Inequações produto-quociente

Teoria Completa

Quando falamos sobre as inequações polinomiais, vimos que a gente tinha praticamente uma receita de bolo, um passo a passo do que fazer:

  1. Isole todos os termos da inequação em um único lado;
  2. Ache as raízes da equação correspondente
  3. Esboce o gráfico e veja quais regiões satisfazem a condição da inequação ou teste valores nos intervalos formados pelas raízes.

Show, mas vimos o que fazer com inequações polinomiais, principalmente as do 1º e 2º grau, mas e se estivermos fazendo o produto ou o quociente de mais de uma equação? Como podemos fazer o inequações para graus maiores?

É isso que vamos ver agora, simbora?

Inequações produto

Esse tipo de inequação ocorre quando temos um produto ou divisão entre funções que sabemos fazer a análise de sinais.

Digamos que a inequação seja:

3 - x x + 3 0

Temos uma inequação que é um produto de duas funções de 1 º grau.

O primeiro binômio é o ( 3 - x ) e o segundo é ( x + 3 ) .

Utilizando o que nós acabamos de aprender, podemos construir uma tabela de sinais para cada uma dessas funções, fazendo a respectiva análise do sinal de cada uma.

Vamos olhar a primeira função 3 - x , olhando o gráfico e já colocando a análise dos sinais, vamos ter

Fazendo a mesma coisa para o outro monômio:

Agora temos que juntar os dois, para isso vamos fazer o quadro de sinais.

Esse é o quadro de sinais. Na primeira linha e primeira coluna, deixamos a função que vamos analisar o sinal. Nas linhas seguintes, para a primeira coluna, escrevemos as expressões que compõem essa função.

As demais células representam o sinal nos intervalos. A célula a direita de - 3 , indica valores maiores que este número. A célula entre - 3 e 3 indica valores nesse intervalo e a célula a direita de 3 indica valores maiores que 3 .

Foram escolhidos - 3 e 3 não por acaso. São sempre as raízes da função que estamos querendo analisar.

Vamos colocar os sinais da primeira função:

Agora com a outra:

Beleza, agora achar o sinal da inequação é fácil. Basta respeitar as regrinhas do produto e do quociente:

  • Sinais iguais   +
  • Sinais diferentes     -

Preenchendo, temos:

E é isso aí! Como queríamos resolver a inequação:

3 - x x + 3 0

Olhando a tabela, temos que a solução é a parte que é positiva:

- 3 x 3

Show? É basicamente isso.

Inequações quociente

Quando você tiver inequações com quocientes, é a mesma lógica da seção anterior, a mesma tabela, o mesmo esquema igualzinho.

Você pode fingir que os quocientes são produtos. Por exemplo, a inequação abaixo:

3 - x x + 3 0

A única diferença é que você tem que tirar o x que faz o denominador dar 0! No caso, x - 3 .

Logo, a solução tem quase a mesma resposta da que nós acabamos de resolver para x + 3 x - 3 0 , pois são as mesmas funções de 1 º grau, mas o - 3 não está incluso, já que deixaria o denominador igual a 0 .

Assim, a resposta é:

- 3 < x 3

Obs.: Basta seguir a mesma lógica do nosso quadro de sinais

Beleza, mas quando não tá tudo isolado, bonitinho? Aí, jovem você vai ter que ter cuidado. Na inequação: 1 x - 2 5 x - 1

E agora, como faz?

Podes ficar atentando a fazer o produto cruzado, multiplicando denominador de um lado com numerador de outro e vice-versa, como é feito nas equações, mas isso está errado!

Para inequações, temos que jogar tudo para um mesmo lado e fazer M.M.C.:

1 x - 2 - 5 x - 1 0 x - 1 - 5 x + 10 x - 2 x - 1 0

- 4 x + 9 x - 2 x - 1 0

Agora sim, podemos construir a tabela de sinais.

Essa parte de produto e quociente, vai ser muito útil quando estivermos trabalhando com equações de graus maiores(3º e 4º grau, por exemplo). Se tivermos por exemplo:

x 3 - x 2 - 2 x > 0

Podemos reescrever essa expressão como:

x x 2 - x - 2 > 0

Aí sim, fica beeem mais amigável! Fatorar sempre é uma ótima opção!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine o conjunto solução que satisfaz a desigualdade x 2 > 4 .

