EDP’s gerais

Teoria Completa

Introdução

Até o momento, a gente trabalhou basicamente três EDP’s muito bem conhecidas e faladas por todo mundo (ótimo papo bar para você experimentar com o seu amigo rsrs): EDP da equação da Onda, EDP da equação do calor e EDP da equação de Laplace.

Agora, claro que não são as únicas EDP’s existentes no mundo não. Existem infinitas outras que talvez você encontre quando modelar algum problema trabalhando na vida real que não é necessariamente essas três aí de cima. Por exemplo: Suponha que ao modelar um problema sobre o crescimento da nossa humilde e economia, você se depara com essa EDP aqui:

u t = u x x - 2 u x ,     0 < x < L ,       t > 0 u 0 , t = u L , t = 0 ,     t > 0 u x , 0 = f x ,     0 < x < L

Veja que ela não é a EDP da onda, nem a do calor, nem de nada conhecido. Então ela é geral mesmo.

Agora vem a grande pergunta: E agora?! Como resolver?

Bem, a classificação dela pode até ter mudado, mas o método típico de solução não: separação de variáveis!

Método de Resolução

O método se separação de variáveis, para você que não se recorda, consiste em supor que a a solução da EDP possa ser escrita como a multiplicação de funções de uma única variável:

u x , y = X x Y y

Essa suposição só dará certo em EDPs onde seja possível isolar as funções de x e y do jeito que está aí! Não se preocupe, pois na prática, 99,9 % dos exercícios que você vai enfrentar se resolverão assim.

Exemplo

Vamos partir para um exemplo que vai ficar bem mais fácil! Vamos tomar a EDP abaixo:

u t = u x x - 2 u x ,     0 < x < L ,       t > 0 u 0 , t = u L , t = 0 ,     t > 0 u x , 0 = f x ,     0 < x < L

PASSO 1: Vamos supor que a função u possa ser escrita no formato que conversamos de separação de variáveis.

u x , t = X x T ( t )

Substituindo isso na EDP.

X x T ' t = X ' ' x T t - 2 X ' x T ( t )

PASSO 2: Vamos colocar as funções de x de um lado e as de t do outro (separando-as). Veja que podemos fazer isso, pois pois podemos colocar o T t em evidência:

X x T ' t = X ' ' x - 2 X ' x T t →

Agora passar multiplicando...

T ' t T t = X ' ' x - 2 X ' ( x ) X x

Agora vem o detalhe importante das EDPs, como o lado esquerdo da equação não depende de x e o lado direito não depende de t , temos que os dois lados da equação devem ser iguais a uma constante que chamaremos de - λ

T ' t T t = X ' ' x - 2 X ' x X x = - λ

Veja que é bem parecidinho mesmo com a solução das EDP’s conhecidas como o da onda. Beleza, mas disso tiramos as nossas duas EDOs:

X ' ' - 2 X ' = - λ X ,     T ' = - λ T

PASSO 3: Agora falta analisar como vão ficar as condições iniciais no método de separação de variáveis. Do problema, sabemos que:

u 0 , t = u L , t = 0

Então, como u x ,   t = X x ⋅ T t ...

X 0 T ( t ) = X L T ( t ) = 0

Como T ( t ) não pode ser uma solução nula, pois caso fosse teríamos uma solução trivial u x ,   t = 0 , teremos.

X 0 = X L = 0

A condição que tem a função:

u x , 0 = f x

Você não mexe por enquanto.

Então temos tudo para resolver a nossa EDO em X :

X ' ' - 2 X ' = - λ X X 0 = X L = 0

Essa é a ideia: manipular as equações para conseguir resolver uma das EDOs e depois usar a solução dessa EDO para resolver a outra. Vamos ver como fica:

PASSO 4: Temos agora um problema de autovalor. Como a ideia aqui é só entender a solução da EDP geral, não convém fazer problema de autovalor aqui (isso a gente vai ver nos exercícios). Então vamos logo para a solução, ok?

A solução é a seguinte:

X n = e x sen ⁡ λ n - 1   x

Onde...

λ n = 1 + n 2 π 2 L 2 ,     n = 1,2 , …

Ou seja:

X n = e x sen ⁡ n π x L

PASSO 4: Sabendo quais são os nosso λ n nós poderemos resolver a nossa EDO de t .

