Teoria Completa
Introdução
O que nós vamos ver aqui agora é tudo sobre um tipo específico de série: a série geométrica. A título de curiosidade, um exemplo desse tipo de série é essa daqui:
VOCÊ: “Mas por que ela é especial?”
Dê uma olhada nos termos que compõem essa série:
Todos eles (com exceção do primeiro) são formados pegando o termo anterior e multiplicando por , veja com os primeiros termos:
E aí eu te pergunto: qual é o tipo de sequência que é formado pegando o anterior e multiplicando pelo mesmo número (razão)? A resposta é a PROGRESSÃO GEOMÉTRICA. Lembra?
No caso exemplar, a PG que forma a série geométrica é a de termo inicial e razão :
Agora vem uma pergunta muito importante: qual é a soma dos termos de uma PG?
Soma dos termos de uma PG
Bem, para facilitar a vida vamos ver qual é a soma dos termos da PG do exemplo e depois a gente generaliza:
Estamos chamando de a série que representa a soma da PG. Então...
SHOW! Pra somar isso sem recorrer à ajuda da calculadora, vamos fazer um truque: multiplicar todo mundo por :
Agora perceba que essas duas igualdades de cima são bem parecidas e que se a gente subtrair uma pela outra, vários termos vão se cancelar:
Perceba que todos esses termos do meio são cancelados e os únicos que sobram são o primeiro e o último:
Colocando em evidência o e isolando-o:
Viu só? Esse é o valor dessa PG (consequentemente da série geométrica):
Série Geométrica
Com esse resultado, podemos continuar o nosso estudo de séries geométricas generalizando formalmente da seguinte forma:
Se tivermos uma PG de razão , a série geométrica é a soma dos termos dessa PG:
E o resultado dessa série é a soma dos termos da PG! (basta trocar o que é por no resultado da soma da PG exemplar):
Convergência da série geométrica
Até o momento, só vimos qual é o comportamento de uma série geométrica finita, onde é um número conhecido. Agora o que acontece com a série geométrica infinita? Ou seja, queremos saber qual é o comportamento dessa série aqui:
Bem, há de concordar comigo que a resposta depende de quem é a razão , certo? Por que se for um número maior que ( por exemplo)...
Como os termos da série aumentam cada vez mais é de se esperar que essa série divirja! Lembrando que quando a o valor da série vai para o infinito, a gente diz que a série é divergente.
Agora, o que acontece se:
CASO A)
Bem, se for um número entre e (um número pequeno como por exemplo) é de se esperar que a série convirja, pois estaremos somando termos cada vez menores, exemplo:
De fato a gente pode pegar a fórmula da soma para um caso finito (onde é um número):
E jogar o indo para o infinito dentro de um limite, então fica assim:
Perceba que quando vai para infinito, vai para de forma que:
De uma forma geral então, se for um número entre e , podemos falar que a série geométrica infinita, ou simplesmente série geométrica, CONVERGE para :
CASO B)
Esse caso é o mais intuitivo, temos:
Ora! Essa soma sempre aumenta, logo:
A série diverge.
CASO C)
Aqui nós vamos ter:
Repare que se pararmos no o valor da série vai ser . Mas se pararmos no o valor da série vai ser . Logo, a série nunca converge, ela fica oscilando eternamente entre e !
Resumindo...
A série geométrica é uma série muito especial e que, como todas as outras séries, existem em duas formas: série geométrica finita e série geométrica infinita (ou simplesmente série geométrica):
SÉRIE GEOMÉTRICA FINITA ( é um número):
E ela serve para qualquer valor de que você queira.
SÉRIE GEOMÉTRICA:
E essa série só converge para no intervalo de a :
OBS: Na maioria dos problemas que você vai enfrentar (inclusiva em provas) a forma infinita é a mais cobrada, então a anote em um papelzinho e cole na porta da sua geladeira, pois ela é muito importante! Bora para os exercícios?
Exercício Resolvido #1
A série
é convergente? Caso positivo, calcule a sua soma (o limite das somas parciais).
Passo 1
Bom, de cara esta é uma série geométrica, com raio . Olha só:
Como , ela é convergente.
Passo 2
Olha o truque agora: vamos chamar esse somatório de :
Então pra escrever o bom e velho somatório começando de , fica assim:
Ou seja:
Passo 3
Viu? Mas para a série geométrica começando em , temos que:
Então é só calcular ali em cima e correr pro abraço...
Resposta
Convergente,
Exercício Resolvido #2
Diga se a série abaixo converge ou diverge. No caso da série convergir, calcular o valor da soma.
Passo 1
Primeiramente vamos reescrever essa série de uma forma que a gente visualize melhor uma maneira de estudar sua convergência. Repara só:
Chamando , vamos olhar pra essa série da seguinte maneira:
Quem é essa série?? Exatamente ela, a série geométrica!
Passo 2
Agora que já identificamos nossa série, qual o critério para que ela convirja?
Passo 3
Não sabemos o valor exato de , mas sabemos que ele é um pouco maior que 3, então
Ótimo, a série é convergente!
Passo 4
Agora ele quer o valor da soma da série. Basta aplicar nossa formulinha né?
Resposta
Exercício Resolvido #3
A série é convergente ou divergente?
Passo 1
Para podermos analisar melhor a série, vamos reescrever o termo geral , buscando ter apenas um expoente:
Agora, veja que a série pode ser reconhecida como uma série geométrica com :
Logo, ela diverge.
Resposta
A série diverge.
Exercício Resolvido #4
Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:
Passo 1
Assim de cara o que eu consigo perceber é que a gente pode separar essa série dessa forma:
Então a boa é estudar cada parte separadamente!
Passo 2
Eita que doidera, mas calma ae, existe um padrão nesse cara, certão?
Então ela é uma série geométrica, com razão , logo ela é convergente
Passo 3
Agora, vamos ver essa série aqui. Também temos um padrão!
Também é uma série geométrica com razão , logo ela é convergente
A subtração de duas séries convergente da uma série convergente, logo a afirmação é falsa!
Resposta
c)Falsa
Exercício Resolvido #5
Calcule a soma da série:
Passo 1
Nós temos que calcular a seguinte soma
O somatório desse jeito é difícil de analisar, então vamos dar uma ajeitada nele para facilitar nosso cálculo.
Uma dica, é deixar a variável em função do menor expoente. Note que o somatório começa em e o menor expoente nos termos do numerador e denominador é . Então vamos deixar os outros expoentes com também, beleza?
Passo 2
Seguindo, vamos combinar as duas parcelas do numerador com o denominador e, assim, criar dois somatórios. Cuidado com as constantes multiplicando cada um deles!
Passo 3
Agora, basta fazer a mudança no índice do somatório: se começa em , então começa em .
Trocando por :
Repara que chegamos em duas séries geométricas. Ambas tem razão menor que e, portanto, são convergentes. Temos também que a soma de uma serie geométrica é dada por,
Substituindo ficamos,