Limite de uma Sequência

Teoria Completa

Certo, agora que você já sabe o que são sequências, vamos estudá-las um pouco mais a fundo. Suponhamos que em algum momento vamos querer qual é o último termo dessa sequência aqui (se é que ele existe):

1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , … , n n + 1 , …

OBS: Já sabemos que essa sequência pode ser representada “condensadamente” dessa forma aqui:

n n + 1 n = 1 ∞

Se a sequência não fosse até o infinito, mas até n = 1817918 , seria fácil porque só precisaria colocar esse n na fórmula do termo geral:

1817918 1817919 =

0,99999944

Para a nossa alegria, n vai para infinito. Ficou difícil né? Se você for olhando os números conforme eu vou aumentando o n você poderia chutar que o último termo seria 1.

Sabe quem vai nos ajudar aqui? O nosso velho amigo de guerra o limite! Eu não vou aumentando os valores de n ? Então vou tomar o limite no infinito. Vem comigo

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ n n + 1 = 1

Ótimo, achamos um número! Quando a gente faz esse limite do termo geral com n indo para infinito a gente tá vendo se a sequência é convergente (quando o limite existe e vale um número) ou divergente (quando o limite não existe e estoura para o infinito). A nossa sequência do exemplo é, portanto, convergente!

Então o último termo da sequência é 1!! Cuidado, jovem gafanhoto apressado, essa sequência não tem o número 1. O que acontece é que os números da sequência vão ficando muito pertinho de 1 . Só um detalhezinho, aqui nas sequências, muitas vezes, a gente omite a parte n → ∞ , na verdade, ela fica implícita e a gente só escreve l i m ⁡ a n .

VOCÊ: “Pô! suave, eu já sei tudo sobre limites!”

Gafanhoto, você sabe muito sobre limite de funções! Aqui temos limite de uma sequência. Será que é tudo igual? Vem comigo que eu vou te mostrar a diferença e você vai entender!

Sequência versus Função

Para as sequências, n só pode assumir números inteiros. Enquanto isso, uma função está definida em um intervalo contínuo. Veja a figura abaixo:

OBS: A gente diz que a sequência é discreta, já que ela não é contínua !

Pela figurinha, é intuitivo que, tanto a sequência (em bolinhas) como a função f ( x ) (a curva contínua) possuem limite L . Ambas vão se aproximando desse valor!

Isso quer dizer que, se uma função f ( x ) coincide com uma sequência em todos os valores inteiros de n , então, o limite da sequência é igual ao da função. Dessa forma, podemos calcular o limite da sequência usando aqueles métodos que conhecemos para funções.

Por exemplo, o próprio limite que calculamos intuitivamente no início, pode ser aproximado por uma função f x :

n n + 1 n = 1 ∞         →           a n = n n + 1         →             f x = x x + 1

E agora podemos calcular o limite normalmente como já calculávamos:

lim x → ∞ ⁡ x x + 1 =

Como x ta indo para o infinito, podemos dividir todo mundo por x :

lim x → ∞ ⁡ x x x x + 1 x =

lim x → ∞ ⁡ 1 1 + 1 x =

Como 1 / x vai a 0 quando x vai ao infinito...

lim x → ∞ ⁡ 1 1 + 1 x = 1

Como nesse caso a sequência pode ser aproximada da função...

lim n → ∞ ⁡ a n = 1

Saca?

Podemos resumir tudo isso que a gente falou sobre substituir a sequência por uma função no seguinte teorema:

Se f n = a n quando n é inteiro e lim x → ∞ ⁡ f x = L , então, lim n → ∞ ⁡ a n = L .

Vamos praticar mais um pouco...

Será que essa sequência converge:

a n = e n . n . sen ⁡ 1 n

SIM! Podemos substituir essa sequencia por uma função de x :

a n = e n . n . sen ⁡ 1 n         →           f x = e x ⋅ x ⋅ sin ⁡ 1 x         →

E calcular o limite dela:

lim x → ∞ ⁡ e x ⋅ x ⋅ sin ⁡ 1 x =

Além disso, parece muito que vamos usar o limite fundamental da trigonometria, afinal podemos pegar esse produto por x e passar ele em forma de fração lembrando que 1 1 x = x :

lim x → ∞ ⁡ e x ⋅ x ⋅ sin ⁡ 1 x = lim x → ∞ ⁡ e x ⋅ sin ⁡ 1 x 1 x

Vamos fazer uma substituição:

u = 1 x

Então:

lim x → ∞ ⁡ e x ⋅ sin ⁡ 1 x 1 x = lim x → ∞ ⁡ e 1 / u ⋅ sin ⁡ u u =

lim u → 0 ⁡ e 1 u ⋅ l i m u → 0   sen ⁡ u u

Esse é o limite fundamental que nós já sabemos o valor, então:

lim u → 0 ⁡ e 1 u . l i m u → 0   sen ⁡ u u = ∞ . 1 = ∞

Logo a sequência diverge!

