Sequências Numéricas

Teoria Completa

E aí meu mano! Já ouviu falar de Sequências e Séries? Então vamos com calma e nesse primeiro momento vamos tentar entender o que é uma Sequência. Antes de mais nada, bem vindo ao RespondeAi e como estamos acostumados vamos começar com um exemplo sobre uma sequência numérica!

Se eu te perguntasse, qual é o próximo número dessa sequência:

$$2,4,6,?$$

Qual você me diria? Acho que na maioria das vezes falaríamos que seria o $8$, mas olha que interessante, por se tratar de uma sequência eu deveria aceitar qualquer número que você escolhesse, porque na verdade uma sequência não necessáriamente precisa ter uma lógica, olha essa outra sequência aqui:

$$6,2,44,65,23,1,7$$

É uma sequência totalmente aleatória, mas não deixa de ser uma sequência numérica. É possível escrever outros tipos de sequência, definições de teoremas muitas vezes utilizam funções definidas com sequências de variáveis, por exemplo:

$$f(x_1,x_2,...,x_n)=...$$

A sequência de variáveis de $x_1$ até $x_n$ são os valores que definem o valor dessa função.

Então já sabemos que existem vários tipos de sequências e que elas podem ou não ter uma lógica embutida dentro delas. Na parte de sequências numéricas, nós vamos nos preocupar primeiramente com aquelas sequências em que conseguimos prever qual será o próximo número, que manterá a organização da sequência.

No conteúdo do nosso site você encontra mais sobre sequências inclusive métodos para descobrir o termo geral de uma sequência, e como podemos definir sequências através da relação de recorrência. Mas para já ir se preparando, porque não aproveita para conferir um vídeo de um exercício resolvido por um de nossos Experts sobre sequência:

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine o 4º, 5º e 6º termos das seguintes sequências

a) 3,9,27, ...

b) a n = n !

c) a 1 = 3 , a n + 1 = a n n

d) - 1,4 , - 9,16 , - 25 , …

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Passo 1

a) Aqui, primeiro vamos achar a fórmula do termo geral. A gente percebe que:

a 1 = 3 1 = 3

a 2 = 3 2 = 9

a 3 = 3 3 = 27

Isso nos leva a pensar que:

a n = 3 n

Passo 2

Dessa forma, temos que:

a 4 = 3 4

a 5 = 3 5

a 6 = 3 6

Passo 3

b) Aqui é mais imediato né? Ele já nos deu a fórmula do termo geral, então é só substituir:

a 4 = 4 !

a 5 = 5 !

a 6 = 6 !

Passo 4

c) Essa sequência é definida por recorrência, então não tem jeito temos que fazer um por um:

a 2 = a 1 1 = 3 1 = 3

a 3 = a 2 2 = 3 2

a 4 = a 3 3 = 3 2 3 = 3 6

a 5 = a 4 4 = 3 6 4 = 3 24

a 6 = a 5 5 = 3 24 5 = 3 120

Passo 5

d) De novo precisamos identificar o termo geral.

O que a gente percebe? Primeiro que o sinal de negativo vai invertendo né? Vou te contar como escrever isso:

- 1 n

Isso se chama alternador. Ele vai invertendo o sinal do termo!

Passo 6

Beleza, agora temos que identificar algum padrão nos números mesmo. Vou reescrever essa sequência aqui:

- 1 . 1 2 , 2 2 , - 1 3 2 , 4 2 , - 1 5 2

Tá vendo o padrão? É sempre a posição na sequência ao quadrado, ou seja:

a n = - 1 n n 2

Passo 7

Perfeito agora só substituir e achar:

a 4 = - 1 4 4 2 = 16

a 5 = - 1 5 5 2 = - 25

a 6 = - 1 6 6 2 = 36

Resposta

a) a 4 = 3 4

a 5 = 3 5

a 6 = 3 6

b) a 4 = 4 !

a 5 = 5 !

a 6 = 6 !

c) a 4 = 3 6

a 5 = 3 24

a 6 = 3 120

d) a 4 = - 1 4 4 2 = 16

a 5 = - 1 5 5 2 = - 25

a 6 = - 1 6 6 2 = 36

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ - Cálculo 1 - P1 2013.1 - 2 b

( b ) Dê um exemplo de uma sequência a n → ∞ e de uma sequência b n → - ∞ tal que

a n + b n → 4

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Passo 1

Vamos partir do que o problema nos fornece, a n + b n → 4

A partir dessa condição, podemos escrever a lei de formação de b n desta forma,

b n = - a n + 4

Note que,

a n + b n = a n + - a n + 4 = 4

O que resultaria em:

a n + b n → 4

Bom, agora que a gente já achou uma relação entre as duas leis de formação, a gente pode escolher uma lei de formação para a n , que depois achamos uma para b n .

