Equação da Onda

Teoria Completa

Introdução: Vibração em uma corda elástica

Nesse capítulo, vamos estudar a propagação das ondas em uma corda elástica.

Pensa que você entrou pro crossfit hoje, ai te deram uma corda fixa na parede e você tem que agitar a corda para cima e para baixo fazendo a corda ter seguinte movimento,

Ai no meio dessa atividade física, você lembra das suas aulas de movimento oscilatório e começa a refletir sobre a altura que a corda atinge em cada instante.

Se você tirar uma foto em um instante qualquer t e colocar esse movimento em um gráfico, poderíamos ter algo assim:

Pois bem, vamos chamar de u ( x , t ) a altura de um ponto x da corda em um instante t , ok? Então quando tivermos uma situação como essa, dá para modelar a altura u x ,   t da corda em uma equação diferencial parcial dessa forma aqui:

a 2 u x x = u t t

Onde temos a segunda derivada de x ( u x x ) associada a segunda derivada de   t ( u t t ) por uma constante a .

Essa constante a > 0 depende da tensão da corda e da sua densidade linear. Não se preocupe com ele, afinal será um dado no seu problema !

Essa é a equação de onda para 1 dimensão, pois a corda é um objeto que vibra apenas na direção x . A onda do mar, por exemplo, se dá em 3 dimensões.

Repare que a amplitude u é função tanto da posição do ponto x como do tempo t . Isso acontece porque a cada ponto x tem uma altura diferente, e cada “foto” em um tempo t terá um perfil diferente também.

Problemas típicos

Tá! Agora vamos ao que interessa: aos problemas de propagação de onda que serão cobrados de você!

Um problema muito típico é encontrar a altura dos pontos da corda, dado à equação diferencial da onda e outras 3 equações (que vamos ver que serão as condições contorno):

a 2 u x x = u t t

u 0 , t = u L , t = 0

u t x , 0 = 0

u x , 0 = g ( x )

OK! Então vamos antes de começar a resolver, verificar quem são cada uma dessas equações aqui, já que elas basicamente estarão presentes em todo problema típico da corda como esse:

a 2 u x x = u t t

É a equação diferencial da onda como vimos já na introdução. Seguindo,

u 0 , t = u L , t = 0

Essas condições de contorno nos dizem que a altura no ponto inicial x = 0 e no ponto final x = L em qualquer intervalo de tempo e ela é sempre 0 .

Para o problema de onda, precisamos de mais duas condições: a velocidade inicial u t ( x , 0 ) e a posição inicial u x , 0 ao longo da corda. Nesse exemplo, temos um problema de velocidade inicial 0 :

u t x , 0 = 0

E posição inicial dada como uma função g x qualquer:

u x , 0 = g ( x )

Mas não seria anormal ele te desse uma velocidade inicial não nula, tipo u t x , 0 = f x = x 2 . Não se assuste! A gente vai ver um exemplo, depois !

Então agora bora aprender a resolver este problema?

Velocidade inicial zero (posição inicial dada)

Como vimos, esse caso ocorre quando u t x , 0 = 0 . É exatamente o problema acima:

a 2 u x x = u t t

u 0 , t = u L , t = 0

u t x , 0 = 0

u x , 0 = g ( x )

Lembre-se, o que você almeja aqui é encontrar uma expressão para u x ,   t . Então caneta e papel na mão para anotar o passo a passo!

Passo 1: Separação de variáveis, então vamos escrever nossa equação com essa carinha aqui,

u x , t = X x . T ( t )

Aplicando isso na equação de onda, temos:

a 2 X ' ' x ⋅ T t = X x ⋅ T ' ' ( t )

Passando tudo que tem x para um lado e o que tem t para o outro, temos:

X ' ' x X x = 1 a 2 T ' ' t T t

Como essa igualdade vale para todo x e para todo t , essas razões devem ser independentes tanto de x como de t , logo, podemos dizer que isso é igual a uma constante:

X ' ' x X x = 1 a 2 T ' ' t T t = - λ

Nesse caso, estamos falando que a constante é - λ pra facilitar as verificações depois, mas se você não se lembrar disso, pode igualar a uma constante qualquer (sei lá, tipo... constante C ). O importante é igualar a uma constante!

Separando a igualdade em 2 equações, temos:

X ' ' x + λ X x = 0

T ' ' t + λ a 2 T t = 0

Chegamos a duas EDO’s de segunda ordem após a separação de variáveis!

