Teoria Completa
Transformada de uma derivada de primeira ordem
Vamos ver agora como ficará a transformada de uma derivada. As transformadas estão acabando, eu prometo!
Como a gente já sabe, transformada nova significa linha nova na nossa tabelinha de transformada (hoje vamos colocar duas linhas novas que são muito importantes!).
Vamos considerar uma função tipo e sabemos que Suponha que queremos fazer isso aqui:
Ou seja, queremos calcular a transformada da derivada de . Tem uma propriedade irada que é a seguinte:
Aqui para o nosso caso, vamos ter:
Utilizando a nossa tabelinha temos que:
Então
Só uma observação maneira, e dá tabela sabemos que:
Uhuuul! A fórmula funciona mesmo!
Transformada de uma derivada de segunda ordem
Agora, imagina que queremos calcular a transformada de o que faremos? Usaremos essa formulinha aqui:
Lá para o caso de , temos que e . Portanto,
Transformada de uma derivada de ordem
Eu sei que você não está afim de ver mais uma demonstração aqui e tem pressa, então já adiantamos que, conservada as condições:
Quer um bizu para lembrar disso aí? Lembre que:
- O que multiplica a transformada tem a mesma ordem da derivada;
- Depois da transformada, todos os termos estão subtraindo;
- Depois da transformada, a ordem do vai diminuindo a , enquanto a de aumenta na mesma proporção.
Então vamos ao passo a passo:
- Reconhecer a função
- Achar e assim vai
- Aplicar o teorema até a ordem que ele pediu (normalmente é até segunda ordem)
- Substituir os valores encontrados
Exercício Resolvido #1
Dado que
é a transformada de Laplace de (), calcule e , sendo e .
Passo 1
Temos aqui um
e buscamos e .
Para a primeira derivada,
Passo 2
Vamos fazer essas contas então:
Passo 3
Para a segunda derivada:
Passo 4
Então, fazendo as contas
Resposta
;
Exercício Resolvido #2
Seja uma função seccionalmente contínua definida sobre cuja derivada é seccionalmente contínua e de ordem exponencial. Se, além disso, e , calcule .
Passo 1
Essa questão é pura aplicação de fórmulas, você vai ver! Temos a seguinte fórmula com transformada da derivada:
Logo,
Passo 2
Substituindo os dados do problema,
Certo? Beleza.
Passo 3
Agora temos que lembrar da fórmula da transformada de uma função vezes uma exponencial, já que é o que o problema pede:
Se você não se lembra dessa fórmula, relaxa! Dá um pulinho lá em primeiro teorema do deslocamento.
Passo 4
Aplicando à questão:
Nós já temos , não é? Então podemos encontrar substituindo por . Temos:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Calcule a transformada de Laplace da função:
Sabendo que , .
Sugestão: .
Passo 1
Olha na nossa tabelinha não tem a transformada de ! Então o que podemos fazer? Bem, ainda não sei. Mas uma coisa interessante é que
Além disso, se eu chamar , temos .
Passo 2
Lembra da fórmula da transformada da derivada? É essa aqui
Olha essa sacada aqui:
Mas olha lá no passo 1 quem é a derivada de !
Passo 3
Como o enunciado nos contou que
Usando a fórmula que obtivemos no passo 2
Passo 4
Lembra lá da linearidade? Se for uma constante, podemos fazer
Assim,
Passo 5
Estamos quase lá! Para chegar no que ele quer falta aquela exponencial ! Vamos lembrar do primeiro teorema do deslocamento?
Se a gente chamar e . Vamos ter que
Lá do passo anterior a gente sabe quem é . Finalmente,