Transformada de Derivadas

Teoria Completa

Transformada de uma derivada de primeira ordem

Vamos ver agora como ficará a transformada de uma derivada. As transformadas estão acabando, eu prometo!

Como a gente já sabe, transformada nova significa linha nova na nossa tabelinha de transformada (hoje vamos colocar duas linhas novas que são muito importantes!).

Vamos considerar uma função tipo f t = cos ⁡ t e sabemos que f 0 = cos ⁡ 0 = 1 . Suponha que queremos fazer isso aqui:

L f ' t

Ou seja, queremos calcular a transformada da derivada de f . Tem uma propriedade irada que é a seguinte:

L f ' t = s L f t - f ( 0 )

Aqui para o nosso caso, vamos ter:

L ( cos ⁡ t ) ' = s L { cos ⁡ t } - cos ⁡ 0

Utilizando a nossa tabelinha temos que:

L { cos ⁡ t } = s s 2 + 1

Então

L ( cos ⁡ t ) ' = s L { cos ⁡ t } - cos ⁡ 0 = s 2 s 2 + 1 - 1 = s 2 - s 2 - 1 s 2 + 1 = - 1 s 2 + 1

Só uma observação maneira, f ' t = - sen ⁡ t e dá tabela sabemos que:

L - sen ⁡ t = - 1 s 2 + 1

Uhuuul! A fórmula funciona mesmo!

Transformada de uma derivada de segunda ordem

Agora, imagina que queremos calcular a transformada de f ' ' ( t ) o que faremos? Usaremos essa formulinha aqui:

L { f ' ' t } = s 2 L f t - s f 0 - f ' ( 0 )

Lá para o caso de f t = cos ⁡ t , temos que f 0 = 1 e f ' 0 = - sen ⁡ 0 = 0 . Portanto,

L cos ⁡ t ' ' = s 2 L { cos ⁡ t } - s cos ⁡ 0 + sen ⁡ 0

L cos ⁡ t ' ' = s 3 s 2 + 1 - s = - s s 2 + 1

Transformada de uma derivada de ordem n

Eu sei que você não está afim de ver mais uma demonstração aqui e tem pressa, então já adiantamos que, conservada as condições:

L f n t = s n L f t - s n - 1 f 0 - s n - 2 f ' 0 - … - s f n - 2 0 - f n - 1 ( 0 )

Quer um bizu para lembrar disso aí? Lembre que:

  • O s que multiplica a transformada tem a mesma ordem da derivada;
  • Depois da transformada, todos os termos estão subtraindo;
  • Depois da transformada, a ordem do s vai diminuindo 1 a 1 , enquanto a de f ( 0 ) aumenta na mesma proporção.

Então vamos ao passo a passo:

  • Reconhecer a função f ( t )
  • Achar f 0 ,   f ' 0 ,   f ' ' ( 0 ) e assim vai
  • Aplicar o teorema até a ordem que ele pediu (normalmente é até segunda ordem)
  • Substituir os valores encontrados
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Exercício Resolvido #1

UNICAMP – Cálculo 3 – Exame 2013 – 2b

Dado que

F s = 2 s 2 ( s 2 + 4 )

é a transformada de Laplace de f ( f = L - 1 [ F ] ), calcule L [ f ' ] e L [ f ' ' ] , sendo f 0 = 3 e f ' 0 = - 1 .

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Passo 1

Temos aqui um F s = L [ f t ]

F s = 2 s 2 ( s 2 + 4 )

e buscamos L [ f ' ] e L [ f ' ' ] .

Para a primeira derivada,

L f ' = s . F s - f ( 0 )

Passo 2

Vamos fazer essas contas então:

L f ' = s . 2 s 2 ( s 2 + 4 ) - 3

L f ' = 2 s ( s 2 + 4 ) - 3

Passo 3

Para a segunda derivada:

L f ' ' = s 2 . F s - s . f 0 - f ' ( 0 )

Passo 4

Então, fazendo as contas

L f ' ' = s 2 . 2 s 2 ( s 2 + 4 ) - s . 3 - ( - 1 )

L f ' ' = 2 s 2 + 4 - 3 s + 1

Resposta

L f ' = 2 s ( s 2 + 4 ) - 3 ; L f ' ' = 2 s 2 + 4 - 3 s + 1

Exercício Resolvido #2

UFRJ – Cálculo 4 – P1 2014.1 – 3b

Seja g uma função seccionalmente contínua definida sobre [ 0 , + ∞ ) cuja derivada é seccionalmente contínua e de ordem exponencial. Se, além disso, g 0 = 1 e L g t s = a r c t a n ⁡ ( s ) , calcule L [ e 2 t g ' t ] ( s ) .

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Passo 1

Essa questão é pura aplicação de fórmulas, você vai ver! Temos a seguinte fórmula com transformada da derivada:

L f ' s = s L f s - f 0

Logo,

L g ' t s = s L g t s - g 0

Passo 2

Substituindo os dados do problema,

L g ' t s = s ⋅ a r c t a n ⁡ ( s ) - 1

Certo? Beleza.

Passo 3

Agora temos que lembrar da fórmula da transformada de uma função vezes uma exponencial, já que é o que o problema pede:

L e c t f t s = L f t ( s - c )

Se você não se lembra dessa fórmula, relaxa! Dá um pulinho lá em primeiro teorema do deslocamento.

Passo 4

Aplicando à questão:

L e 2 t g ' t s = L g ' t ( s - 2 )

Nós já temos L g ' t s , não é? Então podemos encontrar L g ' t ( s - 2 ) substituindo s por s - 2 . Temos:

L e 2 t g ' t s = ( s - 2 ) arctan ⁡ ( s - 2 ) - 1

Resposta

L e 2 t g ' t s = ( s - 2 ) arctan ⁡ ( s - 2 ) - 1

Exercício Resolvido #3

UNICAMP – Cálculo – P2 2013.1 – 1a

Calcule a transformada de Laplace da função:

f t = e - 10 t t

Sabendo que L t = π / 2 s 3 / 2   , s > 0 .

Sugestão: 1 t = 2 d d t t .

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Passo 1

Olha na nossa tabelinha não tem a transformada de 1 / t ! Então o que podemos fazer? Bem, ainda não sei. Mas uma coisa interessante é que

  d d t t = 1 2 t

Além disso, se eu chamar f t = t , temos f 0 = 0 .

Passo 2

Lembra da fórmula da transformada da derivada? É essa aqui

L f ' t = s L f t s - f ( 0 )

Olha essa sacada aqui:

L t ' s = s L t s - 0

Mas olha lá no passo 1 quem é a derivada de t !

L 1 2 t s = s L [ ( t ) ] ( s )

Passo 3

Como o enunciado nos contou que

L t s = π 2 s 3 / 2    

Usando a fórmula que obtivemos no passo 2

L 1 2 t s = s L t s

L 1 2 t s = s π 2 s 3 / 2    

L 1 2 t s = π 2 s 1 / 2    

Passo 4

Lembra lá da linearidade? Se α for uma constante, podemos fazer

L α f t s = α L [ f t ] ( s )

Assim,

1 2 L 1 t s = π 2 s 1 / 2 → L 1 t s = π s 1 / 2 = π s