Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Calcular todas aquelas integrais da série de Fourier é bem chato né? Vou te mostrar um macete que vai facilitar sua vida. Antes, deixa eu te mostrar uns detalhes técnicos aqui.

Lá na primeira teoria, eu te lembrei o que era uma função par e função ímpar. Agora, vamos ver como fica o produto entre funções?

  1. O produto entre duas funções pares é uma função par (pensa que (+)(+)=(+));
  2. O produto entre duas funções ímpares é uma função par (pensa que (-)(-)=(+));
  3. O produto entre uma função ímpar e uma par é ímpar (pensa que (+)(-)=(-))

E vou te contar mais um detalhezinho sobre as funções pares e ímpares. Se a função for par:

∫ - L L f x d x = 2 ∫ 0 L f x d x

Se a função for ímpar, temos:

∫ - L L f x d x = 0

Fórmula de Euler- Fourier para funções pares e ímpares

Agora vamos aplicar essas ideias para as nossas fórmulas de Fourier (lembra que o seno é ímpar e o cosseno é par).

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen n π x L    

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 1,2 , 3 …

Lembrando que :

2 L = T

Onde T é o período da nossa função

Funções pares

Se f ( x ) é par, então:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ⏟ par = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x ⏟ ímpar = 0

Logo, se f ( x ) é par, sua Série de Fourier apresenta apenas os a n ’s, sendo uma série de cossenos.

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L    

Onde

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x

Ou seja, você não precisa calcular b n ! Pois ele sempre será zero.

Funções ímpares

Se f ( x ) é ímpar, então:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ⏟ ím par = 0

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x ⏟ par = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x

Logo, se f ( x ) é ímpar, sua Série de Fourier apresenta apenas os b n ’s, sendo uma série de senos.

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L    

Onde:

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x

Ou seja, você não precisa calcular a n ! Pois ele sempre será zero.

Uma dica para decorar: como o cosseno é par, se f ( x ) é par ela será uma série de cossenos (logo b n = 0 ). Como o seno é ímpar, se f ( x ) é ímpar ela será uma série de senos (logo a n = 0 ).

Claro que sem se lembrar disso você ainda consegue resolver a questão, mas acaba fazendo contas desnecessárias e perdendo tempo! E o pior: você ainda pode errar alguma coisa no meio dessas contas! Então é uma boa gravar essas propriedades de funções pares e ímpares e saber reconhecer essas funções, ok?

Fórmula de Euler- Fourier para funções pares e ímpares

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Encontre a série de Fourier para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.

f x = 1     s e   0 ≤ x < 1 0       s e   1 ≤ x < 2

Série em cossenos, período 4 .

Passo 1

Vamos começar fazendo o gráfico, para a gente poder visualizar melhor a questão, ok? Primeiro, vamos desenhar os dados do enunciado:

Até aqui nada demais, né? Como a questão pede uma série de cossenos, temos que fazer uma extensão par dessa função. Então, o próximo passo é espelhar isso que desenhamos do eixo y , dessa forma:

Bom, a função tem que ser periódica, né? Então vamos repetir esse padrão, para a esquerda e para a direita.

Pronto, temos então três períodos da função, como pede o enunciado. É bom você sempre desenhar esse tracejado grande para marcar o período da função, para não se perder!

Repare nos pontos de descontinuidade. Como estamos representando a função para qual a série de Fourier converge, nos pontos de salto, a função vale a média dos limites laterais. Nesse caso:

f x + + f x - 2 = 1 + 0 2 = 1 2

Nós colocamos então as bolinhas cheias em y = 1 / 2 (repare que todas as retas tem bolinhas vazias nas suas extremidades).

