Modelagem com Equação do Calor

Teoria Completa

Introdução

Nas outra teorias nós vimos a Equação de Calor Unidimensional, algumas variações dela e como resolver a EDP, nessa nós vamos ver a modelagem.

Diferente das modelagens que nós vimos em EDO as de EDP não são tão variadas. A Equação de Calor é uma EDP bem específica para os casos que nós estudamos e não tem como fugir muito disso. A diferença da modelagem é que o problema não vai mais nos dar as equações bonitinhas pra resolver, nós vamos ter que as encontrar.

Pode ficar bem tranquilo que isso é bem moleza. Como já tá bem dominado como resolver a equação quando ela já tá arrumada, nessa teoria nós vamos só ensinar como chegar às equações e vamos deixar a pratica de resolução para os exercícios.

Vamos pegar um exemplo pra extrair as equações e depois eu dou uns bizus de frases chaves que aparecem em problemas como esses.

Modelagem de Equação de Calor

Vamos pegar o seguinte exercício :

Considere a condução de calor em uma barra de 40 cm de comprimento, cujas extremidades, esquerda e direita são mantidas, respectivamente, a 0 o C e a 80 o C para t > 0 . Suponha que inicialmente a temperatura ao longo da barra seja 50 o C. Considere α 2 = 1 .

Beleza. A primeira coisa que a gente tem que carregar no bolso é a tal da EDP do calor.

u t = α 2 u x x

Temos que lembrar também que u é uma função de duas variáveis, u ( x , t ) . A primeira coisa que ele fala é o comprimento da barra, lembra aquele L das equações? Então, ele é o comprimento da barra que nesse caso é 40   c m .

L = 40

Depois disso ele diz a temperatura das extremidades, essas temperaturas nos dão as seguintes equações.

u 0 , t = 0

u 40 , t = 80

Entenderam isso? A temperatura em qualquer momento no início e no fim da barra vai ser essa porque ele diz que as extremidades são mantidas nessas temperaturas.

Agora a gente já tá com bastante equação, mas ainda tem mais pra tirar. Ele diz que no início a temperatura em toda a barra é 50 ° C .

u x , 0 = 50

Agora nós temos as nossas equações. Lembrando que ele fala que α 2 = 1 .

u t = u x x u 0 , t = 0 u 40 , t = 80 u x , 0 = 50         x ∈ [ 0 ,   L ]

Agora é só resolver como vocês já manjam.

Nesse problema a gente já viu várias frases clássicas de modelagem, falta só a gente ver aquele caso de barra com extremidades isoladas vocês lembram? Então, quando o problema falar que a barra tem ambas as extremidades isoladas agente tira as seguintes equações.

u x 0 , t =     u x L , t = 0                       t > 0

Quando apenas uma das extremidades for isolada, só teremos uma das derivadas iguais a zero!

Bem moleza né? Agora é só praticar.

Expandir

Exercício Resolvido #1

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 331. Exercício 12 adaptado.

Considere uma barra uniforme de comprimento L a uma temperatura inicial dada por u x , 0 = sen ⁡ π x L , 0 ≤ x ≤ L . Suponha que ambas as extremidades estão isoladas. Considerando α = 1 , encontre a temperatura u ( x , t ) dessa barra.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro, temos que escrever matematicamente o que o problema nos deu.Temos a equação de calor:

u x x = u t           0 < x < L ,     t > 0

E a temperatura inicial

u x , 0 = sen ⁡ π x L               0 ≤ x ≤ L

Como o problema diz que as extremidades estão isoladas, sabemos que não há fluxo de calor passando por elas, portanto não há variação de temperatura na direção x , logo:

u x 0 , t =     u x L , t = 0                       t > 0

Passo 2

Vamos fazer a separação de variáveis. Vamos supor que a função u ( x , t ) que procuramos possa ser escrita como a multiplicação de uma função apenas da variável x por outra apenas da variável t , dessa forma:

u x , t = X x ⋅ T ( t )

Como essa solução deve satisfazer à equação de calor, temos:

X ' ' x ⋅ T t = X x ⋅ T ' t

Agora vamos separar as variáveis nessa equação, de um lado deixamos tudo que tem x e do outro tudo que tem t :

X ' ' x X x = T ' t T t

Como essa igualdade deve valer para todo x e para todo t e essas variáveis são independentes, sabemos que essas frações são iguais a uma constante:

X ' ' x X x = T ' t T t = - λ

Vamos agora separar essa igualdade em duas equações:

X ' ' + λ X = 0 T ' + λ T = 0

Repara nos dados que o problema deu, vamos reescrevê-los usando a separação de variáveis u x , t = X x . T ( t ) :

u x 0 , t = 0         →           X ' 0 ⋅ T t ⏟ ≠ 0 = 0           →       X ' 0 = 0

Veja que se T t = 0 , isso implica que u x , t = X x . 0 = 0 , encontramos a solução trivial. Então, nós precisamos ter X ' 0 = 0 . O mesmo ocorre aqui:

u x L , t = 0         →           X ' L ⋅ T t ⏟ ≠ 0 = 0           →       X ' L = 0

Passo 3

Resolver o problema de contorno.

Nós vamos encontrar o X ( x ) e o T ( t ) um de cada vez e, assim, encontrar u ( x , t ) . Temos duas EDO’s para resolver, uma na variável x e a outra na t , qual resolver primeiro? A que tiver condições de contorno, sempre!

X ' ' + λ X = 0

X ' 0 = X ' L = 0

Bom esse é um caso especial, as condições de Neumann homogêneas, não é? Nós já vimos a solução desse problema na teoria desse capítulo, mas vamos resolver aqui passo a passo.

A primeira coisa que vamos fazer é escrever a equação característica:

r 2 + λ = 0

r = ± - λ

Agora vamos encontrar as soluções da EDO para cada caso de e depois juntar as respostas que encontrarmos.

Caso 1: ∆ > 0 , o que nos dá λ < 0 . Nesse caso, as soluções são do tipo:

X x = c 1 e - λ x + c 2 e - - λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: y ' 0 = 0 y ' L = 0 . Temos:

X ' ( x ) = c 1 - λ e - λ x - c 2 - λ e - - λ x

X ' 0 = c 1 - λ - c 2 - λ = 0

X ' L = c 1 - λ e L - λ - c 2 - λ e - L - λ = 0

Isso nos dá

( c 1 - c 2 ) - λ ⏟ ≠ 0 = 0

c 1 = c 2

Aqui temos o mesmo raciocínio:

c 1 ( - λ e L - λ - - λ e - L - λ ) ⏟ ≠ 0 = 0

c 1 = 0

c 2 = c 1 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos X x = 0 .

Mas isso não nos ajuda em nada. Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, ∆ > 0 , não nos dá soluções para a EDO.

Caso 2: ∆ = 0 , o que nos dá λ = 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 + c 2 x

Agora vamos usar as condições de contorno: X ' 0 = 0 e X ' L = 0

X ' x = c 2

X ' 0 = c 2 = 0

X ' ( L ) = c 2 = 0

Bom, as duas condições de contorno nos dão a mesma informação, não é? Temos, então que

X x = c 1

Isso para o autovalor

λ = 0

Como escrevemos, por convenção, as autofunções sem a constante multiplicativa, temos o seguinte:

X x = 1

Essa é uma solução da nossa EDO, e qualquer combinação linear de X ( x ) também.

Caso 3: ∆ < 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, λ > 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e α cos ⁡ β x + c 2 e α x sen ⁡ β x

Substituindo r = ± - λ = 0 ± i λ

X x = c 1 cos ⁡ λ x + c 2 sen ⁡ λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X ' 0 = 0 X ' L = 0 . Temos:

X ' ( x ) = - c 1 λ sen ⁡ λ x + c 2 λ cos ⁡ λ x

X ' 0 = - c 1 λ sen ⁡ 0 + c 2 λ cos ⁡ 0 = 0

X ' L = - c 1 λ sen ⁡ L λ + c 2 λ cos ⁡ L λ = 0

Isso nos dá

c 2 λ ⏟ ≠ 0 = 0         →         c 2 = 0

- c 1 ⏟ ≠ 0 sen ⁡ L λ = 0

Agora vamos com calma! Se tivermos c 1 = 0 , a solução é a trivial X x = 0 , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.

sen ⁡ L λ = 0

Isso ocorre para valores múltiplos de π , ou seja, quando:

L λ = n π             n = 1,2 , 3 …

λ = n π L

λ n = n π L 2

A solução geral do caso 3 é, então do tipo:

X n x = cos ⁡ n π L x                 n = 1,2 , 3 …

Agora vamos resolver o problema em t .

Passo 4

Tendo o valor de λ n , resolver a outra EDO e achar a solução fundamental u n ( x , t )