Equação da Onda

Teoria Completa

Introdução: Vibração em uma corda elástica

Nesse capítulo, vamos estudar a propagação das ondas em uma corda elástica. Vamos usar um raciocínio muito semelhante ao que vimos para a condução de calor.

Imagine uma corda de comprimento de... Digamos L metros. Ela está presa nas duas pontas (com extremidades fixas). Você pode pensar na corda de violão, por exemplo. Agora imagine que alguém puxe a corda e a coloque em movimento oscilatório. Tirando uma foto em um instante qualquer t , poderíamos ter algo assim:

Vamos chamar de u ( x , t ) a altura de um ponto x da corda em um instante t , ok? (como no problema do calor, mas agora o u representa a altura). Dá para mostrar que a altura u x ,   t da corda pode ser modelada em uma equação diferencial parcial dessa forma aqui:

a 2 u x x = u t t

Essa constante a > 0 depende da tensão da corda e da sua densidade linear. Não se preocupe com ele, afinal será um dado no seu problema !

Essa é a equação de onda para 1 dimensão, pois a corda é um objeto que vibra apenas na direção x . A onda do mar, por exemplo, se dá em 3 dimensões.

Repare que a amplitude u é função tanto da posição do ponto x como do tempo t . Isso acontece porque a cada ponto x tem uma altura diferente, e cada “foto” em um tempo t terá um perfil diferente também.

Problemas típicos

Tá! Agora vamos ao que interessa: aos problemas de propagação de onda que serão cobrados de você!

Um problema muito típico é encontrar a altura dos pontos da corda, dado à equação diferencial da onda e outras 3 equações:

a 2 u x x = u t t

u 0 , t = u L , t = 0

u t x , 0 = 0

u x , 0 = g ( x )

Veja que o problema não é muito diferente do que tínhamos lá no capítulo de calor, né?

OK! Então vamos antes de começar a resolver, verificar quem são cada uma dessas equações aqui, já que elas basicamente estarão presentes em todo problema típico da corda como esse:

a 2 u x x = u t t

É a equação diferencial da conda como vimos já na introdução.

u 0 , t = u L , t = 0

Essas são as condições de contorno onde u 0 ,   t é a altura no ponto x = 0 (inicial) em qualquer intervalo de tempo e ela é sempre 0 . Assim como a altura do ponto final ( u L ,   0 ). É como no violão mesmo. Os pontos que estão amarrados não se mechem nunca!

Para o problema de onda, precisamos de mais duas condições: a velocidade inicial u t ( x , 0 ) e a posição inicial u x , 0 ao longo da corda. Nesse exemplo, temos um problema de velocidade inicial 0 :

u t x , 0 = 0

E posição inicial dada como uma função g x qualquer:

u x , 0 = g ( x )

Mas não seria anormal ele te desse uma velocidade inicial não nula, tipo u t x , 0 = f x = x 2 . Não se assuste! A gente vai ver um exemplo, depois !

Então agora bora aprender a resolver este problema?

Velocidade inicial zero (posição inicial dada)

Como vimos, esse caso ocorre quando u t x , 0 = 0 . É exatamente o problema acima:

a 2 u x x = u t t

u 0 , t = u L , t = 0

u t x , 0 = 0

u x , 0 = g ( x )

Lembre-se, o que você almeja aqui é encontrar uma expressão para u x ,   t . Então caneta e papel na mão para anotar o passo a passo!

Passo 1: Separação de variáveis

Isso não é muita novidade, né? O passo a passo é muito parecido com o problema de calor, vamos procurar soluções do tipo :

u x , t = X x . T ( t )

Aplicando isso na equação de onda, temos:

a 2 X ' ' x ⋅ T t = X x ⋅ T ' ' ( t )

Passando tudo que tem x para um lado e o que tem t para o outro, temos:

X ' ' x X x = 1 a 2 T ' ' t T t

Como essa igualdade vale para todo x e para todo t , essas razões devem ser independentes tanto de x como de t , logo, podemos dizer que isso é igual a uma constante:

X ' ' x X x = 1 a 2 T ' ' t T t = - λ

Nesse caso, estamos falando que a constante é - λ pra facilitar as verificações depois, mas se você não se lembrar disso, pode igualar a uma constante qualquer (sei lá, tipo... constante C ). O importante é igualar a uma constante!

Separando a igualdade em 2 equações, temos:

X ' ' x + λ X x = 0

T ' ' t + λ a 2 T t = 0

Isso tudo é muito parecido com a equação de calor, a diferença é que, como temos derivadas de 2ª ordem tanto para x como para t na equação de onda, encontramos duas EDO’s de segunda ordem após a separação de variáveis!