Beleza! Agora vamos aplicar a separação para as condições do problema:

u 0 , t = 0           →       X 0 ⋅ T t ⏟ ≠ 0 = 0         →         X 0 = 0

Se tivéssemos T t = 0 , então encontraríamos a solução trivial para o problema, porque como u x , t = X x . T ( t ) , então u x , t = 0 (O que não nos interessa!). Portanto, concluímos que X 0 = 0 . O mesmo ocorre aqui:

u L , t = 0           →       X L ⋅ T t ⏟ ≠ 0 = 0         →         X L = 0

Temos também:

u t x , 0 = 0       →       X x ⏟ ≠ 0 ⋅ T ' 0 = 0       →       T ' 0 = 0

Sempre deixamos por último a condição que possui uma função! Nesse caso, u x , 0 = g ( x ) , esquece ela por enquanto.

Precisamos agora achar X ( x ) e T ( t ) , para encontrar u x , t = X x ⋅ T ( t ) e temos o seguinte para essas duas funções (colocando tudo que encontramos aqui juntos):

X ' ' x + λ X x = 0 X 0 = X L = 0 T ' ' t + λ a 2 T t = 0 T ' 0 = 0

Passo 2: Resolver o problema que tem duas condições (de contorno).

Vamos resolver então, o problema de valores de contorno em x , já que ele é o cara que tem 2 condições:

X ' ' x + λ X x = 0 X 0 = X L = 0

Bom, isso é um problema de Dirichlet homogêneo, não é? Nós sabemos que as suas soluções são do tipo:

X n x = sen n π x L

λ n = π n L 2         n = 1,2 , 3 …

Se você se esqueceu de ou ainda não viu como se resolve o problema de Dirichlet, não se preocupe! Nos exercícios a gente vai fazê-lo juntos novamente. Eu só não vou colocar aqui agora, para essa teoria não ficar chata pra você!

Passo 3: Tendo os valores de λ n , resolver a outra EDO

Vamos agora resolver o problema em t , temos:

T ' ' t + λ a 2 T t = 0 T ' 0 = 0

Essa é a maior diferença para o problema de calor, pois nesse passo, encontrávamos uma EDO do 1º grau, não é? Aqui temos uma do 2º, mas não tem muito mistério, você vai ver.

Vamos resolver pelo método que conhecemos, da equação característica. Repare que, como o valor de λ é conhecido (do passo anterior) e a é um coeficiente dado, não precisamos analisar os 3 casos de , olha só:

r 2 + λ a 2 = 0

r = ± - λ a 2 ⏟ > 0

Repare que, tanto a (por sua definição) como λ (que encontramos no passo anterior) são positivos, logo, o que está dentro da raiz é negativo, ∆ < 0 . Podemos reescrever r como:

r = 0 ± i λ a 2

As soluções da EDO são do tipo:

T t = c 1 cos ⁡ λ a 2 t + c 2 sen ⁡ λ a 2 t

Usando T ' 0 = 0 , temos:

T ' t = - c 1 λ a 2 sen ⁡ λ a 2 t + c 2 λ a 2 cos ⁡ λ a 2 t

T ' 0 = c 2 λ a 2 ⏟ ≠ 0 = 0       →       c 2 = 0

Fazendo :

λ n = π n L 2

Temos então:

T n t = cos ⁡ n π a t L

Então, podemos escrever o seguinte:

u n x ,   t = X n x ⋅ T n t   →

u n x , t = sen n π x L cos ⁡ n π a t L

Passo 4: Escrever u ( x , t ) como série e achar os coeficientes da série:

Bom, esse u n que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO em x e à EDO em t . Sabemos também, pela própria definição de autofunções, que múltiplos dessa solução ou combinações lineares de soluções desse tipo também satisfazem as EDO’s.

Esse paragrafo bonito e até complicado de entender é só para indicar que você tem que escrever o seguinte:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L cos ⁡ n π a t L  

Podemos interpretar essa série como uma combinação linear infinita de u n ’s.

Beleza! Agora precisamos usar a condição do problema que deixamos de lado para encontrar o b n : u x , 0 = g ( x ) . Fazendo t = 0 , temos:

u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ b n  sen n π x L = g ( x )

Como essa é uma Série de Fourier de senos, fazendo uma extensão ímpar de g ( x ) , podemos dizer que:

b n = 2 L ∫ 0 L g x  sen n π x L d x

Relembrou? Então, após a integração, basta substituirmos em:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n   sen n π x L cos ⁡ n π a t L  

Pronto, essa é a solução do problema de onda em que a velocidade inicial é zero! Temos um seno e um cosseno na resposta (resposta oscilatória como suspeitávamos).