Passo 2

Beleza, agora temos que representar a função em série de Fourier. Como temos uma série de cossenos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L    

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 0

Como o problema pede (e podemos ver no gráfico), o período da função é 4 . Logo

2 L = 4         →         L = 2

Assim

a n = 2 2 ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x = ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

Passo 3

Agora vamos calcular a 0

Fazendo n = 0 na expressão de a n e L = 2 , temos:

a 0 = ∫ 0 2 f x d x

Agora temos que dividir essa integral em duas, pois f ( x ) vale 1 em 0 < x < 1 e vale 0 em 1 < x < 2 , temos então

a 0 = ∫ 0 1 1   d x + ∫ 1 2 0   d x

a 0 = x 0 1

Logo

a 0 = 1

Passo 4

Agora vamos calcular os outros a n ’s. Temos que:

a n = ∫ 0 2 f x cos ⁡ n π x 2 d x

Dividindo essa integral em duas, como fizemos com a 0 :

a n = ∫ 0 1 1 cos ⁡ n π x 2 d x + ∫ 1 2 0 cos ⁡ n π x 2 d x

a n = 2 n π sen ⁡ n π x 2 0 1

a n = 2 n π sen ⁡ n π 2

Agora vamos analisar esse seno com calma.

Se n é par, ou seja, se n = 2 k

sen ⁡ n π 2   = 0

Logo

a 2 k = 2 2 k π 0 = 0

Agora vamos analisar os n ’s ímpares, fazendo n = 2 k - 1 , temos:

sen ⁡ 1 π 2 = 1           k = 1

sen ⁡ 3 π 2 = - 1           k = 2

sen ⁡ 5 π 2 = 1             k = 3

Logo, para n   ímpar, sendo n = 2 k - 1

sen ⁡ n π 2 = - 1 k + 1

Então, podemos dizer que

a 2 k - 1 = 2 ( 2 k - 1 ) π - 1 k + 1

Passo 5

Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L    

L = 2

a 0 = 1

a 2 k = 2 2 k π 0 = 0

a 2 k - 1 = 2 ( 2 k - 1 ) π - 1 k + 1

b n = 0

O que nos dá

f x = 1 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x 2    

Vamos substituir agora o coeficiente a n . Repare que para n = 2 k , a n se anula, então só estamos interessados nos n ’s ímpares, quando n = 2 k - 1 . Vamos então substituir isso na série.

Fazendo n = 2 k - 1 :

Para k = 1 temos n = 1 , portanto a série deve começar em k = 1 .Temos então

f x = 1 2 + ∑ k = 1 ∞ 2 ( 2 k - 1 ) π - 1 k + 1 cos ⁡ ( 2 k - 1 ) π x 2    

Resposta

f x = 1 2 + ∑ k = 1 ∞ 2 ( 2 k - 1 ) π - 1 k + 1 cos ⁡ ( 2 k - 1 ) π x 2    

Exercício Resolvido #2

Encontre a série de Fourier para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.

f x = x                 0 ≤ x < 1 1             1 ≤ x < 2

Série de senos, período 4 .

Passo 1

Vamos começar fazendo o gráfico, para a gente poder visualizar melhor a questão, ok? Primeiro, vamos desenhar os dados do enunciado:

Até aqui nada demais, né? Como a questão pede uma série de senos, temos que fazer uma extensão ímpar dessa função. Então, o próximo passo é espelhar isso que desenhamos do eixo y , dessa forma:

Mas isso seria uma extensão par, não é? Pra fazermos uma extensão ímpar temos que rebater essa parte azul no eixo x , ou seja, jogar ela para baixo:

Certo, o período da função que queremos é então essa parte verde mais a vermelha! Como esse é o padrão que se repete, vamos copiá-lo, tanto para a esquerda como para a direita, olha só:

Pronto, temos então três períodos da função, como pede o enunciado. É bom você sempre desenhar esse tracejado grande para marcar o período da função, para não se perder!

Repare nos pontos de descontinuidade. Como estamos representando a função para qual a série de Fourier converge, nos pontos de salto, a função vale a média dos limites laterais. Nesse caso:

f x + + f x - 2 = 1 - 1 2 = 0

Nós colocamos então as bolinhas cheias em y = 0 repare que todas as retas tem bolinhas vazias nas suas extremidades). Não poderia ser diferente, né? Uma extensão periódica ímpar sempre apresenta:

f L = - f - L = 0

Como a gente já viu.

