P-Série

Teoria Completa

Vamos agora falar da P-série.

Mas antes, vamos ver porque ela é chamada assim. Essa série é apresentada abaixo:

∑ n = 1 ∞ 1 n p

Tá vendo aquele índice p ? Então é por ele que a série é chamada de P-série. Uma coisa muito importante é lembrar que ela precisa ter essa carinha de n elevado a alguém no DENOMINADOR.

Uma p-série conhecida é a serie harmônica:

∑ n = 1 ∞ 1 n

Vamos utilizar bastante essa série para, principalmente compararmos com outras nos testes.

Vamos agora aprender para quais valores de p essa série converge e para quais valores diverge.

Critério de convergência

A p-séria convirgirá ou não dependendo do valor de p . Se liga no bizu! ;)

Pra mostrar isso tem que usar o teste da integral, mas isso fica pra outro papo!

Partiu exercício!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.

S 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2

S 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 n - 1

S 3 = ∑ n = 1 ∞ 1 √ n

S 4 = ∑ n = 1 ∞ 1 n π

S 5 = ∑ n = 1 ∞ n 5

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Repara que todas essas séries são p - s é r i e s .

Como vimos na teoria, uma p - s é r i e é uma série com o termo geral sendo

a n = 1 n p

O que vai dizer se essa série converge ou diverge, é aquele p

p > 1 ⇒ C o n v e r g e p ≤ 1 ⇒ D i v e r g e

Direto assim mesmo. Bora olhar cada um

Passo 2

Agora com o S 1

S 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Aqui o termo geral vai ser

a n = 1 n 2

Aqui, o p vai ser 2 , beleza? Como isso é maior que 1 ele converge.

Passo 3

Agora com o S 2

S 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 n - 1

Aqui o termo geral vai ser

b n = 1 n - 1

Aqui, o p vai ser - 1 , beleza? Como isso é menor ou igual a 1 ele diverge.

Passo 4

Agora com o S 3

S 3 = ∑ n = 1 ∞ 1 √ n

Aqui o termo geral vai ser

c n = 1 n 0,5

Aqui, o p vai ser 0,5 , beleza? Como isso é menor ou igual a 1 ele diverge.

Depois dessas 3 , repara que p realmente pode ser qualquer número real. Apareceu negativo, positivo, decimal. Não importa o número, o que importa é saber se ele é maior que 1 ou não.

Passo 5

Agora com o S 4

S 4 = ∑ n = 1 ∞ 1 n π

Aqui o termo geral vai ser

d n = 1 n π

Aqui, o p vai ser π , beleza? Lembra que o que importa é comparar com 1 ? Normalmente aproximamos π por 3,14 . Ele estar por perto desse valor, então é de boa ver que ele é maior que 1 . Assim ele converge, de boa assim mesmo.

Passo 6

Começando com o S 5

S 5 = ∑ n = 1 ∞ n 5

Aqui o termo geral vai ser

e n = n 5

Aqui, o p vai ser 5 , beleza? Como isso é maior que 1 ele converge. Pera, pera, pera, pera...

Tem alguma treta ai, vamos olhar o termo geral da p série

f n = 1 n p

Olha que o n p está em uma fração, e no denominador. E a nossa série ali, tem o n 5 só. Para comparar bonitinho, temos que escrever isso como 1 sobre alguma potência de n .

Vamos usar um macete aqui

n 5 = 1 n - 5

Sempre que rolar uma parada dessa, basta jogar a potência que temos no denominador e mudar o sinal do expoente.

Agora sim, o p vai ser - 5 , e como isso é menor que 1 ele diverge.

Resposta

S 1 ⇒ C o n v e r g e S 2 ⇒ D i v e r g e S 3 ⇒ D i v e r g e S 4 ⇒ C o n v e r g e S 5 ⇒ D i v e r g e

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Determine se a série abaixo converge

∑ n = 1 ∞ n 2 + 1 n 3,1 + n 1,1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos olhar para o termo geral dessa série

a n = n 2 + 1 n 3,1 + n 1,1

Cara que bagulho muito doido. Mas repara que temos como por n 1,1 em evidência na soma do denominador

a n = n 2 + 1 n 1,1 n 2 + 1

Opa, n 2 + 1 nunca vai ser 0 , então podemos simplesmente cortar esse safado.

a n = 1 n 1,1

OBAAAA! É uma p-série, e com p = 1,1 . É maior que 1 então converge. Acabou

Só isso mesmo, então sempre que surgir uma série muito louca das ideias, primeiro vamos tentar arrumar o que dá para arrumar e depois pensamos na convergência.

Resposta

Converge

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Determine se a série abaixo converge

∑ n = 2 ∞     5 n + 1 8 n - 1 + n - 17 π - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O termo geral dessa série é

a n = 5 n + 1 8 n - 1 + n - 17 π - 2

Temos uma soma de coisas muito loucas, vamos dar uma arrumada nisso pra começo de conversa, dexando aquele n como fração, porque ele parece uma p -série. E aquele 5 e 8 estão querendo muito ser série geométrica

a n = 5 . 5 n 8 n . 8 - 1 + 1 n - - 17 π - 2

a n = 5.8 . 5 n 8 n + 1 n - - 17 π - 2

a n = 40 5 8 n + 1 n 17 π + 2

Temos duas series muito loucas. Vamos olhar cada parte dela

Passo 2

Primeiro

40 5 8 n

Isso é uma série geométrica, com r = 5 / 8 , como é menor que 1 , isso nos diz que ela converge.

Passo 3

Agora

1 n 17 π + 2

Isso é uma p -série, com

p = 17 π + 2

Cara muuuuito louco, mas só precisamos saber se ele é maior que 1 ou não. Repara que ele é muuuito maior, então essa série converge.

Como a nossa série original é a soma de séries que convergem, ela converge.

Resposta

Converge

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