T ' = - λ T     →

T ' + λ n T = 0

Podemos resolver essa EDO de primeira Ordem homogênea pela Equação Característica (Troca o T ' por um b 1 e T por b 0 ou 1 ):

b + λ n = 0   →

b = - λ n

Então a solução da EDO por equação característica será:

T t = e b t = e - λ n t   →

T n t = e - 1 + n 2 π 2 L 2 t

PASSO 5: Combinando esse dois resultados nós vamos ter a nossa solução da EDP:

u n x ,   t = X n x ⋅ T n t →

u n = e x sen ⁡ n π x L . e - 1 + n 2 π 2 L 2 t

O índice n cerve apenas para te lembrar que essa é apenas uma solução! Se a gente varia o n , vamos obtendo várias funções que também são soluções. Então o que a gente faz? Combinação linear de todas elas! Na prática, basba você falar que asolução u x ,   t é:

u x , t = ∑ n = 0 ∞ c n   u n x , t =

∑ n = 0 ∞ c n   e x sen ⁡ n π x L . e - 1 + n 2 π 2 L 2 t

Show de bola.

PASSO 6: Agora vamos usar aquela outra condição que ele nos deu no problema para determinar o c n :

f x = u x , 0

Então...

f x = ∑ n = 0 ∞ c n   e x sen ⁡ n π x L e 0 = ∑ n = 0 ∞ c n   e x sen ⁡ n π x L →

Podemos tirar a exponencial de x de dentro, já que ela não depende do índice n do somatório:

f x = e x ∑ n = 0 ∞ c n   sen ⁡ n π x L   →

e - x f x = ∑ n = 0 ∞ c n   sen ⁡ n π x L

Tá com aquela cara de série de Fourier né? Agora é só encontrar os coeficientes da série de Fourier usando o método que vocês já sabem:

c n = 2 L ∫ 0 L e - x f x sen ⁡ n π x L d x

Não se preocupe, pois essa função f x e L serão dados. Aí basta integra e descobrir quem são c n !

Usando esses coeficientes na nossa fórmula de u nós teremos a solução da EDP:

u x ,   t = ∑ n = 0 ∞ c n   e x sen ⁡ n π x L . e - 1 + n 2 π 2 L 2 t

Dá trabalho mas a ideia é essa! Só seguir esse passo a passo que basicamente será sucesso. Agora, claro... tem que treinar bastante para não errar nas continhas. Vamos nessa?

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ, Cálculo 4, PF 2014.2, Questão 3

Considere o seguinte problema de Dirichlet no quadrado 0,1 × 0,1 com condições de Neumann:

u t x , t = u x x x , t - 1 0 < x < 1 ,       t > 0 u 0 , t = 0 t ≥ 0 u 1 , t = 1 2 t ≥ 0 u x , 0 = x 2 2 + 2 sen ⁡ 3 π x cos ⁡ 3 π x 0 ≤ x ≤ 1   8 a 8 b 8 c 8 d

  1. Encontre a solução estacionária v x para o problema 8 a - 8 b - 8 c
  2. Seja w x , t = u x , t - v x . Descreva o problema de valores de contorno e de valor inicial que é satisfeito por w
  3. Determine o valor de u 1 2 , t para todo t > 0
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a)

A solução estacionária vai ser aquela que não depende de t , então vamos fazer

u x , t = v x

Assim

u t = 0

u x x = v ' ' x

E vamos ter

v ' ' x - 1 = 0

Assim vamos ter

v x = x 2 2 + c 1 x + c 2

Além disso, vamos ter pelas condições de contorno

u 0 , t = v 0 = 0

u 1 , t = v 1 = 1 2

Assim

0 2 2 + c 1 0 + c 2 = 0

1 2 2 + c 1 . 1 + c 2 = 1 2

Assim, pela primeira equação

c 2 = 0

E pela segunda equação

c 1 = 0

Assim vamos ter

v x = x 2 2

Com os valores de x que ele deu

0 ≤ x ≤ 1

Passo 2

b)

Vamos fazer agora aquela mudança para w que ele falou

w x , t = u x , t - v x

Assim

u x , t = w x , t + v x

As derivadas vão ser

u t x , t = w t x , t

u x x x , t = w x x x , t + v ' ' x

Substituindo na equação vamos ter

w t x , t = w x x x , t + v ' ' x - 1

Lembrando que fizemos v ' ' x = 1 , assim

w t x , t = w x x x , t

Com

0 < x < 1 ,     t > 0

Faltam as condições de contorno e iniciais.

u 0 , t = w 0 , t + v 0 = 0 → w 0 , t + 0 = 0 → w x , t = 0