Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

Teoria Completa

Calcular todas aquelas integrais da série de Fourier é bem chato né? Vou te mostrar um macete que vai facilitar sua vida. Antes, deixa eu te mostrar uns detalhes técnicos aqui.

Lá na primeira teoria, eu te lembrei o que era uma função par e função ímpar. Agora, vamos ver como fica o produto entre funções?

  1. O produto entre duas funções pares é uma função par (pensa que (+)(+)=(+));
  2. O produto entre duas funções ímpares é uma função par (pensa que (-)(-)=(+));
  3. O produto entre uma função ímpar e uma par é ímpar (pensa que (+)(-)=(-))

E vou te contar mais um detalhezinho sobre as funções pares e ímpares. Se a função for par:

∫ - L L f x d x = 2 ∫ 0 L f x d x

Se a função for ímpar, temos:

∫ - L L f x d x = 0

Fórmula de Euler- Fourier para funções pares e ímpares

Agora vamos aplicar essas ideias para as nossas fórmulas de Fourier (lembra que o seno é ímpar e o cosseno é par).

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen n π x L    

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 1,2 , 3 …

Lembrando que :

2 L = T

Onde T é o período da nossa função

Funções pares

Se f ( x ) é par, então:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ⏟ par = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x ⏟ ímpar = 0

Logo, se f ( x ) é par, sua Série de Fourier apresenta apenas os a n ’s, sendo uma série de cossenos.

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L    

Onde

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x

Ou seja, você não precisa calcular b n ! Pois ele sempre será zero.

Funções ímpares

Se f ( x ) é ímpar, então:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ⏟ ím par = 0

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x ⏟ par = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x

Logo, se f ( x ) é ímpar, sua Série de Fourier apresenta apenas os b n ’s, sendo uma série de senos.

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L    

Onde:

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x

Ou seja, você não precisa calcular a n ! Pois ele sempre será zero.

Uma dica para decorar: como o cosseno é par, se f ( x ) é par ela será uma série de cossenos (logo b n = 0 ). Como o seno é ímpar, se f ( x ) é ímpar ela será uma série de senos (logo a n = 0 ).

Claro que sem se lembrar disso você ainda consegue resolver a questão, mas acaba fazendo contas desnecessárias e perdendo tempo! E o pior: você ainda pode errar alguma coisa no meio dessas contas! Então é uma boa gravar essas propriedades de funções pares e ímpares e saber reconhecer essas funções, ok?

Expandir

Exercício Resolvido #1

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 321. Exercício 15

Encontre a série de Fourier para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.

f x = 1     s e   0 ≤ x < 1 0       s e   1 ≤ x < 2

Série em cossenos, período 4 .

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Passo 1

Vamos começar fazendo o gráfico, para a gente poder visualizar melhor a questão, ok? Primeiro, vamos desenhar os dados do enunciado:

Até aqui nada demais, né? Como a questão pede uma série de cossenos, temos que fazer uma extensão par dessa função. Então, o próximo passo é espelhar isso que desenhamos do eixo y , dessa forma:

Bom, a função tem que ser periódica, né? Então vamos repetir esse padrão, para a esquerda e para a direita.

Pronto, temos então três períodos da função, como pede o enunciado. É bom você sempre desenhar esse tracejado grande para marcar o período da função, para não se perder!

Repare nos pontos de descontinuidade. Como estamos representando a função para qual a série de Fourier converge, nos pontos de salto, a função vale a média dos limites laterais. Nesse caso:

f x + + f x - 2 = 1 + 0 2 = 1 2

Nós colocamos então as bolinhas cheias em y = 1 / 2 (repare que todas as retas tem bolinhas vazias nas suas extremidades).

Passo 2

Beleza, agora temos que representar a função em série de Fourier. Como temos uma série de cossenos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L    

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 0

Como o problema pede (e podemos ver no gráfico), o período da função é 4 . Logo

2 L = 4         →         L = 2

Assim

a n = 2 2 ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x = ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

Passo 3

Agora vamos calcular a 0

Fazendo n = 0 na expressão de a n e L = 2 , temos:

a 0 = ∫ 0 2 f x d x

Agora temos que dividir essa integral em duas, pois f ( x ) vale 1 em 0 < x < 1 e vale 0 em 1 < x < 2 , temos então

a 0 = ∫ 0 1 1   d x + ∫ 1 2 0   d x

a 0 = x 0 1

Logo

a 0 = 1

Passo 4

Agora vamos calcular os outros a n ’s. Temos que:

a n = ∫ 0 2 f x cos ⁡ n π x 2 d x

Dividindo essa integral em duas, como fizemos com a 0 :

a n = ∫ 0 1 1 cos ⁡ n π x 2 d x + ∫ 1 2 0 cos ⁡ n π x 2 d x

a n = 2 n π sen ⁡ n π x 2 0 1

a n = 2 n π sen ⁡ n π 2

Agora vamos analisar esse seno com calma.

