Limite de uma Sequência

Teoria Completa

Fala aí, nós somos o Responde Aí, e estamos aqui pra ajudar você a arrasar nas provas!

Hoje vamos falar sobre Limites de uma Sequência. Está preparado para entender tudo sobre isso agora? Então, bora lá!

Conhecimentos Prévios

☑️ Introdução à Sequências

Limites de uma Sequência

Dá uma olhada nessa sequência aqui:

Sequência exemplo
Sequência exemplo

Imagina que a gente quer saber qual é o último termo dessa sequência. Concorda comigo que isso vai depender de até qual valor de $n$ a sequência vai? Se o $n$ for até $1817918$, então para saber o último termo da sequência basta a gente jogar essa valor de $n$ no termo geral:

Termo da sequência com
Termo da sequência com

Mas, e se o $n$ for até o infinito?

Se isso acontece concorda que não existe um último termo para a sequência? Porque se $n$ vai até o infinito, os termos da sequência também são infinitos.

O que fazemos nesses casos é calcular o limite da sequência quando o $n$ tende ao infinito. Vamos pegar o termo geral da sequência e fazer o limite de $n$ tendendo ao infinito nele e resolver, assim:

Limite da sequência
Limite da sequência

Quando fazemos isso, nós encontramos o valor que os termos tendem quando o $n$ tende ao infinito. Ou seja, para a nossa sequência exemplo, quando $n$ tende ao infinito os termos tendem a $1$. Isso NÃO quer dizer que o último termo da sequência é igual a $1$, mas sim que os termos da sequência vão ficando cada vez mais pertinhos de $1$, beleza?

Essa limite de uma sequência nos diz uma coisa bem importante sobre a sequência: se ela é convergente ou divergente.

  • Se o limite existe e é igual a um número finito, então a sequência é convergente;
  • Se o limite não existe e "estoura" para o infinito, então a sequência é divergente

E aí você me pergunta: "Ahhh, todas aquelas propriedades de limites que usamos para as funções valem aqui também?". Siim, valem, sempre que o termo geral da série puder ser aproximado por uma função contínua, ou seja, a função contínua coincide com a sequência em todos os valores inteiros de $n$.

Vamos fazer mais um exemplo pra ficar tudo bem claro, beleza?

EXEMPLO: A sequência com termo geral, $a_n$, mostrado abaixo, converge ou diverge?

Termo geral
Termo geral

Para saber se a sequência é convergente ou divergente temos que fazer o limite. Então vamos lá:

Limite da sequência
Limite da sequência

📢ALERTA: Para resolver esse limite teremos que usar algumas propriedades dos limites, alguns limites fundamentais, as vezes até aplicar a regra de L'Hospital, então é uma boa você dar uma revisada nisso. Se preferir pode conferir essa nossa página de assunto: Limites

Resolvendo o limite:

Assim, chegamos a conclusão que a sequência diverge.

De boas não, é? O segredo agora é praticar. E pensando nisso nós temos muito exerc��cios resolvidos passo a passo. Não deixa de conferir: Exercícios - Limite de uma Sequência

Além de conteúdos em textos, nós do Responde Aí produzimos também conteúdos em vídeos. Se você é uma pessoa que prefere assistir uma boa aula não deixa de conferir o nosso vídeo aqui embaixo 👇🏽 sobre limites de uma sequência 😉

Vídeo

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria.

Analise a convergência da sequência, no caso de convergir, calcule seu limite.

n 2 n + 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Definindo:

f x = x 2 x + 3

Temos:

f n = a n = n 2 n + 3

Passo 2

Vamos calcular o limite:

lim x → ∞ ⁡ x 2 x + 3

Lembrando que o limite do produto é o produto dos limites:

lim x → ∞ ⁡ x 2 x + 3 = lim x → ∞ ⁡ x x x + 3 =

= lim x → ∞ ⁡ x .   lim x → ∞ ⁡ x x + 3

No Segundo limite podemos fazer:

lim x → ∞ ⁡ x x + 3 = lim x → ∞ ⁡ x x . 1 1 + 3 x = 1

Substituindo:

lim x → ∞ ⁡ x .   lim x → ∞ ⁡ x x + 3 = lim x → ∞ ⁡ x .   1 = ∞

Resposta

Portanto, lim n → ∞ ⁡ a n = ∞ e a sequência diverge.