Posição inicial zero (velocidade inicial dada)

Agora vamos ver o outro caso especial, temos u x , 0 = 0 , no seguinte problema:

a 2 u x x = u t t

u 0 , t = u L , t = 0

u t x , 0 = f ( x )

u x , 0 = 0

Perceba que agora a velocidade inicial que é uma função de x conhecida.

Passo 1: Separação de variáveis

O primeiro passo é o mesmo, aplicando a separação de variáveis, vamos encontrar as seguintes equações:

X ' ' x + λ X x = 0

T ' ' t + λ a 2 T t = 0

Para as condições em x :

u 0 , t = 0           →       X 0 ⋅ T t ⏟ ≠ 0 = 0         →         X 0 = 0

u L , t = 0           →       X L ⋅ T t ⏟ ≠ 0 = 0         →         X L = 0

Aqui temos uma pequena diferença:

u x , 0 = 0       →       X x ⏟ ≠ 0 ⋅ T 0 = 0       →       T 0 = 0

Deixamos por último à condição que envolve uma função, nesse caso, u t x , 0 = f x .

Precisamos agora achar X ( x ) e T ( t ) , para encontrar u x , t = X x . T ( t ) . Temos o seguinte para essas duas funções:

X ' ' x + λ X x = 0 X 0 = X L = 0 T ' ' t + λ a 2 T t = 0 T 0 = 0

Passo 2: Resolver o problema que tem duas condições (de contorno)

Esse passo também é o mesmo, vamos resolver então, o problema de valores de contorno em x :

X ' ' x + λ X x = 0 X 0 = X L = 0

Suas soluções são:

X n x = sen n π x L

λ n = π n L 2         n = 1,2 , 3 …

Passo 3: Tendo os valores de λ n , resolver a outra EDO

Vamos agora resolver o problema em t , temos:

T ' ' t + λ a 2 T t = 0 T 0 = 0

Como já vimos, a solução geral é a seguinte:

T t = c 1 cos ⁡ λ a 2 t + c 2 sen ⁡ λ a 2 t

Usando T 0 = 0 , temos:

T 0 = c 1 = 0

Fazendo:

λ n = π n L 2

Temos então:

T n t = sen ⁡ n π a t L

Então, podemos escrever o seguinte:

u n x , t = sen n π x L sen ⁡ n π a t L

Passo 4: Escrever u ( x , t ) como série:

Temos que:

  u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n  sen n π x L sen ⁡ n π a t L  

Agora vamos usar a condição que faltou para determinar o b n :   u t x , 0 = f ( x ) . Mas repare que temos que calcular a derivada de u x ,   t com relação a t primeiro:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n  sen n π x L sen ⁡ n π a t L     →

Para isto, basta lembrar que b n  sen n π x L são constante perante t . Enquanto isso, a derivada de sen ⁡ n π a t L é igual a n π a L ⋅ cos ⁡ n π a t L :

  u t x , t = ∑ n = 1 ∞ b n n π a L  sen n π x L cos ⁡ n π a t L  

Fazendo t = 0 :

u t x , 0 = ∑ n = 1 ∞ b n n π a L ⏟ coef.  da série sen n π x L   = f x

Repare que o coeficiente dos termos dessa série é tudo o que está nos colchetes! O que depende apenas de n (não de x ). Como essa é uma Série de Fourier de senos, fazendo uma extensão ímpar de f ( x ) , podemos dizer que:

b n n π a L = 2 L ∫ 0 L f x  sen n π x L d x

b n = 2 n π a ∫ 0 L f x  sen n π x L d x

Dessa forma, encontramos os coeficientes b n da série. Então, substituímos em:

  u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n  sen n π x L sen ⁡ n π a t L  

Essa é a solução geral para o caso em que a posição inicial é zero.

Repare que o b n pra posição inicial zero é diferente do b n pra velocidade inicial zero, apesar de serem a mesma letra. Não confunda isso!

Caso geral de onda

Ok, mas e se nem a velocidade nem a posição iniciais forem zero? Como fazemos? O caso geral do problema de onda é desse tipo:

a 2 u x x = u t t

u 0 , t = u L , t = 0

u t x , 0 = f ( x )

u x , 0 = g ( x )

A gente viu dois casos, um onde a função g x era 0 ... E outro onde a função f x era o 0 da questão. A ideia aqui é usar os dois problemas para resolver esse!

