Teste da Divergência

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Teoria

Fala! Vamos começar com um exemplo, tá bem? Lembra que uma série converge se a soma dos termos dela tender a um número e diverge se a soma dos termos dela explodir para infinito. Digamos que temos essa série aqui

∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 5 n 2 + 4

Ela diverge ou converge? Podemos pensar em abrir os termos dela e vê se há algum padrão, né? Olha

∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 5 n 2 + 4 = 1 2 - 1 5 × 1 2 + 4 + 2 2 - 1 5 × 2 2 + 4 + 3 2 - 1 5 × 3 2 + 4 + 4 2 - 1 5 × 4 2 + 4 …

∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 5 n 2 + 4 = 0 + 1 8 + 8 49 + 15 84 + …

Cara, não tem padrão nenhum à princípio, né? E as contas seguintes só ficam piores. Os nossos termos até são menores que 1 , mas isso não garante que a soma deles não exploda para o infinito. Será que nossa pergunta vai ficar sem resposta? NÃO VAI!

O que vamos começar ver a partir de agora é que há formas mais práticas de analisar a convergência e divergência das séries. Não vamos precisar ficar abrindo os termos delas!

Chamamos essas formas de testes, que vão ser aplicados nas séries e vão nos dizer se elas convergem ou divergem. O primeiro teste que a gente vai ver é o Teste da Divergência.

Bora!

Teste da Divergência ou Critério do Termo Geral

Vamos voltar ao nosso exemplo

∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 5 n 2 + 4

Já vimos que não dá para saber se essa série diverge ou converge só abrindo os termos dela, então a gente vai aplicar nela o nosso primeiro teste, o teste da divergência.

E como esse cara funciona?

Basicamente, vamos ter que calcular o seguinte limite

lim n → ∞ ⁡ a n

Vamos calcular então! Nosso termo geral é

a n =   n 2 - 1 5 n 2 + 4

Fazendo o limite, temos:

lim n → ∞ ⁡ n 2 - 1 5 n 2 + 4 =   lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n 2 5 + 4 n 2 = 1 5

Deu um número diferente de zero. E o que isso quer dizer? Cara, o teste da divergência diz que toda série convergente tem

lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Como para a nossa série, esse limite não deu zero, a gente pode afirmar que nossa série não é convergente, ou seja, nossa série é divergente.

De forma geral, toda vez que a gente calcula esse limite e dá um número diferente de zero, a gente já pode dizer que nossa série é divergente.

Bizu: é sempre bom começar a analisar as séries por esse teste. Além de ser simples e rápido, ele pode te poupar muito trabalho!

E se o limite der zero?

E se na nossa continha, o limite der igual a zero? Vamos ver isso num exemplo. Vamos pensar na série harmônica

∑ n = 1 ∞ 1 n

Precisamos lembrar que essa série é divergente. Já sabendo dessa informação, vamos aplicar o teste da divergência nela para ver o que podemos tirar dele.

O termo geral dessa série é

a n = 1 n

Aí calculamos

lim n → ∞ ⁡ a n

Vemos que

lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

Olha só, deu zero. Mas essa série não é convergente. Será que o teste está errado? Cara, não está não. Ele diz que toda série convergente tem esse limite igual a zero.

Maaaas, ele NÃO diz que toda série que tem limite igual a zero é convergente. Esse exemplo nos mostra que mesmo que uma série tenha o limite igual a zero, ela ainda pode ser divergente.

Então, como usar esse teste? Vamos usar esse teorema da seguinte forma: calculamos o limite e se ele der diferente de zero podemos afirmar que a série diverge. Caso o limite dê zero, nada podemos afirmar (a série pode ou não convergir).

Agora vamos aplicar esse cara nos exercícios, para fixar bem essa ideia! Bora! 😊

E se o limite der zero?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule a sua soma.

∑ n = 1 ∞ n n + 5

Passo 1

Repare nos índices de n . No numerador temos n “elevado a 1 ”, assim como no denominador. Isso nos faz pensar que, mesmo tendo uma razão menor que 1 , esse termo geral não deve tender para zero.

Nesse caso, tentaremos então o Teste da Divergência. Calculando o limite de a n , temos:

n n + 5 = n n ( 1 + 5 / n ) = 1 1 + 5 / n → n → ∞ 1 ≠ 0

Como previmos o termo geral não tende para zero, logo, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercício Resolvido #2

Decida sobre a convergência da série abaixo:

∑ n = 0 ∞ n 3 + n n 3 + 6 n 2 + 8 n + 2

Passo 1

Sabemos que se lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 , então a série diverge. Portanto, pra estudarmos a convergência de a n = n 3 + n n 3 + 6 n 2 + 8 n + 2 , vamos calcular o lim n → ∞ ⁡ a n .

Passo 2

Pela regra de L’Hôpital, temos que:

lim n → ∞ ⁡ n 3 + n n 3 + 6 n 2 + 8 n + 2 = l i m n → ∞ 3 n 2 + 1 3 n 2 + 12 n + 8 = l i m n → ∞ 6 n 6 n + 12 = l i m n → ∞ 6 6 = 1

E então, concluímos que a série diverge!

Resposta

A série diverge.

Exercício Resolvido #3

Determine se a série ∑ n = 1 ∞ a n converge ou diverge no seguinte caso

a n = n ! n !

Passo 1

Pelo teste da divergência temos que se o lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 , a série diverge. Caso esse limite de zero, não podemos afirmar nada.

Então vamos começar mexendo um pouco no termo geral. Pensa no termo n ! Como a base uma função exponencial. Então podemos calcular essa divisão, repetindo a base e subtraindo os expoentes. Fica assim,

a n = n ! n ! = n ! 1 - 1 2 = n !

Lembra que n ! é a multiplicação de n números, deste modo a função cresce infinitamente, ou seja,

lim n → ∞ ⁡ a n = ∞

E pelo teste da divergência essa série diverge.

Resposta

Diverge

Exercício Resolvido #4

Resolva os seguintes itens sobre séries:

Decida se a série é convergente ou divergente:

∑ n = 1 ∞ n cos ⁡ n

Passo 1

Bom, será que essa série converge? Antes de tudo: será que esse termo geral tende para zero? Parece que não, olha só:

lim n → ∞ ⁡ n cos ⁡ n = ?

Temos o numerador tendendo a infinito lim n → ∞ ⁡ n = ∞ e o denominador não possui limite, cos ⁡ n oscila com valores entre - 1 e 1 , portanto:

lim n → ∞ ⁡ n cos ⁡ n = + ∞ ,   - ∞

Com o limite do termo geral não é zero, pelo Teste da divergência, essa série diverge.

Resposta

A série diverge.

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