Exercícios Resolvidos de Caso Explícito

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Enunciado

Encontre uma parametrização para o parabolóide

z = x 2 + y 2 ,     z ≤ 4

Passo 1

Podemos usar a parametrização explícita, ou seja, escrever z como z = f ( x , y ) . Neste caso, a variável z já está escrita como função das outras variáveis x e y . Logo, utilizaremos as seguintes substituições:

x = u y = v z = u 2 + v 2

Passo 2

O paraboloide cresce infinitamente. Não é essa a situação aqui! O enunciado impôs que z ≤ 4 . Precisamos colocar essa limitação na nossa parametrização! Vem comigo, se

z ≤ 4 e z = x 2 + y 2

Então,

x 2 + y 2 ≤ 4

Mas, x = u e y = v , substituindo

u 2 + v 2 ≤ 4

Passo 3

Assim, a parametrização do paraboloide é:

φ u , v = u ,   v ,   u 2 + v 2

Com,

u 2 + v 2 ≤ 4

Resposta

φ u , v = u ,   v ,   u 2 + v 2

u 2 + v 2 ≤ 4

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