Série geométrica

Teoria Completa

Introdução

O que nós vamos ver aqui agora é tudo sobre um tipo específico de série: a série geométrica. A título de curiosidade, um exemplo desse tipo de série é essa daqui:

∑ n = 0 100 1 2 n

VOCÊ: “Mas por que ela é especial?”

Dê uma olhada nos termos que compõem essa série:

∑ n = 0 100 1 2 n = 1 + 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + … + 1 2 100

Todos eles (com exceção do primeiro) são formados pegando o termo anterior e multiplicando por 1 / 2 , veja com os primeiros termos:

1 2 = 1 2 ⋅ 1

  1 2 2 = 1 2 ⋅ 1 2  

1 2 3 = 1 2 ⋅ 1 2 2

E aí eu te pergunto: qual é o tipo de sequência que é formado pegando o anterior e multiplicando pelo mesmo número (razão)? A resposta é a PROGRESSÃO GEOMÉTRICA. Lembra?

No caso exemplar, a PG que forma a série geométrica é a de termo inicial 1 e razão 1 / 2 :

1 ,   1 2 , 1 2 ⋅ 1 2 , 1 2 ⋅ 1 2 2 ,   … , 1 2 ⋅ 1 2 99 =

1 ,   1 2 , 1 2 2 , 1 2 3 ,   … ,   1 2 100

Agora vem uma pergunta muito importante: qual é a soma dos termos de uma PG?

Soma dos termos de uma PG

Bem, para facilitar a vida vamos ver qual é a soma dos termos da PG do exemplo e depois a gente generaliza:

∑ n = 0 100 1 2 n = S 100

Estamos chamando de S 100 a série que representa a soma da PG. Então...

S 100 = 1 + 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + … + 1 2 100

SHOW! Pra somar isso sem recorrer à ajuda da calculadora, vamos fazer um truque: multiplicar todo mundo por 1 / 2 :

1 2 S 100 = 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + … + 1 2 101

Agora perceba que essas duas igualdades de cima são bem parecidas e que se a gente subtrair uma pela outra, vários termos vão se cancelar:

S 100 - 1 2 S 100 = 1 + 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + … + 1 2 100 - 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + … + 1 2 101   →

S 100 - 1 2 S 100 = 1 + 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + … + 1 2 100 - 1 2 - 1 2 2 - 1 2 3 - … - 1 2 101  

Perceba que todos esses termos do meio são cancelados e os únicos que sobram são o primeiro e o último:

S 100 - 1 2 S 100 = 1 - 1 2 101  

Colocando em evidência o S 100 e isolando-o:

S 100 1 - 1 2 = 1 - 1 2 101   →

S 100 = 1 - 1 2 101 1 - 1 2

Viu só? Esse é o valor dessa PG (consequentemente da série geométrica):

∑ n = 0 100 1 2 n = 1 - 1 2 101 1 - 1 2

Série Geométrica

Com esse resultado, podemos continuar o nosso estudo de séries geométricas generalizando formalmente da seguinte forma:

Se tivermos uma PG de razão r , a série geométrica é a soma dos termos dessa PG:

∑ n = 0 k r n

E o resultado dessa série é a soma dos termos da PG! (basta trocar o que é   1 / 2 por r no resultado da soma da PG exemplar):

∑ n = 0 k r n = 1 - r k + 1 1 - r

Convergência da série geométrica

Até o momento, só vimos qual é o comportamento de uma série geométrica finita, onde k é um número conhecido. Agora o que acontece com a série geométrica infinita? Ou seja, queremos saber qual é o comportamento dessa série aqui:

∑ n = 0 ∞ r n =   ? ? ?

Bem, há de concordar comigo que a resposta depende de quem é a razão r , certo? Por que se r for um número maior que 1 ( r = 2 por exemplo)...

∑ n = 0 ∞ 2 n = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + …

Como os termos da série aumentam cada vez mais é de se esperar que essa série divirja! (O mesmo é válido para r < - 1 )

Agora, o que acontece se:

a )   - 1 < r < 1   ?

b )   r = 1     ?                          

c )   r = - 1     ?                    

CASO A)

Bem, se r for um número entre 1 e - 1 (um número pequeno como r = 1 / 2 por exemplo) é de se esperar que a série convirja, pois estaremos somando termos cada vez menores, exemplo:

∑ n = 0 ∞ 1 2 n = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + …

De fato a gente pode pegar a fórmula da soma para um caso finito (onde k é um número):

∑ n = 0 k 1 2 n = 1 - 1 2 k + 1 1 - 1 2

E jogar o k indo para o infinito dentro de um limite:

∑ n = 0 ∞ 1 2 n = lim k → ∞ ⁡ 1 - 1 2 k + 1 1 - 1 2 =

lim k → ∞ ⁡ 1 - 1 2 k + 1 1 - 1 2

Perceba que quando k vai para infinito, 1 / 2 k + 1   vai para 0 de forma que:

∑ n = 0 ∞ 1 2 n = lim k → ∞ ⁡ 1 - 0 1 - 1 2 = 1 1 - 1 2  

De uma forma geral então, se r for um número entre - 1 e 1 , podemos falar que a série geométrica infinita, ou simplesmente série geométrica, CONVERGE para :

∑ n = 0 ∞ r n = 1 1 - r

CASO B)

r = 1

Esse caso é o mais intuitivo, temos:

∑ n = 0 ∞ 1 k = 1 + 1 + 1 … =

Ora! Essa soma sempre aumenta, logo:

=   ∞

A série diverge.