Se n é par, ou seja, se n = 2 k

sen ⁡ n π 2   = 0

Logo

a 2 k = 2 2 k π 0 = 0

Agora vamos analisar os n ’s ímpares, fazendo n = 2 k - 1 , temos:

sen ⁡ 1 π 2 = 1           k = 1

sen ⁡ 3 π 2 = - 1           k = 2

sen ⁡ 5 π 2 = 1             k = 3

Logo, para n   ímpar, sendo n = 2 k - 1

sen ⁡ n π 2 = - 1 k + 1

Então, podemos dizer que

a 2 k - 1 = 2 ( 2 k - 1 ) π - 1 k + 1

Passo 5

Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L    

L = 2

a 0 = 1

a 2 k = 2 2 k π 0 = 0

a 2 k - 1 = 2 ( 2 k - 1 ) π - 1 k + 1

b n = 0

O que nos dá

f x = 1 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x 2    

Vamos substituir agora o coeficiente a n . Repare que para n = 2 k , a n se anula, então só estamos interessados nos n ’s ímpares, quando n = 2 k - 1 . Vamos então substituir isso na série.

Fazendo n = 2 k - 1 :

Para k = 1 temos n = 1 , portanto a série deve começar em k = 1 .Temos então

f x = 1 2 + ∑ k = 1 ∞ 2 ( 2 k - 1 ) π - 1 k + 1 cos ⁡ ( 2 k - 1 ) π x 2    

Resposta

f x = 1 2 + ∑ k = 1 ∞ 2 ( 2 k - 1 ) π - 1 k + 1 cos ⁡ ( 2 k - 1 ) π x 2    

Exercício Resolvido #2

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 321. Exercício 16

Encontre a série de Fourier para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.

f x = x                 0 ≤ x < 1 1             1 ≤ x < 2

Série de senos, período 4 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar fazendo o gráfico, para a gente poder visualizar melhor a questão, ok? Primeiro, vamos desenhar os dados do enunciado:

Até aqui nada demais, né? Como a questão pede uma série de senos, temos que fazer uma extensão ímpar dessa função. Então, o próximo passo é espelhar isso que desenhamos do eixo y , dessa forma:

Mas isso seria uma extensão par, não é? Pra fazermos uma extensão ímpar temos que rebater essa parte azul no eixo x , ou seja, jogar ela para baixo:

Certo, o período da função que queremos é então essa parte verde mais a vermelha! Como esse é o padrão que se repete, vamos copiá-lo, tanto para a esquerda como para a direita, olha só:

Pronto, temos então três períodos da função, como pede o enunciado. É bom você sempre desenhar esse tracejado grande para marcar o período da função, para não se perder!

Repare nos pontos de descontinuidade. Como estamos representando a função para qual a série de Fourier converge, nos pontos de salto, a função vale a média dos limites laterais. Nesse caso:

f x + + f x - 2 = 1 - 1 2 = 0

Nós colocamos então as bolinhas cheias em y = 0 repare que todas as retas tem bolinhas vazias nas suas extremidades). Não poderia ser diferente, né? Uma extensão periódica ímpar sempre apresenta:

f L = - f - L = 0

Como a gente já viu.

Passo 2

Beleza, agora vamos montar o problema. Como a função é ímpar, temos o seguinte:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L    

a n = 0 ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

Como o período da função é 4 como o enunciado pediu, temos:

2 L = 4     →     L = 2

Passo 3

Vamos calcular os b n ’s. Temos que:

b n = ∫ 0 2 f x sen ⁡ n π x 2 d x

Como temos mais de uma expressão para f ( x ) em 0 < x < 2 , precisamos dividir essa integral em duas:

b n = ∫ 0 1 x sen ⁡ n π x 2 d x + ∫ 1 2 1 sen ⁡ n π x 2 d x

b n = ∫ 0 1 x sen ⁡ n π x 2 d x - 2 n π cos ⁡ n π x 2 1 2

b n = ∫ 0 1 x sen ⁡ n π x 2 d x - 2 n π cos ⁡ n π + 2 n π cos ⁡ n π 2

Agora vamos fazer a integração por partes:

u = x       →       u ' = 1

v ' = sen ⁡ n π x 2       →         v = - 2 n π c o s n π x 2

b n = - 2 x n π cos ⁡ n π x 2 0 1 + ∫ 0 1 2 n π cos ⁡ n π x 2 d x - 2 n π cos ⁡ n π + 2 n π cos ⁡ n π 2

b n = - 2 n π cos ⁡ n π 2 + 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π x 2 0 1 - 2 n π cos ⁡ n π + 2 n π cos ⁡ n π 2

b n = 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π 2 - 2 n π cos ⁡ n π

Como essa expressão é um pouco complexa (já que envolve seno e cosseno), não vamos fazer aquela análise para n ’s pares e ímpares ok? Vamos deixar assim mesmo.