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Passo 1

Primeiro vamos arrumar a desigualdade, para ficar com a cara que você viu na teoria.

x 2 - 4 > 0

Passo 2

Agora surge a diferença de quadrados, que você conhece muito bem. Basta resolver-la para encontrar os monômios, ou seja, um polinômio de grau 1, que é uma função do 1º grau.

x 2 - 2 2 > 0

x - 2 x + 2 > 0

Passo 3

Vamos usar o macete da tabela para analisar os sinais:

Agora temos o intervalo em que a desigualdade x 2 - 4 > 0 é positiva e o intervalo em que ela será negativa. Como queremos positiva, temos:

Resposta

x < - 2     e     x > 2 ,       ou       S =   ] - , - 2 [             ] 2 , [

Exercício Resolvido #2

UFF, Cálculo IA-Lista 1, GMA, 2008-1, 8

Resolva a inequação:

2 x - 1 2 < 16

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Passo 1

Beleza, primeiramente vamos distribuir o termo elevado ao quadrado:

2 x - 1 2 = 4 x 2 - 2 x + 1

Substituindo, temos:

2 x - 1 2 < 16 4 x 2 - 4 x + 1 < 16

Jogando tudo para o mesmo lado sem pudor algum:

4 x 2 - 4 x - 15 < 0

Opa, temos uma inequação de segundo grau limpinha agora!

Passo 2

Vamos achar as raízes, para então fazer o estudo do sinal:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = 4 ± 16 - 4 ( 4 ) ( - 15 ) 2 4 = 4 ± 16 + 16 15 8 = 4 ± 16 8 = 1 ± 4 2

Logo:

x 1 = 5 2 x 2 = - 3 2

Passo 3

A partir disso, dividimos o domínio em intervalos limitados pelas raízes e testamos o sinal, que só muda quando passa na raiz, ou seja, podemos escolher qualquer valor nos intervalos gerados que garantiremos que o sinal não muda naquele intervalo. Eles serão:

- , - 3 2 - 3 2 , 5 2 5 2 ,  

Para o primeiro intervalo, podemos escolher x = - 3 :

4 - 3 2 - 4 - 3 - 15 = 33 > 0

Logo, ela é positiva nesse intervalo.

Para o segundo, podemos escolher o x = 0 :

4 0 2 - 4 0 - 15 = - 15 < 0

Logo, ela é negativa nesse intervalo.

Para o terceiro, podemos escolher x = 5 :

4 5 2 - 4 5 - 15 = 65 > 0

Logo, ela é positiva nesse intervalo.

Passo 4

Voltando a inequação do problema, temos:

2 x - 1 2 < 16 4 x 2 - 4 x - 15 < 0

Queremos, portanto, o intervalo com valor negativo da expressão, ou seja:

- 3 2 , 5 2

A solução será, portanto:

x - 3 2 , 5 2

Resposta

x - 3 2 , 5 2

Exercício Resolvido #3

UFF, Cálculo IA-Lista 1, GMA, 2008-1, 9

Resolva a inequação:

x + 1 x > 2

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Passo 1

Vamos primeiro juntar tudo num mesmo lado:

x + 1 x - 2 > 0

Agora, vamos deixar tudo no mesmo denominador:

x 2 - 2 x + 1 x > 0 x - 1 2 x > 0

Passo 2

Como o numerador está ao quadrado, o seu sinal vai ser sempre positivo, dessa forma, o sinal da expressão vai depender do denominador, que é positivo para x > 0 e negativo do contrário.

Com isso, como queremos:

x - 1 2 x > 0

A solução será:

x x > 0 x 1 }

x 1 , pois nesse ponto o numerador zera e a expressão também, o que não satisfaz a desigualdade proposta, que cobra um valor maior que zero.

Resposta

x x > 0 x 1 }

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Qual a solução da inequação abaixo?

3 - x 2 x + 4 x + 1 < 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamo que vamo!

