Equação do Calor – Não Homogênea

Teoria Completa

Introdução

Anteriormente nesse mesmo planeta Terra e nessa mesma plataforma, vimos a Equação do Calor - Homogênea:

α 2 u x x = u t             ,     o n d e         0 ≤ x < L     e         t > 0

u 0 , t = 0

u L , t = 0

u x , 0 = f ( x )

Onde as condições iniciais nas pontas da barra eram nulas! (temperaturas iguais à zero em todo instante de tempo na ponta x = 0 e na outra x = L ).

Agora imagine o problema onde essas temperaturas iniciais sejam diferentes de 0 e sim as constantes T 1 e T 2 . Trata-se de um problema não homogêneo:

α 2 u x x = u t             ,     o n d e         0 ≤ x < 1     e         t > 0

u 0 , t = T 1

u L , t = T 2

u x , 0 = f ( x )

Pois bem, apenas para questões de identificação, esse problema também é chamado de Problema de Dirichlet não homogêneo. Para resolvê-lo, preciso da sua atenção para um pouquinho de Filosofia (a filosofia da matemática kkk).

Com toda modéstia, não sou Chapolin, mas acredito que eu possa ! Acompanhe-me, por favor!

Resposta Estacionária

É o seguinte, existem dois pontos na barra que sempre (independente do tempo) terá a mesma temperatura e que são diferentes entre si... Os extremos. Há de concordar comigo que comigo que com o tempo, a temperatura na Barra tende a ficar estagnada (sem fluxo de calor), mas se dois pontos possuem sempre temperaturas que são diferentes entre si ( T 1 e T 2 ), a temperatura que vai ficar “estagnada” não pode ser a mesma em todos os pontos da barra como acontecia na homogênea, se não T 1 e T 2 serão iguais também, o que não faz sentido, certo?

Então qual será a cara da temperatura em todos os pontos após um intervalo de tempo muito grande?

Para responder essa pergunta, imaginemos que já estamos no tempo no infinito e, portanto a tempo não mais é uma variável na temperatura u x ,   t da barra. Podemos falar que a temperatura nessas condições é

lim t → ∞ ⁡ u x ,   t = v x

Esse v x é conhecido como resposta estacionária do calor !

Para encontrá-lo, se v x descreve a temperatura na Barra, ela satisfaz a equação do calor:

α 2 v x x = v t

Como v x só depende de x :

v t = ∂ v x ∂ t = 0

Logo:

α 2 v x x = 0       →           v x x = 0

Onde v x x = v ' ' x , ok?

v ' ' x = 0

Resolvendo essa EDO integrando de ambos os lados duas vezes, vamos obter:

v x = a x + b

Claro, essa solução tem que atender as condições de contorno (as pontas tem que ter a mesma temperatura desde o inicio do processo até o final):

u 0 , t = T 1             →                   v 0 = T 1

u L , t = T 2                 →               v L = T 2

Bom, agora vamos substituir isso aí na fórmula geral de v ( x ) que encontramos!

v 0 = T 1 = b

v L = T 2 = a L + b         →         a = T 2 - T 1 L

v x = T 2 - T 1 L x + T 1

Pronto, essa é a expressão de v ( x ) .

Resposta Transiente

Até agora, vimos à resposta quando o tempo é tão grande que ele não importa mais (solução estacionária), mas e quando ele ainda importa? Como será a resposta? Nesse caso, a gente diz que estamos tralhando com a resposta transiente w x ,   t e ela depende tanto do tempo quando da posição.

Para encontrar essa belezinha, você tem que ter em mente que a resposta final da temperatura na Barra é sempre u x ,   t dada pela soma da resposta transiente com a estacionária:

u x ,   t = w x ,   t + v x

Vamos substituir essa definição de u ( x , t ) nas condições do problema:

α 2 u x x = u t         →         α 2 [ v ' ' x ⏟ 0 + w x x ] = d d t v x ⏟ 0 + w t         →         α 2 w x x = w t

Além disso... Para as condições de contorno, teremos...

u 0 , t = T 1         →         v 0 ⏟ T 1 + w 0 , t = T 1           →           w 0 , t = 0

u L , t = T 2         →         v L ⏟ T 2 + w L , t = T 2           →           w L , t = 0

Olha só que massa! O problema de encontrar a solução Transiente é o problema de encontrar a solução da equação da onda homogêneo !

