Equação do Calor – Não Homogênea

Teoria Completa

Introdução

Anteriormente nesse mesmo planeta Terra e nessa mesma plataforma, vimos a Equação do Calor - Homogênea:

α 2 u x x = u t             ,     o n d e         0 ≤ x < L     e         t > 0

u 0 , t = 0

u L , t = 0

u x , 0 = f ( x )

Onde as condições iniciais nas pontas da barra eram nulas! (temperaturas iguais à zero em todo instante de tempo na ponta x = 0 e na outra x = L ).

Agora imagine o problema onde essas temperaturas iniciais sejam diferentes de 0 e sim as constantes T 1 e T 2 . Trata-se de um problema não homogêneo:

α 2 u x x = u t             ,     o n d e         0 ≤ x < 1     e         t > 0

u 0 , t = T 1

u L , t = T 2

u x , 0 = f ( x )

Pois bem, apenas para questões de identificação, esse problema também é chamado de Problema de Dirichlet não homogêneo. Para resolvê-lo, preciso da sua atenção para um pouquinho de Filosofia (a filosofia da matemática kkk).

Com toda modéstia, não sou Chapolin, mas acredito que eu possa ! Acompanhe-me, por favor!

Resposta Estacionária

É o seguinte, existem dois pontos na barra que sempre (independente do tempo) terá a mesma temperatura e que são diferentes entre si... Os extremos. Há de concordar comigo que comigo que com o tempo, a temperatura na Barra tende a ficar estagnada (sem fluxo de calor), mas se dois pontos possuem sempre temperaturas que são diferentes entre si ( T 1 e T 2 ), a temperatura que vai ficar “estagnada” não pode ser a mesma em todos os pontos da barra como acontecia na homogênea, se não T 1 e T 2 serão iguais também, o que não faz sentido, certo?

Então qual será a cara da temperatura em todos os pontos após um intervalo de tempo muito grande?

Para responder essa pergunta, imaginemos que já estamos no tempo no infinito e, portanto a tempo não mais é uma variável na temperatura u x ,   t da barra. Podemos falar que a temperatura nessas condições é

lim t → ∞ ⁡ u x ,   t = v x

Esse v x é conhecido como resposta estacionária do calor !

Para encontrá-lo, se v x descreve a temperatura na Barra, ela satisfaz a equação do calor:

α 2 v x x = v t

Como v x só depende de x :

v t = ∂ v x ∂ t = 0

Logo:

α 2 v x x = 0       →           v x x = 0

Onde v x x = v ' ' x , ok?

v ' ' x = 0

Resolvendo essa EDO integrando de ambos os lados duas vezes, vamos obter:

v x = a x + b

Claro, essa solução tem que atender as condições de contorno (as pontas tem que ter a mesma temperatura desde o inicio do processo até o final):

u 0 , t = T 1             →                   v 0 = T 1

u L , t = T 2                 →               v L = T 2

Bom, agora vamos substituir isso aí na fórmula geral de v ( x ) que encontramos!

v 0 = T 1 = b

v L = T 2 = a L + b         →         a = T 2 - T 1 L

v x = T 2 - T 1 L x + T 1

Pronto, essa é a expressão de v ( x ) .

Resposta Transiente

Até agora, vimos à resposta quando o tempo é tão grande que ele não importa mais (solução estacionária), mas e quando ele ainda importa? Como será a resposta? Nesse caso, a gente diz que estamos tralhando com a resposta transiente w x ,   t e ela depende tanto do tempo quando da posição.

Para encontrar essa belezinha, você tem que ter em mente que a resposta final da temperatura na Barra é sempre u x ,   t dada pela soma da resposta transiente com a estacionária:

u x ,   t = w x ,   t + v x

Vamos substituir essa definição de u ( x , t ) nas condições do problema:

α 2 u x x = u t         →         α 2 [ v ' ' x ⏟ 0 + w x x ] = d d t v x ⏟ 0 + w t         →         α 2 w x x = w t

Além disso... Para as condições de contorno, teremos...

u 0 , t = T 1         →         v 0 ⏟ T 1 + w 0 , t = T 1           →           w 0 , t = 0

u L , t = T 2         →         v L ⏟ T 2 + w L , t = T 2           →           w L , t = 0

Olha só que massa! O problema de encontrar a solução Transiente é o problema de encontrar a solução da equação da onda homogêneo !

α 2 w x x = w t w 0 , t = 0 w L , t = 0

Um problema com condições de Dirichlet homogêneas! Resolvendo esse problema como já vimos lá no tópico anterior, chegaremos aqui:

w x , t = ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L e - α 2 π 2 n 2 t / L 2    

Uma dica aqui que posso te dar é que já vi muito essa questão ser cobrada, então talvez valha a pena dar uma memorizada nessa solução, ok?

