Introdução às Sequências

Resumo Completo

Definição

Cara, você já deve ter participado daqueles jogos de adivinhar qual o próximo número né? Tipo assim, o cara te conta esses números aqui:

2,4 , 6 , 8

E pergunta: Qual é o próximo?

Tá indo de 2 em 2,certo? Então o próximo será 10 e depois será 12 e assim vai indo.

Então, vou te contar a boa nova: essa lista de números se chama sequência. Agora, jovem gafanhoto, vá com calma! Não pense que toda sequência tem uma lógica tão simples como a anterior. Às vezes é difícil entender a lógica que conta qual o próximo número ou, às vezes, essa lógica nem existe. Olha o exemplo aqui:

1 ,   3 ,   2 ,   5 ,   42 ,   4

Então, na real, a sequência é só o conjunto de números mesmo! Mas, relaxa que a gente só vai estudar aquelas em que a gente consegue prever o próximo número.

Termo Geral

Gostei desse jogo de adivinhar qual é o próximo número da sequência, mas vou deixá-lo um pouco mais difícil. Imagina que agora eu quero saber o número que ocupa o 25º lugar da primeira sequência.

Ficou difícil? Então vem comigo que eu vou te contar como fazer isso fácil fácil. Para chegar na resposta, eu vou colocar um pouquinho de matemágica! Vou dizer que o primeiro número é a 1 , o segundo a 2 e assim vai. Então, a gente tem isso aqui

a 1 = 2 ,     a 2 = 4 ,     a 3 = 6 ,     a 4 = 8 ,  

A pergunta agora é: quem é o a 25 ? Dá uma olhada nisso aqui:

a 1 = 2.1 ,     a 2 = 2.2 ,     a 3 = 2.3 ,     a 4 = 2.4

Tá vendo que o número é sempre 2 vezes a posição dele na sequência? Então, a gente pode dizer que para qualquer posição n , a gente tem o seguinte

a n = 2 n

Essa expressão é um jeito de eu escrever todos os termos da sequência, basta ir dando valores para o n que vamos achando os termos! Po, uma fórmula tão parceira deve ter um nome né? Ela tem e se chama fórmula do termo geral.

Cara, n é a posição do número na sequência lembra? Logo, ele só pode ser número natural tipo 1,2,3... ele não vai ser 3,1415!

Com a fórmula do termo geral fica fácil de responder quem é o a 25 ele vale 50!

Só para deixar tudo bem claro, vamos escrever os 3 primeiros termos da sequência dada por:

n n + 1 n = 1

Não se assuste com a notação! Dentro das chaves está a nossa expressão do termo geral

a n = n n + 1

Aquele n = 1   e só estão ali para indicar que o n vai de 1 até . Vamos fazer n = 1,2 , 3

a 1 = 1 1 + 1 = 1 2 ,     a 2 = 2 2 + 1 = 2 3 ,           a 3 = 3 3 + 1 = 3 4

Sequência definida por recorrência

A fórmula do termo geral é muito útil né? Podemos montar toda a sequência só com a posição do termo na sequência! Mas, nem tudo são flores e nem toda sequência é definida por uma fórmula de termo geral.

Existem sequências que são definidas por recorrência, ou seja, um dado termo é definido pela relação com os anteriores! O exemplo mais famoso desse tipo de sequência é a de Fibonacci em que:

a 1 = a 2 = 1 ,     a n + 2 = a n + a n + 1

Tá vendo que o termo a n + 2 sempre depende do anterior e do anterior ao anterior? Isso se chama recorrência! Só para deixar bem claro a sequência de Fibonacci é dada por:

1,1 , 2,3 , 5,8 , 13 ,

Partiu exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Elaboração Própria

Determine o 4º, 5º e 6º termos das seguintes sequências

a) 3,9,27, ...

b) a n = n !

c) a 1 = 3 , a n + 1 = a n n

d) - 1,4 , - 9,16 , - 25 ,

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a) Aqui, primeiro vamos achar a fórmula do termo geral. A gente percebe que:

a 1 = 3 1 = 3

a 2 = 3 2 = 9

a 3 = 3 3 = 27

Isso nos leva a pensar que:

a n = 3 n

Passo 2

Dessa forma, temos que:

a 4 = 3 4

a 5 = 3 5

a 6 = 3 6

Passo 3

b) Aqui é mais imediato né? Ele já nos deu a fórmula do termo geral, então é só substituir:

a 4 = 4 !

a 5 = 5 !

a 6 = 6 !

Passo 4

c) Essa sequência é definida por recorrência, então não tem jeito temos que fazer um por um:

a 2 = a 1 1 = 3 1 = 3

a 3 = a 2 2 = 3 2

a 4 = a 3 3 = 3 2 3 = 3 6

a 5 = a 4 4 = 3 6 4 = 3 24

a 6 = a 5 5 = 3 24 5 = 3 120

Passo 5

d) De novo precisamos identificar o termo geral.

O que a gente percebe? Primeiro que o sinal de negativo vai invertendo né? Vou te contar como escrever isso:

- 1 n

Isso se chama alternador. Ele vai invertendo o sinal do termo!

