EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

Produzido por Carolina Saba
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Teoria

Introdução

Nessa seção a gente vai ver EDOs não-homogêneas como abaixo:

y ' ' - 2 y ' + 1 = f ( t )

Mas esse f ( t ) não vai ser uma função qualquer. Nã-Nã-Não! Ele vai ser uma função que envolve degrau ou impulso. Então você precisa estar bem afiado com esses conceitos.

Degrau

Como o que vamos falar trata também desses dois conceitos, é bom você se lembrar. O degrau unitário é uma função que vale 0 à esquerda de seu ponto central e 1 a direita desse mesmo ponto:

u t - c = 0 , t < c 1 , t > c

Podemos também associar uma função a ele, que ficará:

f ( t - c ) u t - c = 0 ,                             t < c f ( t - c ) , t > c

A transformada dessa coisa linda será:

L f t - c u t - c = e - c s L { f t }

Ou seja, se temos o degrau multiplicando uma função deslocada, teremos a transformada da função sem o deslocamento vezes a exponencial!

Delta de Dirac

O Delta de Dirac, ou impulso, é como se fosse uma força provocada por um empurrão, dura muito pouco tempo, mas seus efeitos não são desprezíveis. Um impulso aplicado no tempo t = c é:

δ t - c = + ∞ , t = c 0 ,         t ≠ c

Ou seja, a força é muito grande num um único ponto e nula em todos os demais.A transformada desse menino é:

L δ t - c = e - c s

Se você entendeu bem o que falamos até aqui, vamos em frente. Se ficou alguma dúvida, vale a pena voltar um pouquinho e olhar os tipos de degrau e delta de Dirac.

Resolvendo a EDO

Então gente, vamos a um exemplo prático: Resolver o seguinte problema

y ' ' x + y x = δ t - 2 ;     y 0 = y ' 0 = 0

Bom gente como a gente tem feito para EDO’s vamos primeiro escrever as transformadas das derivadas

L y ' ' t s = s 2 L y t s - s y 0 - y ' ( 0 )

L y ' t s = s L y t s - y ( 0 )

Agora se aplicarmos as condições iniciais vamos ficar com

L y ' ' t s = s 2 L y t s

L y ' t s = s L y t s

Além disso, usando a fórmula que eu recordei lá em cima

L δ t - 2 s = e - 2 s

Beleza, então se aplicarmos Laplace em ambos os lados da equação diferencial vamos ter

L y ' ' x + y x s = L y ' ' t s + L y t s = L [ δ t - 2 ] ( s )

Usando as expressões que eu acabei de obter

s 2 L y t s + L y t s = e - 2 s

Qual o próximo passo? Reagrupar...

L y t s s 2 + 1 = e - 2 s → L y t s = e - 2 s s 2 + 1

Beleza agora é só proceder como de costume para achar a transformada inversa que neste caso será: y t = sin ⁡ t - 2 u 2 t

Assim mesmo, deslocado e multiplicado por um degrau por conta da exponencial que aparece na transformada. 😊

E se tivéssemos um degrau em vez de um delta? Não ia aparecer aquela exponencial que veio da transformada do delta de Dirac. Ali ia aparecer a transformada do Degrau, mas o procedimento é exatamente o mesmo. Partiu exercícios!

Delta de Dirac

Resolvendo a EDO

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