MAS PARA TUDO! Quem é esse b n ? Você vai precisar encontrá-lo usando a última condição:

u x , 0 = f ( x )

Aqui só tem um detalhezinho diferente. Repare que a condição é sobre u ( x , t ) , não sobre w ( x , t ) ! Mas nós sabemos que u x , t = v x + w ( x , t ) , não é? Então vamos usar isso:

u x , t = v x + ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L e - α 2 π 2 n 2 t / L 2    

Agora sim, podemos usar a condição (lembre-se de que e 0   = 1 ):

u x , 0 = v ( x ) + ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L   = f ( x )

∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L   = f x - v ( x )

Precisamos então encontrar o b n . Repare que essa série é a representação em senos da função [ f x - v x ] (não apenas de f ( x ) ), então, podemos dizer que:

b n = 2 L ∫ 0 L [ f x - v x ]   sen n π x L d x     →

Como já encontramos a expressão do v x :

b n = 2 L ∫ 0 L [ f x - T 2 - T 1 L x + T 1 ]   sen n π x L d x     →

Daí encontramos o b n resolvendo a integral, saca?! Então, basta substituir o coeficiente em:

u x , t = v x + ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L e - α 2 π 2 n 2 t / L 2    

E prontinho! Essa é será a resposta do nosso problema! Bora treinar com os nossos exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Determine uma solução de estado estacionário y x do problema de contorno

k ∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ u ∂ t ,     0 < x < π ,     t > 0

u 0 , t = u 0 ,     - u x π , t = u π , t - u 1 ,     t > 0  

u x , 0 = 0 ,     0 < x < π

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Passo 1

Essa é a equação do calor e ele tá pedindo a solução de estado estacionário pra isso vamos ter que definir a nossa função u da seguinte forma.

u x , t = v x , t + y ( x )

O que estamos fazendo? A gente tá propondo que para um tempo muito grande, a solução só vai depender da posição na barra. Como queremos que y seja solução da equação, ela deve satisfazer essa equação, ou seja:

k ∂ 2 y ∂ x 2 = ∂ y ∂ t

Mas como y é uma função só de x .

∂ y ∂ t = 0 →     d 2 y d x 2 = y ' ' ( x )

Então temos que resolver a seguinte equação.

k y ' ' = 0 ⇒ y ' ' = 0

Passo 2

Para resolvermos essa EDO é moleza. Integrando dos dois lados uma vez teremos.

∫ y ' ' d x = ∫ 0 d x

y ' = a

Onde a é uma constante. Integrando novamente.

∫ y ' d x = ∫ a d x

y x = a x + b

Onde b é uma constante.

Passo 3

Vamos agora utilizar as informações iniciais para calcular os valores de a e b .

Além de satisfazer a equação, essa solução deve satisfazer as condições de contorno também. Então, primeiro vamos usar o fato que u 0 , t = u 0 .

u 0 , t = y 0 = u 0

y 0 = a × 0 + b = u 0

b = u 0

Passo 4

Vamos agora usar a informação que

- u x π , t = u π , t - u 1

Substituindo y

- y ' π = y π - u 1

Como y ' x = a

- a = a π + u 0 - u 1

a = u 1 - u 0 1 + π

Sendo assim a nossa solução fica

y x = u 1 - u 0 1 + π x + u 0

Resposta

y x = u 1 - u 0 1 + π x + u 0

Exercício Resolvido #2

UFRJ, Cálculo IV, P2/2013.2, 2

Considere a condução de calor em uma barra homogênea de comprimento igual a 50   m e coeficiente de difusividade térmica igual a 1 , cuja superfície lateral está isolada e que só troca calor com o ambiente através de suas extremidades. Suponha ainda que esteja inicialmente a uma temperatura de 25 0 C e que a temperatura dos extremos da barra seja mantida constante igual a 100 o C para todo t > 0 . Determine a temperatura u ( x , t ) sabendo que tal problema é modelado por

u t = u x x u 0 , t = 100 = u 50 , t ,       t > 0 u x , 0 = 25 ,         0 < x < 50

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Passo 1

Como temos condições de Dirichlet não homogêneas (as extremidades da barra tem temperaturas fixadas em valores diferentes de zero) precisamos primeiro procurar uma solução estacionária v ( x ) , que não depende do tempo. Como essa solução deve satisfazer a equação de calor, temos:

v x x = v t  

Como v ( x ) não possui a variável t , sua derivada em relação a t é zero (a temperatura não varia no tempo). Isso nos dá:

    v ' ' x = 0

v x = a x + b

É só integrar 2 vezes!

Beleza, além disso, a solução v ( x ) também tem que atender às condições de contorno, né? Temos:

v ( 0 ) = 100

v ( 50 ) = 100

Bom, agora vamos substituir isso aí na fórmula geral de v ( x ) que encontramos!

v 0 = 100 = b

v 50 = 100 = 50 a + b         →         a = 0

v x = 100

Passo 2

Mas o que nós queremos é u ( x , t ) , não v ( x ) . Certo, vamos dizer o seguinte:

u x , t = v x + w ( x , t )

Agora, nós vamos entender a solução u ( x , t ) como uma perturbação da solução estacionária, fazendo que u ( x , t ) é a soma de v ( x ) com uma função de x e t , w ( x , t ) . Vamos substituir essa definição de u ( x , t ) nas condições do problema:

u x x = u t         →         v ' ' x ⏟ 0 + w x x = d d t v x ⏟ 0 + w t         →         w x x = w t

u 0 , t = 100         →         v 0 ⏟ 100 + w 0 , t = 100           →           w 0 , t = 0

u 50 , t = 100         →         v 50 ⏟ 100 + w 50 , t = 100           →           w 50 , t = 0

Passo 3

Percebeu que nós encontramos um problema homogêneo em w ( x , t ) ? Basta resolvê-lo para encontrar u ( x , t ) então.