Você: “Oi? Como assim usar os dois problemas?”

Resposta: vamos usar aqui uma ideia de superposição. Imagine que z é a solução do caso em que a velocidade é zero e w é a solução do caso em que a posição é zero:

P R O B L E M A   1 : V e l o c i d a d e   0 a 2 z x x = z t t z 0 , t = z L , t = 0 z t x , 0 = 0 z x , 0 = g x P R O B L E M A   2 : P o s i ç ã o   0 a 2 w x x = w t t w 0 , t = w L , t = 0 w t x , 0 = f x w x , 0 = 0

A solução do problema 1 é...

z x , t = ∑ n = 1 ∞ c n   sen n π x L cos ⁡ n π a t L  

Enquanto que a do problema 2 a gente viu que é...

w x , t = ∑ n = 1 ∞ d n   sen n π x L sen ⁡ n π a t L  

Podemos entender o caso geral de onda como a soma desses 2 estados: esse que é o chamado de princípio da superposição:

u x , t = z x , t + w ( x , t )

Portanto, para o caso geral do problema de onda, você tem que encontrar a solução desses 2 casos especiais e somar!

Sim, é uma trabalheira infinita, por isso, esse caso não costuma cair em prova, mas se por acaso cair, você já sabe o que fazer.

Comentário: nós vimos aqui como resolver problemas de onda em que a corda tem extremidades fixas u 0 , t = u L , t = 0 , o que é o mais comum. Mas existe o caso em que uma das extremidades é solta também.

O passo a passo que vamos seguir é exatamente o mesmo! O que muda são as condições de contorno dos problemas que vamos encontrar. Quando uma das extremidades está solta, a condição que deve ser atendida é:

u x ( 0 , t ) = 0

Ou

u x L , t = 0

Isso por que a onda mantém o seu formato ao longo do eixo x , não é como na corda com extremidades fixas, que a amplitude varia ao longo do eixo. Quando uma extremidade está solta, a onda se movimenta ao longo do eixo x com o mesmo formato.

Vamos colocar aquele passo a passo esperto então? Partiu!

  1. Falar que a solução é do tipo u x , t = X x T ( t )
  2. Colocar a forma apresentada no passo 1 dentro da equação da onda
  3. Separar tudo que for função de t de um lado e o que for de x do outro
  4. Igualar tudo a - λ
  5. Obter as EDO’s separadas: uma para T t e outra para X ( x )
  6. Substituir a forma do passo 1 nas condições de contorno, lembrando que não queremos solução trivial!
  7. Resolver a EDO que tiver duas condições de contorno!
  8. Estudar os casos de Δ , não podemos ter solução trivial! (aqui obtemos os autovalores, λ , e autofunções)
  9. Resolver a EDO que falta, introduzindo o valor de λ que você obteve no passo 8
  10. Fazer a combinação linear das soluções obtidas em 9 (vai aparecer a série de Fourier)
  11. Para obter o b n resolver a série de Fourier da condição inicial!

Beleza? Vamos à prática agora!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ, Cálculo 4, P2 2013.2, Questão 4

Considerando α e L como sendo constantes positivas e g ( x ) como sendo uma função contínua no intervalo ( 0 ,   L ) , encontre a solução do problema abaixo usando o método de separação de variáveis. Justifique cada passo.

u t t = α 2 u x x u 0 , t = 0 = u x L , t ,           t > 0 u x , 0 = g x ,         0 < x < L u t x , 0 = 0 ,               0 < x < L

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar, como sempre, pela separação de variáveis, procuramos uma solução do tipo:

u x , t = X x . T ( t )

Aplicando isso na equação de onda, temos:

a 2 X ' ' x . T t = X x . T ' ' ( t )

Passando tudo que tem x para um lado e o que tem t para o outro, temos:

X ' ' x X x = 1 a 2 T ' ' t T t

Como essa igualdade vale para todo x e para todo t , essas razões devem ser independentes tanto de x como de t , logo, podemos dizer que isso é igual a uma constante:

X ' ' x X x = 1 a 2 T ' ' t T t = - λ

Separando a igualdade em 2 equações, temos:

X ' ' x + λ X x = 0

T ' ' t + λ a 2 T t = 0

Beleza, agora vamos aplicar a separação para as condições do problema:

u 0 , t = 0           →       X 0 . T t ⏟ ≠ 0 = 0         →         X 0 = 0

u x L , t = 0           →       X ' L . T t ⏟ ≠ 0 = 0         →         X ' L = 0