Observação: Se você não se lembra das regras de limite, é uma boa dar uma revisada nisso! De qualquer forma, aqui vai uma lista das principais propriedades que você pode usar:

  1. lim x → ∞ ⁡ c   f x = c lim x → ∞ ⁡ f x
  2. lim x → ∞ ⁡ ( f x + g x ) = lim x → ∞ ⁡ f x + lim x → ∞ ⁡ g x
  3. lim x → ∞ ⁡ f x ⋅ g x = lim x → ∞ ⁡ f x . lim x → ∞ ⁡ g x
  4. lim x → ∞ ⁡ f x / g x = lim x → ∞ ⁡ f x / lim x → ∞ ⁡ g x (se lim x → ∞ ⁡ g x ≠ 0 )

Inclusive, você pode usar o Teorema de L’Hoptal. A gente vai ver isso nos exercícios !

VOCÊ: “Ah, beleza! Quando a sequência pode ser aproximada por uma função, podemos aplicar todas essas regras, mas e quando que ela não pode?”

Bem, aí você tem apenas que filosofar e descobrir o limite sem aplicar regra nenhuma . Veja o exemplo:

a n = 1 n !

Essa sequência não pode ser aproximada por uma função contínua, já que não faz sentido falar de 1,69 ! por exemplo. Então... Como vamos calcular esse limite?

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 1 n ! = ?

Bem, podemos filosofar da seguinte maneira: quando n aumenta, o fatorial de n aumenta mais ainda. 1 dividido por um número muito grande é o quê? É cada vez mais próximo de 0 , certo? Então...

lim n → ∞ ⁡ 1 n ! = 0

Agora, com esses conceitos já podemos fazer muitos exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria.

Analise a convergência da sequência, no caso de convergir, calcule seu limite.

n 2 n + 3

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Passo 1

Definindo:

f x = x 2 x + 3

Temos:

f n = a n = n 2 n + 3

Passo 2

Vamos calcular o limite:

lim x → ∞ ⁡ x 2 x + 3

Lembrando que o limite do produto é o produto dos limites:

lim x → ∞ ⁡ x 2 x + 3 = lim x → ∞ ⁡ x x x + 3 =

= lim x → ∞ ⁡ x .   lim x → ∞ ⁡ x x + 3

No Segundo limite podemos fazer:

lim x → ∞ ⁡ x x + 3 = lim x → ∞ ⁡ x x . 1 1 + 3 x = 1

Substituindo:

lim x → ∞ ⁡ x .   lim x → ∞ ⁡ x x + 3 = lim x → ∞ ⁡ x .   1 = ∞

Resposta

Portanto, lim n → ∞ ⁡ a n = ∞ e a sequência diverge.

Exercício Resolvido #2

UFF - Equações - Lista 1 – 3

Mostre que se x > 0 a sequência

a n = x 1 n

É convergente.

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Passo 1

Vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:

lim n → ∞  ⁡ x 1 n = x 1 ∞ = x 0

Se tivermos x ≠ 0 então:

x 0 = 1

Isso significa que conforme o valor de n aumenta, os termos da nossa sequência vão se aproximando cada vez mais do valor 1.

Logo,essa sequência converge.

Obs: lembrando que aqui x tem que ser positivo por que temos que ter uma base positiva!

Resposta

A sequência converge

Exercício Resolvido #3

UFF - Equações - Lista 1 - 1c

Determine se a seguinte sequência possui limite

a n = n + k - n

Para algum k ∈ N fixado.

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Passo 1

Temos que fazer:

lim n → ∞ ⁡ n + k - n = ∞ - ∞

Isso é uma indeterminação. Vamos multiplicar pelo seu conjugado

lim n → ∞ ⁡ n + k - n = lim n → ∞ ⁡ n + k - n 1 n + k + n n + k + n = lim n → ∞ ⁡ n + k 2 - n 2 n + k + n =

⇒ lim n → ∞ ⁡ n + k - n n + k + n = lim n → ∞ ⁡ k n + k + n = k ∞ = 0

Logo, ele tem limite e esse limite é 0 .

Resposta

Ele tem limite e esse limite é 0 .

Exercício Resolvido #4

UNICAMP - Cálculo 3 - P3 2010.2 - 2ª

( a ) Calcule o limite da sequência:

1 - 1 n 2 n

Se ela for convergente.

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Passo 1

Vamos escrever a função f ( x ) associada a esta sequência: basta trocar n por x :

f x = 1 - 1 x 2 x

E agora vamos buscar o limite (se convergir). Para isso, temos que analisar x → ∞ .

L = lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → ∞ ⁡ 1 - 1 x 2 x

Passo 2

Esse limite ta complicado de resolver de cara, então vamos reescrever essa função de outra forma para ver se facilita.

L = lim x → ∞ ⁡ 1 - 1 x - x - 2

Repara que eu apliquei uma propriedade de potência e chegamos um limite que pode ser resolvido através do limite fundamental exponencial. Lembra que,

lim x → ∞ ⁡ 1 - 1 x - x = lim x → - ∞ ⁡ 1 + 1 x x = e

Só pra lembrar dos limites fundamentais, tabelados:

Então agora é só resolver o que está dentro dos colchetes,

L = lim x → ∞ ⁡ 1 - 1 x - x - 2 = e - 2