Passo 2

Beleza, agora vamos montar o problema. Como a função é ímpar, temos o seguinte:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L    

a n = 0 ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

Como o período da função é 4 como o enunciado pediu, temos:

2 L = 4     →     L = 2

Passo 3

Vamos calcular os b n ’s. Temos que:

b n = ∫ 0 2 f x sen ⁡ n π x 2 d x

Como temos mais de uma expressão para f ( x ) em 0 < x < 2 , precisamos dividir essa integral em duas:

b n = ∫ 0 1 x sen ⁡ n π x 2 d x + ∫ 1 2 1 sen ⁡ n π x 2 d x

b n = ∫ 0 1 x sen ⁡ n π x 2 d x - 2 n π cos ⁡ n π x 2 1 2

b n = ∫ 0 1 x sen ⁡ n π x 2 d x - 2 n π cos ⁡ n π + 2 n π cos ⁡ n π 2

Agora vamos fazer a integração por partes:

u = x       →       u ' = 1

v ' = sen ⁡ n π x 2       →         v = - 2 n π c o s n π x 2

b n = - 2 x n π cos ⁡ n π x 2 0 1 + ∫ 0 1 2 n π cos ⁡ n π x 2 d x - 2 n π cos ⁡ n π + 2 n π cos ⁡ n π 2

b n = - 2 n π cos ⁡ n π 2 + 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π x 2 0 1 - 2 n π cos ⁡ n π + 2 n π cos ⁡ n π 2

b n = 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π 2 - 2 n π cos ⁡ n π

Como essa expressão é um pouco complexa (já que envolve seno e cosseno), não vamos fazer aquela análise para n ’s pares e ímpares ok? Vamos deixar assim mesmo.

Passo 4

Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x 2    

L = 2

a n = 0

b n = 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π 2 - 2 n π cos ⁡ n π

O que nos dá

f x = ∑ n = 1 ∞ 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π 2 - 2 n π cos ⁡ n π sen ⁡ n π x 2        

Resposta

f x = ∑ n = 1 ∞ 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π 2 - 2 n π cos ⁡ n π sen ⁡ n π x 2

Exercício Resolvido #3

Seja f : R → R uma função de período 2 π tal que f x = π - x 2 para todo x ∈ 0 , π .

  1. Sabendo que f é uma função ímpar, determine a expressão de f no intervalo [ - π , 0 ] .
  2. Determine a série de Fourier da função f .
  3. Usando o item (b), calcule a soma da série numérica ∑ n = 1 ∞ s e n   n n . Justifique sua resposta.

Passo 1

Letra a)

Vamos fazer um desenho dessa expansão de f , ok?

Essa é a definição de f ( x ) que o problema deu de 0 a π :

Vamos fazer a extensão ímpar dessa função, porque o problema pede uma série de senos. Primeiro nós espelhamos ela em relação ao eixo y

Espelhamos essa reta azul no eixo x :

O período de f - é então essa parte verde mais a vermelha, para termos uma função em série de senos temos que ter f x ímpar como já vimos, para isso devemos pegar a função entre – π e π , fazendo essa marotagem que fizemos ali de espelhar no eixo y e depois no eixo x , isso garante que nossa função seja ímpar, mas para isso tudo dar certo temos que pegar de – π à π fazendo o período ser 2 π

Passo 2

Tá, mas o que o problema pede é a expressão de f para [ - π , 0 ) . Nós sabemos que

f x = π - x 2

para todo x ∈ 0 , π .

Como a função é ímpar, sabemos que

f x = - f - x

Logo, a expressão de f para o intervalo que o problema quer é dada por:

- f - x = - π - - x 2 = - x - π 2

Passo 3

Letra b)

Beleza, agora vamos montar o problema. Como a função é ímpar, temos o seguinte:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L    

a n = 0

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

Como o período da função é 2 π , temos:

2 L = 2 π     →     L = π

Passo 4

Vamos calcular os b n ’s. Temos que:

b n = 2 π ∫ 0 π f x sen ⁡ ( n x ) d x

Agora vamos substituir a expressão de f ( x ) :