Para início de conversa, vamos estudar o sinal da função:

f x = 3 - x 2 x + 4 x + 1

Depois, iremos ver para que intervalo do domínio, f x < 0

Só que, antes, teremos que definir o domínio de f ( x ) .

Passo 2

A única restrição ao domínio de f x é o denominador, já que a função não apresenta raízes, nem logaritmos, nem nada. Vamos olhar para o denominador:

x + 1 0 x - 1

Passo 3

Hora de analisar o sinal da função. Repare que a função já está toda fatorada em monômios do primeiro grau: 3 - x ,   2 x + 4 ,   ( x + 1 ) .

Vamos analisar o sinal desses monômios separadamente e depois usar a tabelinha. Para analisar, basta achar as raízes e ver se a função é crescente ou decrescente.

Analisando ( 3 - x ) :

3 - x = 0 x = 3

A função é decrescente, então, é positiva antes de 3 e negativa depois de 3 .

Analisando ( 2 x + 4 ) :

2 x + 4 = 0 x = - 2

A função é crescente, então, é negativa antes de - 2 e positiva depois de - 2 .

Analisando ( x + 1 ) :

x + 1 = 0 x = - 1

A função é crescente, então, é negativa antes de - 1 e positiva depois de - 1 .

Passo 4

Hora de usar a tabelinha!

Repare que representei com bolinhas fechadas as raízes (zeros da função) que pertencem ao domínio e com bolinhas abertas, as raízes que não pertencem ao domínio.

Resposta

Como queremos f x < 0 , o intervalo solução é:

( - 2 , - 1 ) ( 3 , + )

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Resolva:

x 2 - 1 x 2 - x > 0

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Passo 1

Temos aí dois produtos que mudam de sinal. Vamos pegar as raízes deles, marcar e tabela e estudar o sinal.

x 2 - 1 = 0 x = ± 1

x 2 - x = 0 x x - 1 = 0   x 1 = 0 x 2 = 1

Passo 2

A partir desses valores, montamos uma tabela marota:

Agora colocamos o sinal em cada intervalo:

E fazemos o estudo do sinal para determinar quão sinal da expressão de interesse:

Passo 3

Como queremos que: x 2 - 1 x 2 - x > 0

Então podemos pensar que a solução será a união dos intervalos positivos da tabela: S = x R :   x < - 1   o u   x > 0

Só que tem um detalhe bem importante! Lembra que lá atrás vimos 3 valores que anulam o produto x 2 - 1 x 2 - x ? Esses valores eram:

x = - 1 ,   x = 0     e     x = 1

Repara que a solução que achamos, x < - 1 ou x > 0 , inclui x = 1 . Sendo que, como acabamos de ver, esse x = 1 não pode ser solução da inequação, pois

x 2 - 1 x 2 - x = 0 ,     x = 1

Portanto, a solução da inequação é:

S = x R - 1 :   x < - 1   o u   x > 0

Ou, se você preferir:

S = - ,   - 1 0 ,   1 1 ,   +

Resposta

S = - ,   - 1 0 ,   1 1 ,   +

Exercício Resolvido #6

Elaboração Própria

Resolva:

1 x - 1 < 2 x - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lá. Lembre-se primeiro que não podemos usar produto cruzado aqui, portanto, vamos jogar tudo no mesmo lado:

1 x - 1 < 2 x - 2 1 x - 1 - 2 x - 2 < 0

Juntando tudo no mesmo denominador:

x - 2 - 2 ( x - 1 ) ( x - 1 ) ( x - 2 ) < 0 x - 2 - 2 x + 2 ( x - 1 ) ( x - 2 ) < 0 - x ( x - 1 ) ( x - 2 ) < 0

Passo 2

Agora, pegamos as expressões relevantes, marcamos seus zeros e fazemos uma tabela de sinais:

Agora, fazendo estudo do sinais, vemos o sinal da expressão:

Como queremos:

- x ( x - 1 ) ( x - 2 ) < 0

Pegamos os valores negativos e, portanto, a solução é:

S = x R   |   0 < x < 1   o u   x > 2

Resposta

S = x R   |   0 < x < 1   o u   x > 2

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