a) Esboce o gráfico da função dada por 3 períodos
b) Encontre a série de Fourier da função dada
f x = x + L - L ≤ x ≤ 0 L 0 < x < L
f x + 2 L = f ( x )
Ver solução completa Seja
f
uma função
2 π
- periódica , tal que
f x = | sen ( x ) |
se
x ∈ [ - π , π )
.
a) Esboce o gráfico de
f
no intervalo
[ 0 , 2 π ]
.
b) Calcule a série de Fourier da função
f
.
Ver solução completa Suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original.
Encontre a série de Fourier da função estendida
f x = 0 - 1 ≤ x < 0 x 2 0 ≤ x < 1
Ver solução completa Dê a fórmula (sem calcular as integrais resultantes) dos coeficientes
b 1 , … , b n
que minimizam a expressão:
∫ 0 π e x 3 - ∑ k = 1 n b k sen k x 2 d x
Ver solução completa Determine
c 1
,
c 2 ∈ R
de modo que
∫ 0 π cos x - c 1 sen x - c 2 sen 2 x 2 d x
Assuma o menor valor possível.
Ver solução completa b) Seja
I = ∫ - π π x + x - A + B sen 2 x + C cos 2 x 2
Encontre A, B e C que minimize
I
.
Ver solução completa Considere a função
F ( x ) = π 2 - x 2
, onde x varia no intervalo
[ - π , π ] .
Calcular a série de fourier associada a função
F ( x )
. O símbolo
π
representa a constante matemática de valor 3,1415926535...
( )
2 π 2 3 + ∑ n = 1 ∞ - 4 * - 1 n n 2
( )
2 π 2 3 + ∑ n = 1 ∞ 2 * - 1 n n 2
( )
2 π 2 3 + ∑ n = 1 ∞ - 2 * - 1 n n 2
( )
3 π 2 2 + ∑ n = 1 ∞ - 4 * - 1 n n 2
( )
3 π 2 2 + ∑ n = 1 ∞ - 2 * - 1 n n 2
Ver solução completa Encontre a série de Fourier para a função
f ( x ) = 2
,
0 ≤ x ≤ π
e
f ( x ) = - x
se
π < x ≤ 2 π
Ver solução completa Questão 1 : Seja
f : 0 , 2 → R
a função
f x = sin π x 4
c) Calcule o valor da série
∑ m = 1 ∞ 1 4 m 2 - 1
Ver solução completa Se
∑ n = 1 ∞ b n sen π n x 3 = x , x ∈ [ 0,3 [
Então o valor de
b n
para
n ∈ N
é:
a b n = 2 - 1 n + 1 π n
b b n = 3 - 1 n + 1 π n
c b n = 3 - 1 n π n
d b n = 6 - 1 n + 1 π n
e b n = 6 - 1 n π n
Ver solução completa Considere
f x = x
se
- 1 ≤ x ≤ 1
e tal que
f x + 2 = f ( x )
.
(a) (2pts) Mostre que a série de Fourier de
f
é dada por
f x = 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n sen ( n π x ) ;
(b) (2pts) Utilizando o item (a) prove que
π 4 = 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + … = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 .
Ver solução completa Encontre a série de Fourier para a função
f x = 1
se
0 ≤ x ≤ π
e
f x = - 1
se
π ≤ x ≤ 2 π
Ver solução completa Seja a função
f x = x , x ε [ - π , π ]
Na série de Fourier chega-se a
a n = 1 π ∫ - π π x cos n x d x
Podemos afirmar que o valor de
a n
é:
( )
2 n sen ( n π )
( )
n π
( )
n π
( )
0
( )
n sen ( n π )
Ver solução completa Dada a função:
f t = 1 , - 2 ≤ t ≤ 0 2 , 0 < t ≤ 2
Encontre a série de Fourier de
f
Ver solução completa Dada a função:
f t = 1 , - 2 ≤ t ≤ 0 2 , 0 < t ≤ 2
Calcule a soma da série:
∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 2
Sugestão: integre a série de Fourier de
f
F f x = 3 2 + 2 π ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 s e n ( 2 k - 1 π x 2
No intervalo de [0,2]
Ver solução completa Considere a função
f : R → R
periódica de período
2
, que no intervalo
[ - 1,1 )
é definida por
f ( x ) = 7 x 6
e seja
S ( x )
a sua série de Fourier.
Escreva como deve ser
S ( x )
sem calcular coeficientes
a n ,
n = 0,1 , 2,3 , …
e
b n ,
n = 1,2 , 3
, mas apenas escrevendo as integrais que dão seus valores.
Calcule
a 0
e
a n
,
n = 0,1 , 2 …
Calcule
∑ n = 1 ∞ b n
.
Calcule
∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n b n
.
Determine os valores de
x ∈ R
para os quais
f x = S ( x )
.
Ver solução completa