CASO C)

r = - 1

Aqui nós vamos ter:

∑ n = 0 ∞ - 1 k = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 … =

Repare que se pararmos no - 1 o valor da série vai ser 0 . Mas se pararmos no 1 o valor da série vai ser 1 . Logo, a série nunca converge, ela fica oscilando eternamente entre 0 e 1 !

Resumindo...

A série geométrica é uma série muito especial e que, como todas as outras séries, existem em duas formas: série geométrica finita e série geométrica infinita (ou simplesmente série geométrica):

SÉRIE GEOMÉTRICA FINITA ( k é um número):

∑ n = 0 k r n = 1 - r k + 1 1 - r

E ela serve para qualquer valor de r que você queira.

SÉRIE GEOMÉTRICA:

∑ n = 0 ∞ r n = 1 1 - r

E essa série só converge para r no intervalo de - 1 a 1 :

- 1 < r < 1

OBS: Na maioria dos problemas que você vai enfrentar (inclusiva em provas) a forma infinita é a mais cobrada, então a anote em um papelzinho e cole na porta da sua geladeira, pois ela é muito importante! Bora para os exercícios?

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Exercício Resolvido #1

UNICAMP - Cálculo 3 - P3 2010.2 - 2c

( c ) A série

∑ n = 2 ∞ 1 2 n

é convergente? Caso positivo, calcule a sua soma (o limite das somas parciais).

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Passo 1

Bom, de cara esta é uma série geométrica, com raio r = 1 / 2 . Olha só:

∑ n = 2 ∞ 1 2 n = ∑ n = 2 ∞ 1 2 n

Como r < 1 , ela é convergente.

Passo 2

Olha o truque agora: vamos chamar esse somatório de S :

S = ∑ n = 2 ∞ 1 2 n

Então pra escrever o bom e velho somatório começando de n = 0 , fica assim:

∑ n = 0 ∞ 1 2 n = 1 + 1 2 + ∑ n = 2 ∞ 1 2 n

∑ n = 0 ∞ 1 2 n = 1 + 1 2 + S

Ou seja:

∑ n = 2 ∞ 1 2 n = S

Passo 3

Viu? Mas para a série geométrica começando em n = 0 , temos que:

∑ n = 0 ∞ 1 2 n = 1 1 - r = 1 1 - 1 / 2 = 2

Então é só calcular ali em cima e correr pro abraço...

1 + 1 2 + S = 2

S = 1 2

Resposta

Convergente, S = 1 2

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2014.1 – 1a

Diga se a série abaixo converge ou diverge. No caso da série convergir, calcular o valor da soma.

∑ n = 0 ∞ - 3 n + 1 π n

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Passo 1

Primeiramente vamos reescrever essa série de uma forma que a gente visualize melhor uma maneira de estudar sua convergência. Repara só:

∑ n = 0 ∞ - 3 n + 1 π n = ∑ n = 0 ∞ - 3 n - 3 π n = ∑ n = 0 ∞ - 3 - 3 n π n = ∑ n = 0 ∞ - 3 - 3 π n

Chamando - 3 π = r , vamos olhar pra essa série da seguinte maneira:

∑ n = 0 ∞ - 3 r n

Quem é essa série?? Exatamente ela, a série geométrica!

Passo 2

Agora que já identificamos nossa série, qual o critério para que ela convirja?

r < 1

Passo 3

r = - 3 π = 3 π

Não sabemos o valor exato de π , mas sabemos que ele é um pouco maior que 3, então

r < 1

Ótimo, a série é convergente!

Passo 4

Agora ele quer o valor da soma da série. Basta aplicar nossa formulinha né?

∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 - r

∑ n = 0 ∞ - 3 - 3 π n = - 3 1 1 - - 3 π = - 3 1 π + 3 π = - 3 π π + 3

Resposta

A   s é r i e   c o n v e r g e   e   S = - 3 π π + 3

Exercício Resolvido #3

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 654, exemplo 3

A série ∑ n = 1 ∞ 2 2 n 3 1 - n é convergente ou divergente?

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Passo 1

Para podermos analisar melhor a série, vamos reescrever o termo geral a n , buscando ter apenas um expoente:

2 2 n 3 1 - n =

= 4 n 3 1 - n =

= 4 ∙ 4 n - 1 3 1 - n =

= 4 4 1 - n 3 1 - n =

= 4 3 4 1 - n = 4 4 3 n - 1

Agora, veja que a série pode ser reconhecida como uma série geométrica com r = 4 3 > 1 :

4 ∑ n = 1 ∞ 4 3 n - 1

Logo, ela diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercício Resolvido #4

USP - Cálculo 4 - P1 2010 - 3c

Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:

c )   A   s é r i e   1 - 1 3 + 1 2 - 1 3 2 + 1 2 2 - 1 3 3 + 1 2 3 - … é   d i v e r g e n t e

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Passo 1

Assim de cara o que eu consigo perceber é que a gente pode