α 2 w x x = w t w 0 , t = 0 w L , t = 0

Um problema com condições de Dirichlet homogêneas! Resolvendo esse problema como já vimos lá no tópico anterior, chegaremos aqui:

w x , t = ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L e - α 2 π 2 n 2 t / L 2    

Uma dica aqui que posso te dar é que já vi muito essa questão ser cobrada, então talvez valha a pena dar uma memorizada nessa solução, ok?

MAS PARA TUDO! Quem é esse b n ? Você vai precisar encontrá-lo usando a última condição:

u x , 0 = f ( x )

Aqui só tem um detalhezinho diferente. Repare que a condição é sobre u ( x , t ) , não sobre w ( x , t ) ! Mas nós sabemos que u x , t = v x + w ( x , t ) , não é? Então vamos usar isso:

u x , t = v x + ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L e - α 2 π 2 n 2 t / L 2    

Agora sim, podemos usar a condição (lembre-se de que e 0   = 1 ):

u x , 0 = v ( x ) + ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L   = f ( x )

∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L   = f x - v ( x )

Precisamos então encontrar o b n . Repare que essa série é a representação em senos da função [ f x - v x ] (não apenas de f ( x ) ), então, podemos dizer que:

b n = 2 L ∫ 0 L [ f x - v x ]   sen n π x L d x     →

Como já encontramos a expressão do v x :

b n = 2 L ∫ 0 L [ f x - T 2 - T 1 L x + T 1 ]   sen n π x L d x     →

Daí encontramos o b n resolvendo a integral, saca?! Então, basta substituir o coeficiente em:

u x , t = v x + ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L e - α 2 π 2 n 2 t / L 2    

E prontinho! Essa é será a resposta do nosso problema! Bora treinar com os nossos exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Determine uma solução de estado estacionário y x do problema de contorno

k ∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ u ∂ t ,     0 < x < π ,     t > 0

u 0 , t = u 0 ,     - u x π , t = u π , t - u 1 ,     t > 0  

u x , 0 = 0 ,     0 < x < π

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Essa é a equação do calor e ele tá pedindo a solução de estado estacionário pra isso vamos ter que definir a nossa função u da seguinte forma.

u x , t = v x , t + y ( x )

O que estamos fazendo? A gente tá propondo que para um tempo muito grande, a solução só vai depender da posição na barra. Como queremos que y seja solução da equação, ela deve satisfazer essa equação, ou seja:

k ∂ 2 y ∂ x 2 = ∂ y ∂ t

Mas como y é uma função só de x .

∂ y ∂ t = 0 →     d 2 y d x 2 = y ' ' ( x )

Então temos que resolver a seguinte equação.

k y ' ' = 0 ⇒ y ' ' = 0

Passo 2

Para resolvermos essa EDO é moleza. Integrando dos dois lados uma vez teremos.

∫ y ' ' d x = ∫ 0 d x

y ' = a

Onde a é uma constante. Integrando novamente.

∫ y ' d x = ∫ a d x

y x = a x + b

Onde b é uma constante.

Passo 3

Vamos agora utilizar as informações iniciais para calcular os valores de a e b .

Além de satisfazer a equação, essa solução deve satisfazer as condições de contorno também. Então, primeiro vamos usar o fato que u 0 , t = u 0 .

u 0 , t = y 0 = u 0

y 0 = a × 0 + b = u 0

b = u 0

Passo 4

Vamos agora usar a informação que

- u x π , t = u π , t - u 1

Substituindo y

- y ' π = y π - u 1

Como y ' x = a

- a = a π + u 0 - u 1