Passo 4

Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x 2    

L = 2

a n = 0

b n = 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π 2 - 2 n π cos ⁡ n π

O que nos dá

f x = ∑ n = 1 ∞ 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π 2 - 2 n π cos ⁡ n π sen ⁡ n π x 2        

Resposta

f x = ∑ n = 1 ∞ 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π 2 - 2 n π cos ⁡ n π sen ⁡ n π x 2

Exercício Resolvido #3

Séries de Fourier – funções pares e ímpares

Seja f : R → R uma função de período 2 π tal que f x = π - x 2 para todo x ∈ 0 , π .

  1. Sabendo que f é uma função ímpar, determine a expressão de f no intervalo [ - π , 0 ] .
  2. Determine a série de Fourier da função f .
  3. Usando o item (b), calcule a soma da série numérica ∑ n = 1 ∞ s e n   n n . Justifique sua resposta.
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Passo 1

Letra a)

Vamos fazer um desenho dessa expansão de f , ok?

Essa é a definição de f ( x ) que o problema deu de 0 a π :

Vamos fazer a extensão ímpar dessa função, porque o problema pede uma série de senos. Primeiro nós espelhamos ela em relação ao eixo y

Espelhamos essa reta azul no eixo x :

O período de f - é então essa parte verde mais a vermelha, para termos uma função em série de senos temos que ter f x ímpar como já vimos, para isso devemos pegar a função entre – π e π , fazendo essa marotagem que fizemos ali de espelhar no eixo y e depois no eixo x , isso garante que nossa função seja ímpar, mas para isso tudo dar certo temos que pegar de – π à π fazendo o período ser 2 π

Passo 2

Tá, mas o que o problema pede é a expressão de f para [ - π , 0 ) . Nós sabemos que

f x = π - x 2

para todo x ∈ 0 , π .

Como a função é ímpar, sabemos que

f x = - f - x

Logo, a expressão de f para o intervalo que o problema quer é dada por:

- f - x = - π - - x 2 = - x - π 2

Passo 3

Letra b)

Beleza, agora vamos montar o problema. Como a função é ímpar, temos o seguinte:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L    

a n = 0

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

Como o período da função é 2 π , temos:

2 L = 2 π     →     L = π

Passo 4

Vamos calcular os b n ’s. Temos que:

b n = 2 π ∫ 0 π f x sen ⁡ ( n x ) d x

Agora vamos substituir a expressão de f ( x ) :

π - x 2

b n = 2 π ∫ 0 π π - x 2   sen ⁡ ( n x ) d x

b n = ∫ 0 π   sen ⁡ ( n x ) d x - 1 π ∫ 0 π x   sen ⁡ ( n x ) d x

b n = - 1 n c o s ( n x ) 0 π - 1 π ∫ 0 π x   sen ⁡ ( n x ) d x

b n = - 1 n [ cos ⁡ n π - 1 ] - 1 π ∫ 0 π x   sen ⁡ ( n x ) d x

Agora vamos fazer a integração por partes:

u = x       →       u ' = 1

v ' = sen ⁡ n x       →         v = - 1 n cos ⁡ ( n x )

b n = - 1 n cos ⁡ n π - 1 - 1 π - x n cos ⁡ n x 0 π - ∫ 0 π - 1 n cos ⁡ n x d x

b n = - 1 n cos ⁡ n π - 1 - 1 π - π n cos ⁡ n π + ∫ 0 π 1 n cos ⁡ n x d x

b n = - 1 n cos ⁡ n π - 1 - 1 π - π n cos ⁡ n π + 1 n 2 sen ⁡ ( n x ) 0 π

b n = - 1 n cos ⁡ n π - 1 - 1 π - π n cos ⁡ n π + 1 n 2 sen ⁡ ( n π )

b n = - 1 n cos ⁡ n π - 1 - 1 π - π n cos ⁡ n π + 0

b n = - 1 n cos ⁡ n π - 1 + 1 n cos ⁡ n π

b n = 1 n

Passo 5

Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L