Vamos pensar na lei de formação simples! Digamos então que temos,

a n = n

Nessa situação, a n → ∞

E como ficaria b n ?

b n = - n + 4

Mas aí nós temos que ver que b n tende ao infinito negativo! O que realmente acontece nesse caso, quando n tende ao infinito. Então:

b n = - n + 4

O que nos garantiria:

a n + b n → 4

Resposta

a n = n

b n = - n + 4

Exercício Resolvido #3

PUC-RJ - Cálculo 1 - P1 2014.1 - 2c

Dê um exemplo de uma sequência a n não constante tal que todo termo a n é um número irracional e a n → 3

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Passo 1

Então ele quer uma sequência que vá para 3 , e não seja 3 .A minha ideia inicial era fazer:

a n = 3 + 1 n

Porque 1 n vai para 0 , mas ninguém seria irracional. Então, aqui vai entrar a marotagem, pensa em um número irracional, temos zilhões, por exemplo, 2 , ou π tanto faz, vamos trocar aquele 1 por esse número irracional:

a n = 3 + 2 n

Vamos continuar tendo 2 n indo para 0 , só que dessa vez ele é irracional por ser uma divisão não exata de um irracional.

Resposta

a n = 3 + 2 n

Exercício Resolvido #4

PUC-RJ - Cálculo 1 - P1 2010.1 - 2b

Considere a seguinte proposição

Se a n é uma sequência crescente, então a n é crescente.

  1. Decida se a proposição é verdadeira ou falsa
  2. Enuncie a recíproca e decida se a mesma é verdadeira ou falsa
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Passo 1

b 1 )

Vamos começar olhando se a proposição é verdadeira, o que temos? Que a sequência é crescente certo? Mas o que diabos isso quer dizer?

Uma sequência crescente é aquela em que os termos são assim:

a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤ a 4 ≤ … ≤ a n

Queremos ver se a sequência a n é crescente, ou seja,

a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤ a 4 ≤ … ≤ a n

O que o módulo faz com cada termo? Ele tira o seu sinal certo? Mas quando estamos comparando números positivos não é a mesma coisa que comparar eles negativos, por exemplo:

- 2 < - 1

Enquanto, se pegarmos o módulo essa ordem vai mudar:

- 2 = 2 > - 1 = 1

Então basta pegarmos uma sequência que começa negativa e depois fica positiva que o seu módulo não vai ser crescente, por exemplo,

a n = n - 5

Os primeiros termos serão:

a 1 = - 4

a 2 = - 3

a 3 = - 2

a 4 = - 1

a 5 = 0

a 6 = 1

E por aí vai, esse carinha é crescente, mas se pegarmos o seu módulo a sequência vai ser:

a 1 = - 4 = 4

a 2 = - 3 = 3

a 3 = - 2 = 2

a 4 = - 1 = 1

a 5 = 0 = 0

a 6 = 1 = 1

E podemos ver facilmente que essa sequência de módulo não é crescente.

Logo, essa proposição é falsa.

Passo 2

b 2 )

Temos que ver como fica a recíproca

Se a n é uma sequência crescente, então a n é crescente.

Aqui tem um exemplo bem mais simples, lembra aquela ideia de mudar de sinal quando passa o módulo, se pegarmos a sequência:

a n = - n

Vamos ter:

a n = n

E essa sequência em módulo é crescente, só que fora do módulo é decrescente, logo essa recíproca também é falsa.

Sempre que ele perguntar se é verdadeiro ou falso alguma parada é bom ir olhando a lógica tentando entender a matemática, testar exemplos e depois definir, se for verdadeiro temos que mostrar porque, se for falso só dar um caso que aquela parada seja falsa é o suficiente.

Resposta

  1. Falso
  2. Falso

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