (zeros da função) que pertencem ao domínio e com bolinhas abertas, as raízes que não pertencem ao domínio.

Resposta

Como queremos f x < 0 , o intervalo solução é:

( - 2 , - 1 ) ∪ ( 3 , + ∞ )

Exercício Resolvido #5

Resolva:

x 2 - 1 x 2 - x > 0

Passo 1

Temos aí dois produtos que mudam de sinal. Vamos pegar as raízes deles, marcar e tabela e estudar o sinal.

x 2 - 1 = 0 → x = ± 1

x 2 - x = 0 → x x - 1 = 0 →   x 1 = 0 x 2 = 1

Passo 2

A partir desses valores, montamos uma tabela marota:

Agora colocamos o sinal em cada intervalo:

E fazemos o estudo do sinal para determinar quão sinal da expressão de interesse:

Passo 3

Como queremos que: x 2 - 1 x 2 - x > 0

Então podemos pensar que a solução será a união dos intervalos positivos da tabela: S = x ∈ R :   x < - 1   o u   x > 0

Só que tem um detalhe bem importante! Lembra que lá atrás vimos 3 valores que anulam o produto x 2 - 1 x 2 - x ? Esses valores eram:

x = - 1 ,   x = 0     e     x = 1

Repara que a solução que achamos, x < - 1 ou x > 0 , inclui x = 1 . Sendo que, como acabamos de ver, esse x = 1 não pode ser solução da inequação, pois

x 2 - 1 x 2 - x = 0 ,     x = 1

Portanto, a solução da inequação é:

S = x ∈ R - 1 :   x < - 1   o u   x > 0

Ou, se você preferir:

S = - ∞ ,   - 1 ∪ 0 ,   1 ∪ 1 ,   + ∞

Resposta

S = - ∞ ,   - 1 ∪ 0 ,   1 ∪ 1 ,   + ∞

Exercício Resolvido #6

Resolva:

1 x - 1 < 2 x - 2

Passo 1

Vamos lá. Lembre-se primeiro que não podemos usar produto cruzado aqui, portanto, vamos jogar tudo no mesmo lado:

1 x - 1 < 2 x - 2 → 1 x - 1 - 2 x - 2 < 0

Juntando tudo no mesmo denominador:

x - 2 - 2 ( x - 1 ) ( x - 1 ) ( x - 2 ) < 0 → x - 2 - 2 x + 2 ( x - 1 ) ( x - 2 ) < 0 → - x ( x - 1 ) ( x - 2 ) < 0

Passo 2

Agora, pegamos as expressões relevantes, marcamos seus zeros e fazemos uma tabela de sinais:

Agora, fazendo estudo do sinais, vemos o sinal da expressão:

Como queremos:

- x ( x - 1 ) ( x - 2 ) < 0

Pegamos os valores negativos e, portanto, a solução é:

S = x ∈ R   |   0 < x < 1   o u   x > 2

Resposta

S = x ∈ R   |   0 < x < 1   o u   x > 2

Exercício Resolvido #7

Resolva a inequação a seguir e apresente o quadro de sinais e os possíveis valores de x.

3 x + 2 x - 1 4 > 0

Passo 1

Vamos lá!! Temos nessa questão uma inequação envolvendo um produto:

f x g x > 0

Onde f x = 3 x + 2   e g x = x - 1 4

Vamos encontrar as raízes deles e montar a tabelinha marota!

Passo 2

Analisando f x = 3 x + 2 , temos

3 x + 2 = 0

3 x = - 2

x = - 2 3

Visualmente teremos

Analisando g x = x - 1 4 , temos

x - 1 4 = 0

x = 1 4

O esboço seria

Beleza?!

Passo 3

A partir desses valores, vamos montar a tabelinha para estudar os sinais:

Agora fazendo o estudo dos sinais, teremos

Como queremos

3 x + 2 x - 1 4 > 0

Vamos selecionar os intervalos aonde o sinal é positivo! Assim, nosso conjunto solução é

S = x ∈ R | x < - 2 3   o u   x > 1 4

Resposta

S = x ∈ R | x < - 2 3   o u   x > 1 4

Exercício Resolvido #8

O conjunto solução da inequação abaixo é

2 x - 4 x + 2 4 x - 16 > 0

  1. S = x ∈ R | - 2 > x > 2   o u   x > 4
  2. S = x ∈ R | - 2 < x < 2   o u   x > 4
  3. S = x ∈ R | x > 2  
  4. S = x ∈ R | x < - 2

Passo 1

Vamos lá!! Temos nessa questão uma inequação envolvendo um produto e um quociente:

f x g x h ( x ) > 0

Onde

f x = 2 x - 4

g x = x + 2

E

h x = 4 x - 16

Vamos encontrar as raízes de cada uma dessas funções e montar a tabelinha marota para estudar os sinais?!

Passo 2

Vamos encontrar as raízes de cada uma das funções!

