Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

Teoria Completa

Calcular todas aquelas integrais da série de Fourier é bem chato né? Vou te mostrar um macete que vai facilitar sua vida. Antes, deixa eu te mostrar uns detalhes técnicos aqui.

Lá na primeira teoria, eu te lembrei o que era uma função par e função ímpar. Agora, vamos ver como fica o produto entre funções?

  1. O produto entre duas funções pares é uma função par (pensa que (+)(+)=(+));
  2. O produto entre duas funções ímpares é uma função par (pensa que (-)(-)=(+));
  3. O produto entre uma função ímpar e uma par é ímpar (pensa que (+)(-)=(-))

E vou te contar mais um detalhezinho sobre as funções pares e ímpares. Se a função for par:

∫ - L L f x d x = 2 ∫ 0 L f x d x

Se a função for ímpar, temos:

∫ - L L f x d x = 0

Fórmula de Euler- Fourier para funções pares e ímpares

Agora vamos aplicar essas ideias para as nossas fórmulas de Fourier (lembra que o seno é ímpar e o cosseno é par).

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen n π x L    

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 1,2 , 3 …

Lembrando que :

2 L = T

Onde T é o período da nossa função

Funções pares

Se f ( x ) é par, então:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ⏟ par = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x ⏟ ímpar = 0

Logo, se f ( x ) é par, sua Série de Fourier apresenta apenas os a n ’s, sendo uma série de cossenos.

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L    

Onde

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x

Ou seja, você não precisa calcular b n ! Pois ele sempre será zero.

Funções ímpares

Se f ( x ) é ímpar, então:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ⏟ ím par = 0

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x ⏟ par = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x

Logo, se f ( x ) é ímpar, sua Série de Fourier apresenta apenas os b n ’s, sendo uma série de senos.

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L    

Onde:

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x

Ou seja, você não precisa calcular a n ! Pois ele sempre será zero.

Uma dica para decorar: como o cosseno é par, se f ( x ) é par ela será uma série de cossenos (logo b n = 0 ). Como o seno é ímpar, se f ( x ) é ímpar ela será uma série de senos (logo a n = 0 ).

Claro que sem se lembrar disso você ainda consegue resolver a questão, mas acaba fazendo contas desnecessárias e perdendo tempo! E o pior: você ainda pode errar alguma coisa no meio dessas contas! Então é uma boa gravar essas propriedades de funções pares e ímpares e saber reconhecer essas funções, ok?

Expandir

Exercício Resolvido #1

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 321. Exercício 15

Encontre a série de Fourier para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.

f x = 1     s e   0 ≤ x < 1 0       s e   1 ≤ x < 2

Série em cossenos, período 4 .

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Passo 1

Vamos começar fazendo o gráfico, para a gente poder visualizar melhor a questão, ok? Primeiro, vamos desenhar os dados do enunciado:

Até aqui nada demais, né? Como a questão pede uma série de cossenos, temos que fazer uma extensão par dessa função. Então, o próximo passo é espelhar isso que desenhamos do eixo y , dessa forma:

Bom, a função tem que ser periódica, né? Então vamos repetir esse padrão, para a esquerda e para a direita.

Pronto, temos então três períodos da função, como pede o enunciado. É bom você sempre desenhar esse tracejado grande para marcar o período da função, para não se perder!

Repare nos pontos de descontinuidade. Como estamos representando a função para qual a série de Fourier converge, nos pontos de salto, a função vale a média dos limites laterais. Nesse caso:

f x + + f x - 2 = 1 + 0 2 = 1 2

Nós colocamos então as bolinhas cheias em y = 1 / 2 (repare que todas as retas tem bolinhas vazias nas suas extremidades).

Passo 2

Beleza, agora temos que representar a função em série de Fourier. Como temos uma série de cossenos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L    

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 0

Como o problema pede (e podemos ver no gráfico), o período da função é 4 . Logo

2 L = 4         →         L = 2

Assim

a n = 2 2 ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x = ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

Passo 3

Agora vamos calcular a 0

Fazendo n = 0 na expressão de a n e L = 2 , temos:

a 0 = ∫ 0 2 f x d x

Agora temos que dividir essa integral em duas, pois f ( x ) vale 1 em 0 < x < 1 e vale 0 em 1 < x < 2 , temos então

a 0 = ∫ 0 1 1   d x + ∫ 1 2 0   d x

a 0 = x 0 1

Logo

a 0 = 1

Passo 4

Agora vamos calcular os outros a n ’s. Temos que:

a n = ∫ 0 2 f x cos ⁡ n π x 2 d x

Dividindo essa integral em duas, como fizemos com a 0 :

a n = ∫ 0 1 1 cos ⁡ n π x 2 d x + ∫ 1 2 0 cos ⁡ n π x 2 d x

a n = 2 n π sen ⁡ n π x 2 0 1

a n = 2 n π sen ⁡ n π 2

Agora vamos analisar esse seno com calma.

Se n é par, ou seja, se n = 2 k

sen ⁡ n π 2   = 0

Logo

a 2 k = 2 2 k π 0 = 0

Agora vamos analisar os n ’s ímpares, fazendo n = 2 k - 1 , temos:

sen ⁡ 1 π 2 = 1           k = 1

sen ⁡ 3 π 2 = - 1           k = 2

sen ⁡ 5 π 2 = 1             k = 3

Logo, para n   ímpar, sendo n = 2 k - 1

sen ⁡ n π 2 = - 1 k + 1

Então, podemos dizer que

a 2 k - 1 = 2 ( 2 k - 1 ) π - 1 k + 1

Passo 5

Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L    

L = 2

a 0 = 1

a 2 k = 2 2 k π 0 = 0

a 2 k - 1 = 2 ( 2 k - 1 ) π - 1 k + 1

b n = 0

O que nos dá

f x = 1 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x 2    

Vamos substituir agora o coeficiente a n . Repare que para n = 2 k