Se você reparar, nós temos

w x x = w t w 0 , t = 0 w 50 , t = 0

Aplicando a separação de variáveis:

w x , t = X x T t

Substituindo na equação de calor:

X ' ' x T ( t ) = X ( x ) T ' ( t )

X ' ' x X x = T ' t T t = - λ

O que nos dá

  X ' ' + λ X = 0 T ' + λ T = 0

Aplicando a separação de variáveis para as condições de contorno de w :

w 0 , t = 0         →           X 0 ⋅ T t ⏟ ≠ 0 = 0           →       X 0 = 0

u 50 , t = 0         →           X 50 ⋅ T t ⏟ ≠ 0 = 0           →       X 50 = 0

Passo 4

Temos agora que resolver o problema de contorno em x :

X ' ' + λ X = 0

X 0 = X 50 = 0

Temos a seguinte equação característica:

r 2 + λ = 0

r = ± - λ

Caso 1: ∆ > 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, λ < 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e - λ x + c 2 e - - λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X 50 = 0

X 0 = c 1 + c 2 = 0

X 50 = c 1 e 50 - λ + c 2 e - 50 - λ = 0

Isso nos dá

c 2 = - c 1

c 1 e 50 - λ - c 1 e - 50 - λ = 0

c 1 ( e 20 - λ - e - 50 - λ ⏟ ≠ 0 ) = 0

c 1 = 0

c 2 = - c 1 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X x = 0

Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, ∆ > 0 , não nos dá soluções para a EDO.

Caso 2: ∆ = 0 . Nesse caso, λ = 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 + c 2 x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X 50 = 0

X 0 = c 1 = 0

X 50 = c 1 + 50 c 2 = 0

Isso nos dá

50 c 2 = 0

c 2 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X x = 0

Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada. Beleza, vamos ver o 3º caso agora!

Caso 3: ∆ < 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, λ > 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e α cos ⁡ β x + c 2 e α x sen ⁡ β x

Substituindo r = ± - λ = 0 ± i λ

X x = c 1 cos ⁡ λ x + c 2 sen ⁡ λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X 50 = 0

X 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 = 0

c 1 = 0

X 50 = c 1 cos ⁡ 50 λ + c 2 sen ⁡ 50 λ = 0

Isso nos dá

c 2 sen ⁡ 50 λ = 0

Agora vamos com calma! Se tivermos c 2 = 0 , a solução é a trivial X x = 0 , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.

sen ⁡ 50 λ = 0

O seno se anula em π , 2 π , 3 π ... n π , múltiplos inteiros de π . Logo, podemos dizer que:

50 λ = n π             n = 1,2 , 3 …

λ = n π 50

λ n = n π 50 2

As soluções do 3º caso são então do tipo:

X n x = sen ⁡ n π x 50                 n = 1,2 , 3 …

Agora vamos resolver o problema em t .

Passo 5

Tendo o valor de λ n , vamos resolver a outra EDO e achar a solução fundamental u n ( x , t )

Temos a seguinte EDO do 1º grau:

T ' + λ T = 0

Como vimos no capítulo passado, sua solução é

T t = e - λ t

Substituindo λ :

T n t = e - π 2 n 2 t / 2500  

Sabendo que w x , t = X x ⋅ T ( t ) , podemos escrever:

w n = sen n π x 50 e - π 2 n 2 t / 2500  

Essa é a solução fundamental w n , nós sabemos que combinações lineares dessa solução também satisfazem a EDO, então, podemos escrever:

w x , t = ∑ n = 1 ∞ b n  sen n π x 50 e - π 2 n 2 t / 2500    

Certo?

Passo 6

Beleza, mas esse w ( x , t ) não serve de nada se não tivermos os coeficientes b n , né? Para encontrá-los, vamos usar a condição que está faltando u x , 0 = 25

Aqui tem um detalhe. Repare que a condição é sobre u ( x , t ) , não sobre w ( x , t ) ! Mas nós sabemos que u x , t = v x + w ( x , t ) , não é? Então vamos usar isso:

u x , t = 100 + ∑ n = 1 ∞ b n  sen n π x 50 e - π 2 n 2 t / 2500    

Agora sim, podemos usar a condição:

u x , 0 = 100 + ∑ n = 1 ∞ b n  sen n π x 50   = 25

∑ n = 1 ∞ b n  sen n π x 50   = - 75

Precisamos então encontrar o b n . Vendo essa série como uma Série de Fourier de senos, fazemos uma extensão ímpar na função e temos:

b n = 1 25 ∫ 0 50 - 75   sen n π x 50 d x