Lista de Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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a) Esboce o gráfico da função dada por 3 períodos

b) Encontre a série de Fourier da função dada

f x = x + L         - L ≤ x ≤ 0 L                                 0 < x < L

f x + 2 L = f ( x )

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Seja f uma função 2 π - periódica , tal que f x = | sen ⁡ ( x ) | se x ∈ [ - π , π ) .

a) Esboce o gráfico de f no intervalo [ 0 ,   2 π ] .

b) Calcule a série de Fourier da função f .

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Suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original.

Encontre a série de Fourier da função estendida

f x = 0             - 1 ≤ x < 0 x 2                       0 ≤ x < 1

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Dê a fórmula (sem calcular as integrais resultantes) dos coeficientes b 1 , … , b n que minimizam a expressão:

∫ 0 π e x 3 - ∑ k = 1 n b k sen ⁡ k x 2 d x

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Determine c 1 , c 2 ∈ R de modo que

∫ 0 π cos ⁡ x - c 1 sen ⁡ x - c 2 sen ⁡ 2 x 2 d x

Assuma o menor valor possível.

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b) Seja

I = ∫ - π π x + x - A + B sen ⁡ 2 x + C cos ⁡ 2 x 2

Encontre A, B e C que minimize I .

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Questão 1: Seja f : 0 ,   2 → R a função

f x = sin ⁡ π x 4

c) Calcule o valor da série

∑ m = 1 ∞ 1 4 m 2 - 1

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Considere a função F ( x )   =   π 2   -   x 2 , onde x varia no intervalo [ - π   ,   π ] . Calcular a série de fourier associada a função F ( x ) . O símbolo π representa a constante matemática de valor 3,1415926535...

( )   2 π 2 3     +   ∑ n   =   1 ∞   - 4   *   - 1 n   n 2      

( ) 2 π 2 3   + ∑ n   =   1 ∞   2 *   - 1 n   n 2      

( ) 2 π 2 3   + ∑ n   =   1 ∞ - 2 *   - 1 n   n 2      

( )   3 π 2 2     +   ∑ n   =   1 ∞   - 4   *   - 1 n   n 2        

( )   3 π 2 2     +   ∑ n   =   1 ∞   - 2   *   - 1 n   n 2      

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Encontre a série de Fourier para a função f (   x ) = 2 , 0 ≤ x ≤ π e f ( x ) =   - x se π < x ≤ 2 π

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Considere a função f   :   R   →   R periódica de período 2 , que no intervalo [ - 1,1 )   é definida por f ( x )   =   7 x 6 e seja S ( x ) a sua série de Fourier.

  1. Escreva como deve ser S ( x ) sem calcular coeficientes a n , n = 0 , 1,2 , 3 , … e b n , n = 1,2 , 3 , mas apenas escrevendo as integrais que dão seus valores.
  2. Calcule a 0 e b n , n = 0 , 1,2 …
  3. Calcule ∑ n = 1 ∞ a n .
  4. Calcule ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n a n .
  5. Determine os valores de x ∈ R para os quais f x = S ( x ) .

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Se

∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ π n x 3 = x ,     x ∈ [ 0,3 [

Então o valor de b n para n ∈ N é:

a   b n = 2 - 1 n + 1 π n

b   b n = 3 - 1 n + 1 π n

c   b n = 3 - 1 n π n

d   b n = 6 - 1 n + 1 π n

e   b n = 6 - 1 n π n

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Considere f x = x se - 1 ≤ x ≤ 1 e tal que f x + 2 = f ( x ) .

(a) (2pts) Mostre que a série de Fourier de f é dada por

f x = 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n sen ⁡ ( n π x ) ;

(b) (2pts) Utilizando o item (a) prove que

π 4 = 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + … = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 .

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Seja a função

  f x = x       ,   x   ε   [ - π , π ]

Na série de Fourier chega-se a a n = 1 π ∫ - π π x cos ⁡ n x d x

Podemos afirmar que o valor de a n é:

( ) 2 n sen ⁡ ( n π )

( ) n π

( ) n π

( )   0

( ) n   sen ⁡ ( n π )

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Encontre a série de Fourier para a função f x = 1 se 0   ≤   x ≤ π       e f x = - 1 se π ≤ x ≤   2 π

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Dada a função:

f t =   1 ,     - 2 ≤ t ≤ 0 2 ,       0 < t ≤ 2

  1. Encontre a série de Fourier de f

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Dada a função:

f t =   1 ,     - 2 ≤ t ≤ 0 2 ,       0 < t ≤ 2

  1. Calcule a soma da série:

∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 2

Sugestão: integre a série de Fourier de f

F f x =   3 2 +   2 π   ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1   s e n   ( 2 k - 1 π x 2

No intervalo de [0,2]

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