π - x 2

b n = 2 π ∫ 0 π π - x 2   sen ⁡ ( n x ) d x

b n = ∫ 0 π   sen ⁡ ( n x ) d x - 1 π ∫ 0 π x   sen ⁡ ( n x ) d x

b n = - 1 n c o s ( n x ) 0 π - 1 π ∫ 0 π x   sen ⁡ ( n x ) d x

b n = - 1 n [ cos ⁡ n π - 1 ] - 1 π ∫ 0 π x   sen ⁡ ( n x ) d x

Agora vamos fazer a integração por partes:

u = x       →       u ' = 1

v ' = sen ⁡ n x       →         v = - 1 n cos ⁡ ( n x )

b n = - 1 n cos ⁡ n π - 1 - 1 π - x n cos ⁡ n x 0 π - ∫ 0 π - 1 n cos ⁡ n x d x

b n = - 1 n cos ⁡ n π - 1 - 1 π - π n cos ⁡ n π + ∫ 0 π 1 n cos ⁡ n x d x

b n = - 1 n cos ⁡ n π - 1 - 1 π - π n cos ⁡ n π + 1 n 2 sen ⁡ ( n x ) 0 π

b n = - 1 n cos ⁡ n π - 1 - 1 π - π n cos ⁡ n π + 1 n 2 sen ⁡ ( n π )

b n = - 1 n cos ⁡ n π - 1 - 1 π - π n cos ⁡ n π + 0

b n = - 1 n cos ⁡ n π - 1 + 1 n cos ⁡ n π

b n = 1 n

Passo 5

Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L    

L = π

a n = 0

b n = 1 n

O que nos dá

f x = ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ ( n x ) n        

Passo 6

Letra c)

Como f é seccinalmente contínua, temos que

f x = ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ ( n x ) n        

Em todo ponto de continuidade de f . E, como f é contínua em x = 1 , temos:

f 1 = ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ ( n ) n   = π - 1 2    

Resposta

  1. x - π 2
  2. f x = ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ ( n x ) n        
  3. π - 1 2

Exercício Resolvido #4

Seja f a função ímpar, periódica de período 2 π e tal que f x = π - x se 0 ≤ x ≤ π .

( a ) Encontre a série de Fourier de f .

( b ) Mostre que

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n - 1 = π 4

Passo 1

( a ) Para calcular a série de Fourier, primeiro identificamos o período P = 2 L = 2 π . Portanto, L = π .

Assim, a série é dada por:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n s e n n π x L

Passo 2

Beleza, mas qual é a extensão ímpar da função?

É a seguinte:

f x = - π - x ,       - π ≤ x ≤ 0 π - x ,       0 ≤ x ≤ π       e       f x + 2 π = f ( x )

Já dá pra ter uma ideia que é uma função dente de serra né... ok, vamos as contas agora!

Passo 3

Para calcular os coeficientes da Série de Fourier, lembremos que a função é ímpar. Ou seja, só sobram os termos em seno.

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

b n = 1 π ∫ - π π f x sen ⁡ n x d x

Como f ( x ) e s e n   ( n x ) são ímpares, seu produto é par. Assim,

b n = 2 π ∫ 0 π ( π - x ) sen ⁡ n x d x

b n = 2 π ∫ 0 π π sen ⁡ n x d x - 2 π ∫ 0 π x sen ⁡ n x d x

b n = 2 ∫ 0 π sen ⁡ n x d x - 2 π ∫ 0 π x sen ⁡ n x d x

Passo 4

Para o segundo termo, vamos usar integração por partes:

∫     x ⏟ u sen ⁡ n x ⏟ v ' d x = x ⏟ u - cos ⁡ n x n ⏟ v - ∫     1 ⏟ u ' . - cos ⁡ n x n ⏟ v d x

∫     x sen ⁡ n x d x = - x cos ⁡ n x n + ∫     cos ⁡ n x n d x

∫     x sen ⁡ n x d x = - x cos ⁡ n x n + s e n   ( n x ) n 2

Substituindo:

b n = 2 - cos ⁡ n x n 0 π - 2 π - x cos ⁡ n x n + s e n   ( n x ) n 2 0 π

b n = 2 - cos ⁡ n π n + 1 n - 2 π - π cos ⁡ n π n

b n = 2 n

Passo 5

Então, nós obtemos que

f x = ∑ n = 1 ∞ b n   s e n n x

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 n   s e n n x

Passo 6

( b ) Para mostrar que

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n - 1 = π 4

vamos fazer o seguinte: vamos tomar x = π 2 (você vai ver que os senos serão fáceis de calcular assim!).