Beleza! Agora vamos aplicar a separação para as condições do problema:

u 0 , t = 0           →       X 0 ⋅ T t ⏟ ≠ 0 = 0         →         X 0 = 0

Se tivéssemos T t = 0 , então encontraríamos a solução trivial para o problema, porque como u x , t = X x . T ( t ) , então u x , t = 0 (O que não nos interessa!). Portanto, concluímos que X 0 = 0 . O mesmo ocorre aqui:

u L , t = 0           →       X L ⋅ T t ⏟ ≠ 0 = 0         →         X L = 0

Temos também:

u t x , 0 = 0       →       X x ⏟ ≠ 0 ⋅ T ' 0 = 0       →       T ' 0 = 0

Da mesma forma que fizemos com os problemas de calor, sempre deixamos por último a condição que possui uma função! Nesse caso, u x , 0 = g ( x ) , esquece ela por enquanto.

Precisamos agora achar X ( x ) e T ( t ) , para encontrar u x , t = X x ⋅ T ( t ) e temos o seguinte para essas duas funções (colocando tudo que encontramos aqui juntos):

X ' ' x + λ X x = 0 X 0 = X L = 0 T ' ' t + λ a 2 T t = 0 T ' 0 = 0

Passo 2: Resolver o problema que tem duas condições (de contorno).

Vamos resolver então, o problema de valores de contorno em x , já que ele é o cara que tem 2 condições:

X ' ' x + λ X x = 0 X 0 = X L = 0

Bom, isso é um problema de Dirichlet homogêneo, não é? Nós sabemos que as suas soluções são do tipo:

X n x = sen n π x L

λ n = π n L 2         n = 1,2 , 3 …

Se você se esqueceu de ou ainda não viu como se resolve o problema de Dirichlet, não se preocupe! Nos exercícios a gente vai fazê-lo juntos novamente. Eu só não vou colocar aqui agora, para essa teoria não ficar chata pra você !

Passo 3: Tendo os valores de λ n , resolver a outra EDO

Vamos agora resolver o problema em t , temos:

T ' ' t + λ a 2 T t = 0 T ' 0 = 0

Essa é a maior diferença para o problema de calor, pois nesse passo, encontrávamos uma EDO do 1º grau, não é? Aqui temos uma do 2º, mas não tem muito mistério, você vai ver.

Vamos resolver pelo método que conhecemos, da equação característica. Repare que, como o valor de λ é conhecido (do passo anterior) e a é um coeficiente dado, não precisamos analisar os 3 casos de , olha só:

r 2 + λ a 2 = 0

r = ± - λ a 2 ⏟ > 0

Repare que, tanto a (por sua definição) como λ (que encontramos no passo anterior) são positivos, logo, o que está dentro da raiz é negativo, ∆ < 0 . Podemos reescrever r como:

r = 0 ± i λ a 2

As soluções da EDO são do tipo:

T t = c 1 cos ⁡ λ a 2 t + c 2 sen ⁡ λ a 2 t

Usando T ' 0 = 0 , temos:

T ' t = - c 1 λ a 2 sen ⁡ λ a 2 t + c 2 λ a 2 cos ⁡ λ a 2 t

T ' 0 = c 2 λ a 2 ⏟ ≠ 0 = 0       →       c 2 = 0

Fazendo :

λ n = π n L 2

Temos então:

T n t = cos ⁡ n π a t L

Então, podemos escrever o seguinte:

u n x ,   t = X n x ⋅ T n t   →

u n x , t = sen n π x L cos ⁡ n π a t L

Passo 4: Escrever u ( x , t ) como série e achar os coeficientes da série:

Bom, esse u n que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO em x e à EDO em t . Sabemos também, pela própria definição de autofunções, que múltiplos dessa solução ou combinações lineares de soluções desse tipo também satisfazem as EDO’s.

Esse paragrafo bonito e até complicado de entender é só para indicar que você tem que escrever o seguinte:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L cos ⁡ n π a t L  

Podemos interpretar essa série como uma combinação linear infinita de u n ’s.

Beleza! Agora precisamos usar a condição do problema que deixamos de lado para encontrar o b n : u x , 0 = g ( x ) . Fazendo t = 0 , temos:

u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ b n  sen n π x L = g ( x )

Como essa é uma Série de Fourier de senos, fazendo uma extensão ímpar de g ( x ) , podemos dizer que:

b n = 2 L ∫ 0 L g x  sen n π x L d x

Relembrou? Então, após a integração, basta substituirmos em:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n   sen n π x L cos ⁡ n π a t L  

Pronto, essa é a solução do problema de onda em que a velocidade inicial é zero! Temos um seno e um cosseno na resposta (resposta oscilatória como suspeitávamos).

Posição inicial zero (velocidade inicial dada)

Agora vamos ver o outro caso especial, temos u x , 0 = 0 , no seguinte problema:

a 2 u x x = u t t

u 0 , t = u L , t = 0