EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes

Teoria Completa

Introdução

Basicamente, esse capítulo e os próximos são a aplicação das Transformadas de Laplace, então se você ficou com alguma dúvida volta lá para dar uma revisada!

Você já viu a definição da Transformada de Laplace, como calculá-la e várias de suas propriedades. Mas para que isso tudo? Para chegarmos aqui: vamos usar todos esses conceitos para resolver EDO’S.

Transformada de Laplace de derivadas

Antes de continuar, é bom lembrar bem das transformadas de derivadas. Vimos anteriormente que a transformada de uma derivada de ordem n é:

L f n t = s n L f t - s n - 1 f 0 - s n - 2 f ' 0 - … - s f n - 2 0 - f n - 1 ( 0 )

Traduzindo isso aí, a primeira coisa que vai aparecer é um s elevado a ordem da derivada e que multiplica a transformada da função:

s n L f t

Depois, todos os termos terão o sinal de menos que pode sumir na hora de substituir os valores.

- s n - 1 f 0 - s n - 2 f ' 0 - … - s f n - 2 0 - f n - 1 ( 0 )

O grau do s vai diminuindo um a um a cada termo até chegar ao grau zero e a ordem de f 0 vai aumentando um a um a cada termo até chegar ao grau n - 1 .

Não vai esquecer isso na prova, hein?! Para ordem 2 , vai ficar:

L f ' ' t = s 2 L f t - s f 0 - f ' ( 0 )

E ordem 1 :

L f ' t = s L f t - f ( 0 )

Repare que precisamos saber os valores iniciais da função para calcular.

Entendeu tudo isso? Vamos seguir. Não entendeu? Volte no tipo de transformadas de derivadas que está tudo bem mais suave por lá.

EDO e Laplace

Vamos ver um exemplo prático desse método, para você entender bem como ele funciona.

Exemplo: Resolva o problema de valor inicial:

y ' ' - y ' - 2 y = 0

y 0 = 1

y ' 0 = 0

Provavelmente você já resolveu esse tipo de problema pelo método da equação característica, agora vamos ver como resolver por Laplace.

Passo 1: Aplicar a Transformada de Laplace à equação.

Lembra que a Transformada de Laplace é linear? Temos

L y ' ' - y ' - 2 y = L y ' ' - L y ' - 2 L y = 0

Agora vamos aplicar aquela propriedade da Transformada da derivada, lembra dela?

L y ' = s L y - y 0

L y ' ' = s 2 L y - s y 0 - y ´ ( 0 )

Substituindo na equação, temos:

s 2 L y s - s y 0 - y ´ 0 - s L y - y 0 - 2 L y = 0

Passo 2: Substituir os valores iniciais e isolar L y

Como y 0 = 1   e   y ' 0 = 0 , temos:

s 2 L y - s - s L y - 1 - 2 L y = 0

s 2 L y - s - s L y + 1 - 2 L y = 0

L y s 2 - s - 2 = s - 1

L y = s - 1 s 2 - s - 2

Passo 3: Agora vamos decompor a expressão que encontramos em frações parciais.

O tipo que trata das transformadas tradicionais fala bem de frações parciais, se você não entender esse passo, volte rapidinho nele ;-)

As raízes de ( s 2 - s - 2 ) são 2 e - 1 , portanto, podemos escrever s 2 - s - 2 = ( s - 2 ) ( s + 1 ) .

s - 1 s 2 - s - 2 = a s - 2 + b s + 1

Temos que juntar tudo agora para achar essas constantes a e b :

s - 1 s 2 - s - 2 = a s + 1 + b ( s - 2 ) s - 2 ( s + 1 ) = a s + a + b s - 2 b s 2 - s - 2

Juntando os termos pelos graus de s :

L y = s - 1 s 2 - s - 2 = s a + b + ( a - 2 b ) s 2 - s - 2

Como o denominador já é o mesmo, temos:

s - 1 = s a + b + ( a - 2 b )

Portanto:

a + b = 1         ⟹         a = 1 - b a - 2 b = - 1                                                        

1 - b - 2 b = - 1         ⟹             b = 2 / 3

a = 1 - 2 / 3         ⟹             a = 1 / 3

  1. Agora que já temos os coeficientes a e b , basta reescrever as frações que criamos.

L y = s - 1 s 2 - s - 2 = 1 / 3 s - 2 + 2 / 3 s + 1

Passo 4: Agora que já temos as frações parciais, precisamos reconhecer a função y pela sua transformada. Ou seja, achar a transformada inversa!

Lembra que L e a t = 1 / ( s - a ) ? Essa transformada é muito parecida com cada uma das frações parciais, não é? Vamos, então, reescrever essas frações para reconhecer a função.