Pela série de Fourier, temos:

f π 2 = ∑ n = 1 ∞ 2 n   s e n n π 2

Mas, da expressão de f ( x ) , sabemos que f π 2 = π - π 2 = π 2 . Assim, podemos afirmar

∑ n = 1 ∞ 2 n   s e n n π 2 = π 2

Passo 7

Perfeito, agora vamos olhar pro somatório: se n for ímpar, o seno dá ± 1 ; se n for par, o seno dá 0 . Então vamos escrever n = 2 k - 1 :

∑ k = 1 ∞ 2 2 k - 1   s e n ( 2 k - 1 ) π 2 = π 2

Se k for ímpar, o seno dá 1 ; se k for par, o seno dá - 1 . Pronto, isso é - 1 k + 1 .

∑ k = 1 ∞ 2 2 k - 1   - 1 k + 1 = π 2

E, finalmente:

∑ k = 1 ∞ - 1 k + 1 2 k - 1   = π 4

Agora, se você troca k por n (o que dá na mesma), obtemos a relação desejada!

Resposta

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 n   s e n n x

Exercício Resolvido #5

Seja f x = x 2 - 1 ,   x ∈ ( 0 , π )

a)Determine a série de Fourier de senos de f

b)Mostre que a série de Fourier de senos de f converge para uma função S : R → R e esboce o gráfico da função em [ - 2 π ,   2 π ]

c)Determine S 1863 π 2

Passo 1

a)Calma galera, você pode estar pensando, mas cara, essa função é par!!! Como fazer ela como uma série de Fourier de seno se essa série só existe pra função ímpar? Mas opa, ele só definiu a função de ] 0 , π [ , se a gente definir f x = - x 2 + 1 em ] - π , 0 [ , pronto esse moleque é ímpar!

Bem bem, a série de Fourier de seno é:

f x = ∑ k = 1 ∞ b n sen( k x )

b k = 2 π ∫ 0 π f x sen ⁡ ( k x ) d x = 2 π ∫ 0 π ( - 1 + x 2 ) sen ⁡ ( k x ) d x = 2 π [ - ∫ 0 π sen ⁡ k x d x + ∫ 0 π x 2 sen ⁡ ( k x ) d x ]

V a m o s     r e s o l v e r   a s   i n t e g r a i s   p a r a   d e t e r m i n a r   b k ,   v o u   r e s o l v e r   e l a s   i n d e t e r m i n a d a s :

- ∫ sen ⁡ k x d x = cos ⁡ k x k

A segunda integral vamos resolver de forma indeterminada primeiro, ela é maiorzinha:

∫ x 2 sen ⁡ k x d x = ?

Vamos fazer uma integração por partes:

u = x 2 → d u = 2 x d x

d v = sen ⁡ ( k x ) d x → v = - cos ⁡ k x k

Assim fica:

∫ x 2 sen ⁡ k x d x = - x 2 cos ⁡ k x k + ∫ cos ⁡ k x k 2 x d x = - x 2 cos ⁡ k x k + 2 k ∫ x cos ⁡ k x d x

Agora para resolver essa outra integral, novamente outra integração por partes:

u = x → d u = d x

d v = cos ⁡ ( k x ) d x → v = sen ⁡ k x k

Então simbora:

∫ x 2 sen ⁡ k x d x = - x 2 cos ⁡ k x k + 2 k x sen ⁡ k x k - ∫ sen ⁡ k x k d x

Desenvolvendo:

∫ x 2 sen ⁡ k x d x = - x 2 cos ⁡ k x k + 2 x k 2 sen ⁡ k x + 2 k 3 cos ⁡ ( k x )  

Então vimos que:

∫ ( - 1 + x 2 ) sen ⁡ ( k x ) d x = - ∫ sen ⁡ k x d x + ∫ x 2 sen ⁡ ( k x ) d x

Substituindo:

∫ 0 π ( - 1 + x 2 ) sen ⁡ ( k x ) d x = cos ⁡ k x k - x 2 cos ⁡ k x k + 2 x k 2 sen ⁡ k x + 2 k 3 cos ⁡ k x 0 π  

∫ 0 π ( - 1 + x 2 ) sen ⁡ ( k x ) d x = cos ⁡ k π k - π 2 cos ⁡ k π k + 2 k 3 cos ⁡ k π - 1 k - 2 k 3

Mas: cos ⁡ ( k π ) = ( - 1 ) n

∫ 0 π ( - 1 + x 2 ) sen ⁡ ( k x ) d x = ( - 1 ) n k - π 2 ( - 1 ) n k + 2 k 3 ( - 1 ) n - 1 k - 2 k 3

∫ 0 π ( - 1 + x 2 ) sen ⁡ ( k x ) d x = k 2 - 1 n - π 2 k 2 - 1 n + 2 - 1 n - k 2 - 2 k 3

Assim finalmente:

b k = 2 π [ ∫ 0 π ( - 1 + x 2 ) sen ⁡ ( k x ) d x ]

b k = 2 π k 2 - 1 n - π 2 k 2 - 1 n + 2 - 1 n - k 2 - 2 k 3

E com isso a série de Fourier de seno fica definida:

f x = ∑ k = 1 ∞ b n sen( k x )

Passo 2

b)A extensão dessa função é seccionalmente contínua, e seccionalmente de classe C 1 , logo pelo teorema de convergência da série de Fourier, esta série converge a toda extensão em x ∈ R , exceto nos pontos de descontinuidade!

Então a função fica assim:

f x = x 2 - 1 ,   x ∈ 0 , π f x = 1 - x 2 , x ∈ - π , 0

E é só repetir o período que não tem erro!

O gráfico ficou:

Passo 3

c)   S 1863 π 2 = ?

Ae tu fica, “É clã, soldado morreu na trincheira” Mas calma, lembra que isso é uma função periódica e uma função ímpar, a cada 1 período a área necessariamente tem que dar zero!, vamos reescrever isso:

S 1863 π 2 = S 465 ( 2 π ) + 3 π 2 = S 3 π 2

Para facilitar mais ainda, podemos tirar mais coisa:

S 3 π 2 = S 3 π 2 - 2 π = S - π 2

Mas opa, a gente viu que dentro de ( - π , 0 ) a função que rege isso é:

f x = 1 - x 2 = S ( x )

Logo:

S π 2 = 1 - π 2 2 = 1 - π 2 4

Resposta

a)

b k = 2 π k 2 - 1 n - π 2 k 2 - 1 n + 2 - 1 n - k 2 - 2 k 3

f x = ∑ k = 1 ∞ b n sen( k x )

b) A extensão dessa função é seccionalmente contínua, e seccionalmente de classe C 1 , logo pelo teorema de convergência da série de Fourier, esta série converge a toda extensão em x ∈ R , exceto nos pontos de descontinuidade

c) S π 2 = 1 - π 2 4

Exercício Resolvido #6

Determine c 1 , c 2 ∈ R de modo que

∫ 0 π cos ⁡ x - c 1 sen ⁡ x - c 2 sen ⁡ 2 x 2 d x

Seja mínimo.

Passo 1

b)

Galera, pensa comigo, pra minimizar aquela integral que ele quer, basta minimizar o cara ao quadrado

cos ⁡ x - c 1 sen ⁡ x - c 2 sen ⁡ 2 x

Repara que o período da integral é de 0 a π , isso nos dá uma ideia de que queremos uma extensão da função na verdade, isso porque ela só está definida naquele intervalo que ele deu.

𝐴 gente pode pensar no seguinte, a gente usa série de Fourier para aproximar funções, certo?

E se fizemos essa função que esta subtraindo de cos ⁡ x tender a ela mesma, opa, então esse cara vai tender a ser cada vez menor, estamos minimizando!

Então vamos calcular os coeficientes da série de Fourier da extensão de cos ⁡ x e eles serão c 1 e c 2 !