Passo 6

Beleza, agora temos que identificar algum padrão nos números mesmo. Vou reescrever essa sequência aqui:

- 1 . 1 2 , 2 2 , - 1 3 2 , 4 2 , - 1 5 2

Tá vendo o padrão? É sempre a posição na sequência ao quadrado, ou seja:

a n = - 1 n n 2

Passo 7

Perfeito agora só substituir e achar:

a 4 = - 1 4 4 2 = 16

a 5 = - 1 5 5 2 = - 25

a 6 = - 1 6 6 2 = 36

Resposta

a) a 4 = 3 4

a 5 = 3 5

a 6 = 3 6

b) a 4 = 4 !

a 5 = 5 !

a 6 = 6 !

c) a 4 = 3 6

a 5 = 3 24

a 6 = 3 120

d) a 4 = - 1 4 4 2 = 16

a 5 = - 1 5 5 2 = - 25

a 6 = - 1 6 6 2 = 36

Exercício Resolvido #2

Enunciado

PUC-RJ - Cálculo 1 - P1 2013.1 - 2 b

( b ) Dê um exemplo de uma sequência a n e de uma sequência b n - tal que

a n + b n 4

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Se nós escolhermos uma lei de formação para a n basta acharmos um b n = - a n + 4 , de modo que:

a n + b n = a n + - a n + 4 = 4

O que resultaria em:

a n + b n 4

Digamos então que temos a n = n . Nessa situação, a n e teríamos b n = - n + 4 .

Mas aí nós temos que ver que b n tende ao infinito negativo! O que realmente acontece nesse caso, quando n tende ao infinito. Então:

b n = - n + 4

O que nos garantiria:

a n + b n 4

Resposta

a n = n

b n = - n + 4

Exercício Resolvido #3

Enunciado

PUC-RJ - Cálculo 1 - P1 2014.1 - 2c

Dê um exemplo de uma sequência a n não constante tal que todo termo a n é um número irracional e a n 3

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Então ele quer uma sequência que vá para 3 , e não seja 3 .A minha ideia inicial era fazer:

a n = 3 + 1 n

Porque 1 n vai para 0 , mas ninguém seria irracional. Então, aqui vai entrar a marotagem, pensa em um número irracional, temos zilhões, por exemplo, 2 , ou π tanto faz, vamos trocar aquele 1 por esse número irracional:

a n = 3 + 2 n

Vamos continuar tendo 2 n indo para 0 , só que dessa vez ele é irracional por ser uma divisão não exata de um irracional.

Resposta

a n = 3 + 2 n

Exercício Resolvido #4

Enunciado

PUC-RJ - Cálculo 1 - P1 2010.1 - 2b

Considere a seguinte proposição

Se a n é uma sequência crescente, então a n é crescente.

  1. Decida se a proposição é verdadeira ou falsa
  2. Enuncie a recíproca e decida se a mesma é verdadeira ou falsa
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

b 1 )

Vamos começar olhando se a proposição é verdadeira, o que temos? Que a sequência é crescente certo? Mas o que diabos isso quer dizer?

Uma sequência crescente é aquela em que os termos são assim:

a 1 a 2 a 3 a 4 a n

Queremos ver se a sequência a n é crescente, ou seja,

a 1 a 2 a 3 a 4 a n

O que o módulo faz com cada termo? Ele tira o seu sinal certo? Mas quando estamos comparando números positivos não é a mesma coisa que comparar eles negativos, por exemplo:

- 2 < - 1

Enquanto, se pegarmos o módulo essa ordem vai mudar:

- 2 = 2 > - 1 = 1

Então basta pegarmos uma sequência que começa negativa e depois fica positiva que o seu módulo não vai ser crescente, por exemplo,

a n = n - 5

Os primeiros termos serão:

a 1 = - 4

a 2 = - 3

a 3 = - 2

a 4 = - 1

a 5 = 0

a 6 = 1

E por aí vai, esse carinha é crescente, mas se pegarmos o seu módulo a sequência vai ser:

a 1 = - 4 = 4

a 2 = - 3 = 3

a 3 = - 2 = 2

a 4 = - 1 = 1

a 5 = 0 = 0

a 6 = 1 = 1

E podemos ver facilmente que essa sequência de módulo não é crescente.

Logo, essa proposição é falsa.

Passo 2

b 2 )

Temos que ver como fica a recíproca

Se a n é uma sequência crescente, então a n é crescente.

Aqui tem um exemplo bem mais simples, lembra aquela ideia de mudar de sinal quando passa o módulo, se pegarmos a sequência:

a n = - n

Vamos ter:

a n = n

E essa sequência em módulo é crescente, só que fora do módulo é decrescente, logo essa recíproca também é falsa.

Sempre que ele perguntar se é verdadeiro ou falso alguma parada é bom ir olhando a lógica tentando entender a matemática, testar exemplos e depois definir, se for verdadeiro temos que mostrar porque, se for falso só dar um caso que aquela parada seja falsa é o suficiente.

Resposta

  1. Falso
  2. Falso

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