L y = 1 3 ⋅ 1 s - 2 + 2 3 ⋅ 1 s + 1

L y = 1 3 L e 2 t + 2 3 L e - t

L y = L 1 3 e 2 t + 2 3 e - t

Portanto, y é exatamente aquela expressão dentro dos colchetes da transformada:

y ( t ) = 1 3 e 2 t + 2 3 e - t

Lembre-se que y é uma função de t , não de s ! Não se confunda com isso, ok?

Talvez você esteja se perguntando: por que resolver EDO por Laplace? O método antigo já não estava bom?

Realmente, em certos casos resolver por Laplace dá muito mais trabalho! Mas Laplace também tem suas vantagens.

Uma delas é que conseguimos trabalhar com EDO’s não-homogêneas muito facilmente (se você não lembra, não tem problema, EDO não-homogênea é aquela que não tem “ 0 ” do outro lado do “ = ”. Tem uma função f ( t ) qualquer perdida).

Nesse caso, a única diferença é que temos que calcular a transformada dessa função também f ( t ) , quando formos aplicar Laplace na EDO. Outra vantagem é que não é necessário substituir as condições iniciais depois, ao longo do método elas já serão substituídas (lembra que na transformada da derivada, é necessário conhecer os valores iniciais?).

Resolver esse tipo de EDO não homogênea pelo método da equação característica dá muito mais trabalho! Se você já aprendeu isso, deve se lembrar.

Então, vamos resumir o que vimos para organizar melhor as ideias!

Passo a Passo para EDO por Laplace:

  1. Aplicar Laplace à EDO;
  2. Isolar L y , encontrando uma expressão para a transformada de y (não se esqueça de substituir os valores iniciais que o problema deu);
  3. Decompor a expressão de L y em frações parciais;
  4. Reconhecer funções por suas transformadas (ver e “ajustar” cada fração parcial separadamente).

Basicamente todos os exercícios de EDO resolvidos por Laplace vão seguir esse mesmo padrão. A parte mais complicada será reconhecer a função y depois que você encontrar sua transformada L y , às vezes você vai precisar usar um pouco de algebrismo. Por isso, é uma boa você treinar bastante essa “criatividade” fazendo exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UNICAMP - Cálculo 3 - Exame 2013 - 2c

Resolva o problema de valor inicial

y ' ' + 4 y = 2 t ,     y 0 = 1 ,     y ' 0 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver esse PVI, beleza? Para isso, aplicamos a transformada de Laplace em todo mundo.

L y ( t ) = Y ( s )

L y ' ' t = s 2 Y s - s y 0 - y ' 0

Agregando os valores iniciais dados, temos

L y ' ' t = s 2 Y s - s

Além disso, para o termo do lado direito, sabemos que

L 2 t = 2 s 2

Passo 2

Substituindo na equação, temos:

y ' ' + 4 y = 2 t

L [ y ' ' ] + L [ 4 y ] = L [ 2 t ]

s 2 Y s - s + 4 Y s = 2 s 2

Reordenando:

Y s s 2 + 4 = s 3 + 2 s 2

Y s = s 3 + 2 s 2 s 2 + 4

Passo 3

Agora, vamos usar frações parciais para achar a inversa de Y ( s ) , isto é, o y ( t ) .

s 3 + 2 s 2 s 2 + 4 = A s + B s 2 + C s + D s 2 + 4

s 3 + 2 s 2 s 2 + 4 = A s + B s 2 + 4 + C s + D s 2 s 2 s 2 + 4

O numerador da direita, então, se torna:

A s + B s 2 + 4 + C s + D s 2 = A s 3 + B s 2 + 4 A s + 4 B + C s 3 + D s 2

A s + B s 2 + 4 + C s + D s 2 = ( A + C ) s 3 + ( B + D ) s 2 + 4 A s + 4 B

E, comparando termo a termo, para que a expressão se iguale a s 3 + 2 :

A + C = 1 B + D = 0 4 A = 0 4 B = 2

Assim, concluímos que A = 0 , B = 1 / 2 , C = 1 e D = - 1 / 2 . Logo:

s 3 + 2 s 2 s 2 + 4 = 1 / 2 s 2 + s - 1 / 2 s 2 + 4

s 3 + 2 s 2 s 2 + 4 = 1 / 2 s 2 + s s 2 + 4 - 1 / 2 s 2 + 4

Passo 4

Por fim, vamos reconhecer as inversas...

Y ( s ) = 1 / 2 s 2 + s s 2 + 4 - 1 / 2 s 2 + 4

Como y t =   L - 1 Y s , vem:

y t = L - 1 1 2 . 1 s 2 + L - 1 s s 2 + 4 - L - 1 1 4 . 2 s 2 + 4

y t = t 2 + cos ⁡ ( 2 t ) - s e n   ( 2 t ) 4

Resposta

y t = t 2 + cos ⁡ ( 2 t ) - s e n   ( 2 t ) 4