Teste da Divergência

Teoria Completa

Teste da Divergência ou Critério do Termo Geral

Veremos que um dos pontos mais importantes no estudo das séries será o de analisar a convergência. Então podemos fazer uma pergunta: será que existem formas mais práticas de analisar a convergência? Existe sim, nos próximos capítulos você vai aprender testes que podemos aplicar nas séries para descobrir se elas possuem ou não uma soma.

Aqui, vamos ver um teste bem simples, que vem do seguinte teorema:

“Se a série ∑ n = 1 ∞ a n for convergente, então lim n → ∞ ⁡ a n = 0 .

Cara aqui você tem que tomar muito cuidado! Porque, por exemplo, a série harmônica tem o limite indo para 0, mas não é convergente! O teorema diz que todas as convergentes têm limite indo para zero e não o contrário!

Na realidade, a gente usa esse teorema da seguinte forma: calculamos o limite e se ele der diferente de zero podemos afirmar que a série diverge. Caso o limite dê zero, nada podemos afirmar (a série pode ou não convergir).

Uma dica é sempre começar por esse teste. Além de ser simples e rápido, ele pode te poupar muito trabalho!

Vamos ver um exemplo.

Diga se a série abaixo converge ou diverge:

∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 5 n 2 + 4

Analisando o termo geral temos que:

a n =   n 2 - 1 5 n 2 + 4

Fazendo o limite, temos:

lim n → ∞ ⁡ n 2 - 1 5 n 2 + 4 =   lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n 2 5 + 4 n 2 = 1 5

Pelo teste da divergência, como o limite é diferente de zero, a série é divergente!

Expandir

Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 658, questão 23

Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule a sua soma.

∑ n = 1 ∞ n n + 5

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Repare nos índices de n . No numerador temos n “elevado a 1 ”, assim como no denominador. Isso nos faz pensar que, mesmo tendo uma razão menor que 1 , esse termo geral não deve tender para zero.

Nesse caso, tentaremos então o Teste da Divergência. Calculando o limite de a n , temos:

n n + 5 = n n ( 1 + 5 / n ) = 1 1 + 5 / n → n → ∞ 1 ≠ 0

Como previmos o termo geral não tende para zero, logo, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2013.2 - 2b

Decida sobre a convergência da série abaixo:

∑ n = 0 ∞ n 3 + n n 3 + 6 n 2 + 8 n + 2

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Passo 1

Sabemos que se lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 , então a série diverge. Portanto, pra estudarmos a convergência de a n = n 3 + n n 3 + 6 n 2 + 8 n + 2 , vamos calcular o lim n → ∞ ⁡ a n .

Passo 2

Pela regra de L’Hôpital, temos que:

lim n → ∞ ⁡ n 3 + n n 3 + 6 n 2 + 8 n + 2 = l i m n → ∞ 3 n 2 + 1 3 n 2 + 12 n + 8 = l i m n → ∞ 6 n 6 n + 12 = l i m n → ∞ 6 6 = 1

E então, concluímos que a série diverge!

Resposta

A série diverge.

Exercício Resolvido #3

UFF - Equações - Lista 2 - 1f

Determine se a série ∑ n = 1 ∞ a n converge ou diverge no seguinte caso

a n = n ! n !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Repara que aqui podemos dar uma arrumada no termo geral da série antes de pensar em qualquer coisa:

a n = n ! n ! = n !

E sabemos que n ! Cresce infinitamente, então

lim n → ∞ ⁡ a n = ∞

E pelo teste da divergência essa série diverge.

Resposta

Diverge

Exercício Resolvido #4

UFRJ - Cálculo 4 - P1 2013.2 - 1ª

Resolva os seguintes itens sobre séries:

Decida se a série é convergente ou divergente:

∑ n = 1 ∞ n cos ⁡ n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, será que essa série converge? Antes de tudo: será que esse termo geral tende para zero? Parece que não, olha só:

lim n → ∞ ⁡ n cos ⁡ n = ?

Temos o numerador tendendo a infinito lim n → ∞ ⁡ n = ∞ e o denominador não possui limite, cos ⁡ n oscila com valores entre - 1 e 1 , portanto:

lim n → ∞ ⁡ n cos ⁡ n = + ∞ ,   - ∞

Com o limite do termo geral não é zero, pelo Teste da divergência, essa série diverge.

Resposta

A série diverge.

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