EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
Produzido por Carolina SabaTeoria
Introdução
Nessa seção a gente vai ver EDOs não-homogêneas como abaixo:
Mas esse não vai ser uma função qualquer. Nã-Nã-Não! Ele vai ser uma função que envolve degrau ou impulso. Então você precisa estar bem afiado com esses conceitos.
Degrau
Como o que vamos falar trata também desses dois conceitos, é bom você se lembrar. O degrau unitário é uma função que vale à esquerda de seu ponto central e a direita desse mesmo ponto:
Podemos também associar uma função a ele, que ficará:
A transformada dessa coisa linda será:
Ou seja, se temos o degrau multiplicando uma função deslocada, teremos a transformada da função sem o deslocamento vezes a exponencial!
Delta de Dirac
O Delta de Dirac, ou impulso, é como se fosse uma força provocada por um empurrão, dura muito pouco tempo, mas seus efeitos não são desprezíveis. Um impulso aplicado no tempo é:
Ou seja, a força é muito grande num um único ponto e nula em todos os demais.A transformada desse menino é:
Se você entendeu bem o que falamos até aqui, vamos em frente. Se ficou alguma dúvida, vale a pena voltar um pouquinho e olhar os tipos de degrau e delta de Dirac.
Resolvendo a EDO
Então gente, vamos a um exemplo prático: Resolver o seguinte problema
Bom gente como a gente tem feito para EDO’s vamos primeiro escrever as transformadas das derivadas
Agora se aplicarmos as condições iniciais vamos ficar com
Além disso, usando a fórmula que eu recordei lá em cima
Beleza, então se aplicarmos Laplace em ambos os lados da equação diferencial vamos ter
Usando as expressões que eu acabei de obter
Qual o próximo passo? Reagrupar...
Beleza agora é só proceder como de costume para achar a transformada inversa que neste caso será:
Assim mesmo, deslocado e multiplicado por um degrau por conta da exponencial que aparece na transformada. 😊
E se tivéssemos um degrau em vez de um delta? Não ia aparecer aquela exponencial que veio da transformada do delta de Dirac. Ali ia aparecer a transformada do Degrau, mas o procedimento é exatamente o mesmo. Partiu exercícios!