Analisando f x = 2 x - 4 , temos

2 x - 4 = 0

Passando o 4 para o lado direito da igualdade

2 x = 4

Dividindo ambos os lados da igualdade por 2

x = 2

Visualmente teremos

Agora vamos encontrar a raíz de g x = x + 2

x + 2 = 0

Passando o 2 para o outro lado, temos

x = - 2

O esboço seria

E por fim, vamos encontrar a raíz da h x = 4 x - 16

4 x - 16 = 0

Passando o 16 para o lado direito da igualdade, temos

4 x = 16

Dividindo tudo por 4

x = 16 4

x = 4

Visualmente, teríamos

Beleza?!

Passo 3

A partir desses valores, vamos montar a tabelinha para estudar os sinais:

Agora fazendo o estudo dos sinais, teremos

Como queremos

2 x - 4 x + 2 4 x - 16 > 0

Vamos selecionar os intervalos aonde o sinal é positivo! Assim, nosso conjunto solução é

S = x ∈ R | - 2 < x < 2   o u   x > 4

Resposta

L e t r a   B

Exercício Resolvido #9

Resolva a inequação a seguir e apresente o quadro de sinais e os possíveis valores de x.

x 2 - 3 x - 4 x - 2 < 0

Passo 1

Vamos lá!! Temos nessa questão uma inequação envolvendo um produto entre termos:

f x g x < 0

Onde

f x = x 2 - 3 x - 4

g x = x - 2

Vamos encontrar as raízes de cada uma dessas funções e montar a tabelinha marota para estudar os sinais?!

Passo 2

Vamos encontrar as raízes de cada uma das funções!

Para encontrarmos as raízes da equação

x 2 - 3 x - 4 = 0

Utilizaremos a fórmula de Bhaskara

x = - b ± ∆ 2 a

Beleza?!

Primeira coisa que precisamos fazer é identificar quem é o a , b e c . Lembra da carinha da nossa equação do 2º grau? Ela tem essa carinha aqui

a x 2 + b x + c = 0

Então, comparando com a nossa equação

x 2 - 3 x - 4 = 0

Conseguimos encontrar os valores de a , b e c :

a = 1

b = - 3

c = - 4

Beleza?! Agora vamos utilizar esses valores para encontrar o :

∆ = b 2 - 4 a c

Substituindo os valores a = 1 , b = - 3 e c = - 4 , temos

∆ = - 3 2 - 4 1 - 4

Fazendo as continhas, temos

∆ = 9 + 16

∆ = 25

Agora podemos substituir o valor de ∆ = 25 e os demais valores na fórmula de Bhaskara:

x = - - 3 ± 25 2 1

x = 3 ± 5 2

Teremos então duas raízes:

x 1 = 3 + 5 2 = 8 2 = 4

E

x 2 = 3 - 5 2 = - 2 2 = - 1

Portanto, as raízes da equação são 4 e - 1 !

Visualmente, teríamos

Beleeeza?!

Passo 3

Agora precisamos encontrar a raíz da função

g x = x - 2

Para isso, iremos igualar a função a 0

x - 2 = 0

E passar o - 2 para o outro lado

x = 2

O esboço seria

Passo 4

A partir desses valores, vamos montar a tabelinha para estudar os sinais:

Agora fazendo o estudo dos sinais, teremos

Como queremos

x 2 - 3 x - 4 x - 2 < 0

Vamos selecionar os intervalos aonde o sinal é positivo! Assim, nosso conjunto solução é

S = x ∈ R | x < - 1   o u   2 < x < 4

Resposta

S = x ∈ R | x < - 1   o u   2 < x < 4

Exercício Resolvido #10

A solução da inequação abaixo é:

3 x - 12 - 2 x + 5 > 0

  1. S = x ∈ R | 5 2 < x < 4
  2. S = x ∈ R | x > 4
  3. S = x ∈ R | x < 5 2
  4. S = x ∈ R | x < 5 2   o u   x > 4  

Passo 1

Vamos lá!! Temos nessa questão uma inequação envolvendo um produto:

f x g x > 0

Onde f x = 3 x - 12   e g x = - 2 x + 5

Vamos encontrar as raízes deles e montar a tabelinha marota!

Passo 2

Analisando f x = 3 x - 12   , temos

3 x - 12   = 0

3 x = 12

x = 12 3 = 4

Visualmente teremos

Analisando g x = - 2 x + 5 , temos

- 2 x + 5 = 0

5 = 2 x

x = 5 2

O esboço seria

Beleza?!

Passo 3

A partir desses valores, vamos montar a tabelinha para estudar os sinais:

Agora fazendo o estudo dos sinais, teremos

Como queremos

3 x - 12 - 2 x + 5 > 0

Vamos selecionar os intervalos aonde o sinal é positivo! Assim, nosso conjunto solução é

S = x ∈ R | 5 2 < x < 4

Resposta

Letra A

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar:Se 0ab , então a ba + b 2 .
Use um gráfico para encontrar um número δ tal que se 5x5 + δ