O primeiro detalhe é, mas qual a extensão que vamos tomar, a par ou a ímpar? Como queremos que apareça só seno ali vamos pegar a extensão ímpar daquela função.

Mas cuidado, estamos fazendo isso porque o termo que tá dentro da integral está a cara da série de Fourier, mas perceba que são os termos do somatório em 1 e 2 .

Assim

c 1 = b 1

c 2 = b 2

Sempre que ele pedir para minimizar essa parada é só fazer desse jeito.

Passo 2

A primeira coisa a fazer é a extensão ímpar daquela função, vamos chamar f ~ essa extensão ímpar.

Nesse caso só queremos os coeficientes da série de Fourier, então não vamos nos preocupar em achar o gráfico dessa extensão nem nada. Lembrando que quando pegamos uma extensão ímpar de f x vamos ter

a n = 0

E

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n x d x

A grande questão é, qual o limite dessa parada? Repara que eu falei de uma extensão ímpar daquela função que está no intervalo de 0 à π , então o nosso período vai ser 2 π , isso nos diz que

2 L = 2 π

E

L = π

Então

b n = 2 π ∫ 0 π cos ⁡ x sen ⁡ n x d x

Passo 3

Vamos agora achar b 1 e b 2 , começando com b 1

b 1 = 2 π ∫ 0 π cos ⁡ x sen ⁡ x d x

Podemos escrever essa integral assim

b 1 = 2 π ∫ 0 π 2 cos ⁡ x sen ⁡ x d x - 2 π ∫ π 2 π cos ⁡ x sen ⁡ x d x

Lembrando que

cos ⁡ x sen ⁡ x = sen ⁡ 2 x 2

Vamos ter

b 1 = 2 π ∫ 0 π 2 sen ⁡ 2 x 2 d x - 2 π ∫ π 2 π sen ⁡ 2 x 2 d x

b 1 = 2 π - cos ⁡ 2 x 4 0 π / 2 - 2 π - cos ⁡ 2 x 4 π / 2 π

b 1 = 2 π - cos ⁡ π 4 - - cos ⁡ 0 4 - 2 π - cos ⁡ 2 π 4 - - cos ⁡ π 4

b 1 = 2 π 1 4 + 1 4 - 2 π - 1 4 - 1 4

b 1 = 2 π 1 2 + 2 π 1 2

b 1 = 2 π

Passo 4

Vamos agora achar b 2

b 2 = 2 π ∫ 0 π cos ⁡ x sen ⁡ 2 x d x

Podemos escrever essa integral assim

b 2 = 2 π ∫ 0 π 2 cos ⁡ x sen ⁡ 2 x d x - 2 π ∫ π 2 π cos ⁡ x sen ⁡ 2 x d x

Lembrando que

cos ⁡ x sen ⁡ 2 x = sen ⁡ 3 x + sen ⁡ x 2

Vamos ter

b 2 = 2 π ∫ 0 π 2 sen ⁡ 3 x + sen ⁡ x 2 d x - 2 π ∫ π 2 π sen ⁡ 3 x + sen ⁡ x 2 d x

b 2 = 2 π - cos ⁡ 3 x 6 - cos ⁡ x 2 0 π / 2 - 2 π - cos ⁡ 3 x 6 - cos ⁡ x 2 π / 2 π

b 2 = 2 π - cos ⁡ 3 π 2 6 - cos ⁡ π 2 2 - - cos ⁡ 0 6 - cos ⁡ 0 2 - 2 π - cos ⁡ 3 π 6 - cos ⁡ π 2 - - cos ⁡ 3 π 2 6 - cos ⁡ π 2 2

b 2 = 2 π 1 6 + 1 2 - 2 π 1 6 + 1 2

b 2 = 0

Passo 5

Então vamos ter

c 1 = 2 π

c 2 = 0

Resposta

c 1 = 2 π

c 2 = 0

Exercício Resolvido #7

  1. Determine a série de Fourier em cossenos da função:

f : 0,1 → R

x → 1 - x

Passo 1

Letra a)

Vamos começar fazendo o gráfico dessa função. Como o problema pede uma série de cossenos, sabemos que queremos uma extensão par de f , certo?

