Lista de Exercícios Resolvidos de Identidade de Parseval

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  1. Determine a série de senos da função f x = π - x , 0 < x < π
  2. Seja S : R → R a soma da série obtida no item a. Determine S x e esboce o gráfico da função y = S x .
  3. Calcule a soma da série

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

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a)Calcule a série de Fourier da Função f x 0 , - π < x ≤ 0 - x 0 ≤ x < π

b)Sabendo que ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 = π 2 6 e usando o item anterior, calcule ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 4

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Sabendo que a série de Fourier de senos de g x = x π - x , em 0 , π é

8 π sen ⁡ x + sen ⁡ 3 x 3 3 + sen ⁡ 5 x 5 3 + …

Calcule

∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 6

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  1. Determine a série de senos da função f x = π - x , 0 < x < π
  2. Seja S : R → R a soma da série obtida no item a. Determine S x e esboce o gráfico da função y = S x .
  3. Calcule a soma da série

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

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Considere a função

f x = x s e - π ≤ x < 0 π - x s e 0 ≤ x < π

  1. Determine a série de Fourier de f
  2. Calcule
  3. ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 2

    E

    ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1

  4. Calcule
  5. ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 4

  6. Calcule a soma da série para x = 7

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a)Sabendo que a série de Fourier de f x = sen ⁡ x ,   x ∈ - π , π   é

S x = 2 π + 4 π ∑ k = 1 ∞ cos ⁡ 2 k x 1 - 4 k 2

Determine

∑ k = 1 ∞ 1 4 k 2 - 1 2

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a)Calcule a série de Fourier da Função f x 0 , - π < x ≤ 0 - x 0 ≤ x < π

b)Sabendo que ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 = π 2 6 e usando o item anterior, calcule ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 4

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Sabendo que a série de Fourier de senos de g x = x π - x , em 0 , π é

8 π sen ⁡ x + sen ⁡ 3 x 3 3 + sen ⁡ 5 x 5 3 + …

  1. Calcule S - π 2 , S 9 e S 10
  2. Calcule

∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 6

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Seja f : R → R a função que é periódica de período 2 π , que no intervalo [ - π , π ) é dada por:

f x = 1 ,       s e   x ∈ ( 0 , π ] 0 ,       x = 0 - 1 ,       s e   x ∈ [ - π , 0 )

E seja S ( x ) a série de Fourier de f ( x ) .

  1. Calcule a expansão em série de Fourier de f x .
  2. Em que pontos x ,   f x ≠ S x ? Justifique.
  3. Use o teorema de Fourier para demonstrar que ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n - 1 = π 4
  4. Use a igualdade de Parseval para mostrar que ∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 2 = π 2 8

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Considere a função f : R → R , periódica de período 2, que no intervalo [ - 1,1 ) é definida por f x = 6 x 5 , e, seja:

S x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x + b n sen ⁡ n π x

A série de Fourier desta função.

  1. Calcule a n
  2. Determine os valores de   x   para os quais f x = S ( x )
  3. Calcule ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 b 2 n - 1
  4. Use a igualdade de Parseval para calcular ∑ n = 1 ∞ b 2 n - 1 2

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Sabendo que a série de Fourier de f x = x 3 - π 2 x 2 ,   x ∈ ( - π , π ) , é dada por:

∑ n = 1 ∞ - 1 n 4 n 3 sen ⁡ n x

Determine

∑ n = 1 ∞ 1 n 6

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Sabe-se que

x π - x = 8 π ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ 2 n - 1 x 2 n - 1 3 ,     0 < x < π

O valor de

∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 6

É:

a   π 4 15

b   π 6 60

c   π 4 64

d   π 4 390

e   π 6 960

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Teste 5: Sabe-se que

x 2 = π 2 3 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 4 n 2 cos ⁡ n x ,   0 < x < π

O valor de ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 é:

  1. π 3 - π 72
  2. π 4 90
  3. π 2 24
  4. π 2 6 - 2 π 2 9

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Considere a função f : R → R , periódica de período 2 , que no intervalo - 1,1 é definida por f x = 8 x 7 e, seja S x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x + b n sen ⁡ n π x

a série de Fourier desta função.

  1. Calcule a n , n = 0,1 , 2 … ;
  2. Determine os valores de x para os quais S x = f x .
  3. Calcule ∑ k = 1 ∞ b 2 k - 1 ;
  4. Use a igualdade de Parseval para calcular ∑ n = 1 ∞ b n 2 .

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Questão 1: Considere a função periódica de período 10 , que no intervalo [ - 5 ,   5 ) é definida por

f x = 2 ,                             - 5 ≤ x < 0 2 - x ,                       0 ≤ x < 5

  1. Escreva a série de Fourier de f , e indique apenas como calcular os seus coeficientes. Calcular o coeficiente a 0 .
  2. Calcule ∑ n = 1 ∞ a n
  3. Calcule ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 a n .
  4. Calcule ∑ n = 1 ∞ a n 2 + b n 2

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Questão 1: Sejam f x = x 5 , - 1 ≤ x ≤ 1 , uma função periódica de período 2 e

S x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x + b n sin ⁡ n π x

x ∈ R a sua série de Fourier.

a) Calcule a n , n = 0 ,   1 ,   2 ,   …

b) Calcule S 2 / 3 e S 1 .

c) Calcule

∑ k = 1 ∞ - 1 k + 1   b 2 k - 1

d) Calcule

∑ k = 1 ∞ b n 2

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Questão 3: Sejam c 0 , c 1 , c 2 , c 3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível

∫ - π π x - c 0 - c 1 cos ⁡ x - c 2 sin ⁡ x - c 3 sin ⁡ 2 x 2 d x

Então c 2 é igual a...

  1. 2
  2. 2 π
  3. 1 2 π
  4. - 1
  5. 1 π .

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Teste 7: A integral

∫ 0 π 2 x - c 1 - c 2 cos ⁡ x 2   d x

Assume seu menor valor para c 1 e c 2 , respectivamente iguais a:

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