Exercício Resolvido #2

UFF - Equações - Lista 1 – 3

Mostre que se x > 0 a sequência

a n = x 1 n

É convergente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:

lim n → ∞  ⁡ x 1 n = x 1 ∞ = x 0

Se tivermos x ≠ 0 então:

x 0 = 1

Isso significa que conforme o valor de n aumenta, os termos da nossa sequência vão se aproximando cada vez mais do valor 1.

Logo,essa sequência converge.

Obs: lembrando que aqui x tem que ser positivo por que temos que ter uma base positiva!

Resposta

A sequência converge

Exercício Resolvido #3

UFF - Equações - Lista 1 - 1c

Determine se a seguinte sequência possui limite

a n = n + k - n

Para algum k ∈ N fixado.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos que fazer:

lim n → ∞ ⁡ n + k - n = ∞ - ∞

Isso é uma indeterminação. Vamos multiplicar pelo seu conjugado

lim n → ∞ ⁡ n + k - n = lim n → ∞ ⁡ n + k - n 1 n + k + n n + k + n = lim n → ∞ ⁡ n + k 2 - n 2 n + k + n =

⇒ lim n → ∞ ⁡ n + k - n n + k + n = lim n → ∞ ⁡ k n + k + n = k ∞ = 0

Logo, ele tem limite e esse limite é 0 .

Resposta

Ele tem limite e esse limite é 0 .

Exercício Resolvido #4

UNICAMP - Cálculo 3 - P3 2010.2 - 2ª

( a ) Calcule o limite da sequência:

1 - 1 n 2 n

Se ela for convergente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos escrever a função f ( x ) associada a esta sequência: basta trocar n por x :

f x = 1 - 1 x 2 x

E agora vamos buscar o limite (se convergir). Para isso, temos que analisar x → ∞ .

L = lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → ∞ ⁡ 1 - 1 x 2 x

Passo 2

Esse limite ta complicado de resolver de cara, então vamos reescrever essa função de outra forma para ver se facilita.

L = lim x → ∞ ⁡ 1 - 1 x - x - 2

Repara que eu apliquei uma propriedade de potência e chegamos um limite que pode ser resolvido através do limite fundamental exponencial. Lembra que,

lim x → ∞ ⁡ 1 - 1 x - x = lim x → - ∞ ⁡ 1 + 1 x x = e

Só pra lembrar dos limites fundamentais, tabelados:

Então agora é só resolver o que está dentro dos colchetes,

L = lim x → ∞ ⁡ 1 - 1 x - x - 2 = e - 2

Portanto, L = e - 2 .

Resposta

L = e - 2 .

Exercício Resolvido #5

USP - Cálculo 4 - P1 2014 - 1a

Determine se a sequência abaixo é convergente ou divergente, e caso convergente, determine o seu limite:

a n = n + 3 n + 2 n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Uma sequência é convergente quando o limite existe e vale um número. E ela é divergente quando o limite não existe e estoura para o infinito.

Então, para saber se uma sequência converge, basta calcular o seu limite, então fica:

lim n → ∞ ⁡ n + 3 n + 2 n

Repara que temos:

lim n → ∞ ⁡ n + 3 n + 2 n = ∞ ∞ ∞

Pô várias indeterminações, vamos ter que dar uma arrumada nisso aí.

Passo 2

A primeira coisa que podemos fazer é isso aqui:

n + 3 n + 2 n = n + 3 n n + 2 n = 1 + 3 n n 1 + 2 n n

Então, temos que:

lim n → ∞ ⁡ n + 3 n + 2 n = lim n → ∞ ⁡ 1 + 3 n n 1 + 2 n n

Passo 3

Agora você precisa lembrar da fórmula do limite fundamental exponencial. Não lembra? Eu te ajudo!

lim n → ∞ ⁡ 1 + a n n = e a  

Então, o que a gente vai ter é:

lim n → ∞ ⁡ 1 + 3 n n 1 + 2 n n = lim n → ∞ ⁡ 1 + 3 n n lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n n = e 3 e 2 = e

Resposta

Converge e o valor do limite é e .

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