Então, desenhamos f em [ 0,1 ] (em vermelho), espelhamos esse desenho em relação a y (em azul) e repetimos esse período (em verde):

Passo 2

Beleza, agora vamos montar o problema. Como a função é par, temos o seguinte:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L    

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 0

Como o período dessa função é 2 , temos f x = f ( x + 2 ) ,esse é intervalo em que ela se repete. Lembra que a função representada por Série de Fourier tem que ser 2 L periódica? Então

2 L = 2     →     L = 1

Passo 3

Agora vamos calcular a 0

Fazendo n = 0 na expressão de a n e L = 1 , temos:

a 0 = 2 ∫ 0 1 f x d x

Como f x = 1 - x em 0 < x < 2 , temos:

a 0 = 2 ∫ 0 1 1 - x   d x = 2 x - x 2 2 0 1 = 1

Logo

a 0 = 1

Passo 4

Agora vamos calcular os outros a n ’s. Temos que:

a n = 2 ∫ 0 1 f x cos ⁡ n π x d x

O que nos dá

a n = 2 cos ⁡ n π x d d x - 2 ∫ 0 1 x cos ⁡ n π x

a n = 2 n π s e n ( n π x ) 0 1 - 2 ∫ 0 1 x cos ⁡ n π x d d x

a n = - 2 ∫ 0 1 x cos ⁡ n π x d x

Agora vamos fazer a integração por partes:

u = x       →       u ' = 1

v ' = cos ⁡ n π x       →         v = 1 n π sen ⁡ n π x

a n = - 2 x n π sen ⁡ v 0 1 + ∫ 0 1 2 n π sen ⁡ n π x d x

a n = - 2 n 2 π 2 cos ⁡ n π x 0 1

a n = - 2 n 2 π 2 cos ⁡ ( n π ) - 1

Como

cos ⁡ n π = - 1       n   é   í m p a r 1       n   é   p a r

Podemos escrever então

a n = - 2 n 2 π 2 - 1 - 1 = 4 n 2 π 2       n   é   í m p a r - 2 n 2 π 2 1 - 1 = 0             n   é   p a r                                    

Guarde isso!

Passo 5

Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x 2    

L = 1

a 0 = 1

a n = 4 n 2 π 2       n   é   í m p a r 0             n   é   p a r                                    

b n = 0

O que nos dá

f x = 1 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x    

Deixamos o a n por último que é mais chatinho.

Não podemos escrever direto a n = 4 n 2 π 2 no somatório porque isso só vale para n ímpar! Vamos definir então n = 2 k + 1 , porque isso garante que temos índices ímpares, ok? Para k = 0 temos n = 1 , portanto a série deve começar em k = 0 . Temos então

f x = 1 2 + ∑ k = 0 ∞ 4 ( 2 k + 1 ) 2 π 2 cos ⁡ 2 k + 1 π x    

Você pode poderia ter definido n = 2 k - 1 , porém, nesse caso, o somatório iria começar em k = 1 .

Resposta

  1. f x = 1 2 + ∑ k = 0 ∞ 4 ( 2 k + 1 ) 2 π 2 cos ⁡ 2 k + 1 π x    

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Sejam v 1 ,v 2 e v 3 três vetores ortogonais dois a dois em três dimensões, e seja u qualquer vetor tridimensional. Mostre que u = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 , Em que a i = u ∙ v i v i ∙ v i , i
f x = x 2 2 ,- 2 ≤ x2 f x + 4 = f ( x ) (a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.(b) Encontre a série de Fourier para a equação dada.(c) Faça o gráfico da soma parcial s m ( x ) em função
Considere a função f definida no problema 21, e seja e m = f x - s m ( x ) . f x = x 2 2 ,- 2 ≤ x2 f x + 4 = f ( x ) (a) Faça o gráfico de e m ( x ) em função de x para 0 ≤ x ≤ 2 para diversos valores
f x = x ,- 1 ≤ x1 f x + 2 = f ( x ) (a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.(b) Encontre a série de Fourier para a equação dada.(c) Faça o gráfico da soma parcial s m ( x ) em função de
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine se a função dada é periódica. Se for, encontre seu período fundamental. x 2