Exercícios Resolvidos de Caso Explícito

George B. Thomas e Weir Hass Giordano, Cálculo –Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education Brasil ltda., 2009, pp. 523 - 01.

Encontre uma parametrização para o parabolóide

z = x 2 + y 2 ,     z 4

Passo 1

Podemos usar a parametrização explícita, ou seja, escrever z como z = f ( x , y ) . Neste caso, a variável z já está escrita como função das outras variáveis x e y . Logo, utilizaremos as seguintes substituições:

x = u y = v z = u 2 + v 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O paraboloide cresce infinitamente. Não é essa a situação aqui! O enunciado impôs que z 4 . Precisamos colocar essa limitação na nossa parametrização! Vem comigo, se

z 4 e z = x 2 + y 2

Então,

x 2 + y 2 4

Mas, x = u e y = v , substituindo

u 2 + v 2 4

Passo 3

Assim, a parametrização do paraboloide é:

φ u , v = u ,   v ,   u 2 + v 2

Com,

u 2 + v 2 4

Resposta

φ u , v = u ,   v ,   u 2 + v 2

u 2 + v 2 4

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