Caso Explícito

Resumo Completo

Definição

Antes de aprendermos a integrar em superfícies, precisamos saber como descrevê-las. Uma superfície é um objeto no espaço, assim é natural pensarmos que três variáveis são necessárias para descrevê-la!

Agora imagine a seguinte equação z = 1 - x - y , olhando a figura abaixo, você concorda que ela representa uma superfície?

Então, agora que já vimos a superfície vamos pensar o que isto tem a ver com parametrização! Concorda comigo que se eu te der um valor de x e um valor de y você tem o valor de z ? Basta substituir em z = 1 - x - y ! Ou seja, eu não preciso de 3 variáveis para parametrizar uma superfície e sim de 2!

Isto significa que a superfície tem como parâmetros as variáveis x e y !

Deu para pegar a ideia de parametrização? Se não conseguiu não se preocupe, logo veremos exemplos de parametrização e este assunto vai ficar mais claro! Mas, antes vamos definir parametrização de modo mais formal.

Dizemos, então, que uma superfície S é parametrizada por uma função vetorial φ , tal que:

φ u ,   v = x u ,   v ,   y u ,   v ,   z u ,   v

Dentro de um domínio D do plano u v . Utilizamos u e v como parâmetros, mas você pode escolher a variável que quiser. Não se assuste com essa notação ela vai ficar mais clara ao longo da teoria.

Parametrização explícita

Este é o tipo mais simples de parametrização! Foi o que usamos acima para demonstrar a ideia de parametrização. Ela ocorre quando uma das variáveis pode ser escrita como função das outras duas:

z = f x , y x = g ( y , z ) y = h ( x , z )

Muitas vezes usamos este tipo parametrização sem nem mesmo saber!

Exemplo: Vamos analisar a equação do plano 2 x + y + 7 z = 8 e escrever sua forma paramétrica explícita!

Olhando a equação do plano podemos notar que é possível escrever z = f ( x , y ) ! Agora vamos encontrar f ( x , y ) :

2 x + y + 7 z = 8

7 z = 8 - 2 x - y

z = f x , y = 8 - 2 x - y 7

Pronto! Encontramos nossa primeira superfície parametrizada! Agora só para terminar, vamos colocar nossa parametrização no formato da função vetorial φ ( u , v ) .

Chamamos x = u ,   y = v e z = 8 - 2 u - v 7 , logo:

φ u ,   v = u , v , 8 - 2 u - v 7  

Encontrando o domínio dos parâmetros

Ao parametrizar uma superfície devemos ficar bem atentos quanto a mudança do domínio das variáveis. Ih... Acho que não ficou muito claro né?! Vamos tentar simplificar mostrando como fazer com a equação que vimos lá no início, z = 1 - x - y .

Sem definir nenhum domínio este plano é infinito, é válido para qualquer valor de x , y e z . Mas não queremos o plano todo, mas sim uma parte dele. Então, vamos encontrar o domínio da superfície representada na imagem!

Quem está dizendo quais pontos eu estou usando na parametrização são as variáveis x , y concorda? Então se eu falar quais pontos x , y eu quero trabalhar, eu consigo limitar a superfície.

No nosso primeiro exemplo a gente só quer a parte do plano no primeiro octante. A gente consegue impor isso se x , y estiverem dentro desse triângulo aqui:

Agora como a gente escreve essa região matematicamente? É igual o que a gente fazia em integrais duplas região do tipo I ou do tipo II. Portanto, podemos dizer que

0 y 1 - x 0 x 1

Então é isso pessoal, quando pedir para parametrizar uma superfície fica ligado se ela pode ser escrita como z = f x , y ,   x = g z , y ,   y = h ( x , z ) . Se puder os parâmetros são as variáveis da função. Depois só achar o domínio em que eles vão variar (no nosso caso foi esse triângulo).

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

George B. Thomas e Weir Hass Giordano, Cálculo –Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education Brasil ltda., 2009, pp. 548-22.

Encontre a parametrização para a porção do plano

4 x + 2 y + 4 z = 12

Que está acima do quadrado 0 x 2 ,   0 y 2 no primeiro quadrante.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Como se trata de um plano, podemos tentar fazer a parametrização explícita, ou seja, encontrar z = f ( x , y ) :

4 x + 2 y + 4 z = 12

4 z = 12 - 4 x - 2 y  

z = 12 - 4 x - 2 y 4

Passo 2

Agora vamos definir os parâmetros:

x = u y = v z = 12 - 4 u - 2 v 4  

Então, a função de parametrização é:

φ u , v = u ,   v ,   12 - 4 u - 2 v 4

Passo 3

Agora vamos estudar os limites dos novos parâmetros, sabemos que:

0 x 2 ,   0 y 2

Como fizemos x = u e y = v , essas desigualdades vão ficar desse jeitinho:

0 u 2 ,   0 v 2

Esse quadrado é onde os nossos parâmetros variam! Cada ponto u , v ai dentro quando eu coloco na parametrização gera um ponto da superfície!

Resposta

Por fim a paremetrização é:

φ u , v = u ,   v ,   12 - 4 u - 2 v 4

0 u 2 ,   0 v 2

Exercício Resolvido #2

Enunciado

George B. Thomas e Weir Hass Giordano, Cálculo –Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education Brasil ltda., 2009, pp. 523 - 01.

Encontre uma parametrização para o parabolóide

z = x 2 + y 2 ,     z 4

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Podemos usar a parametrização explícita, ou seja, escrever z como z = f ( x , y ) . Neste caso, a variável z já está escrita como função das outras variáveis x e y . Logo, utilizaremos as seguintes substituições:

x = u y = v z = u 2 + v 2

Passo 2

O paraboloide cresce infinitamente. Não é essa a situação aqui! O enunciado impôs que z 4 . Precisamos colocar essa limitação na nossa parametrização! Vem comigo, se

z 4 e z = x 2 + y 2

Então,

x 2 + y 2 4

Mas, x = u e y = v , substituindo

u 2 + v 2 4

Passo 3

Assim, a parametrização do paraboloide é:

φ u , v = u ,   v ,   u 2 + v 2

Com,

u 2 + v 2 4

Resposta

φ u , v = u ,   v ,   u 2 + v 2

u 2 + v 2 4

Exercício Resolvido #3

Enunciado

George B. Thomas e Weir Hass Giordano, Cálculo –Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education Brasil ltda., 2009, pp. 523 - 07.

Encontre uma parametrização para a porção da esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 3

Entre os planos

z = 3 2   e   z = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Podemos usar a parametrização explícita da esfera, ou seja, encontrar z = f ( x , y ) :

z 2 = 3 - x 2 - y 2

z = ± 3 - x 2 - y 2

Assim, temos duas funções para z com sinais contrários! Concorda comigo que a raíz quadrada sempre é um número positivo? Como queremos a parte da esfera entre os plano z = 0 e z = 3 2 , devemos usar somente a função positiva:

z = 3 - x 2 - y 2

Passo 2

Agora vamos definir os parâmetros:

x = u y = v z = 3 - u 2 - v 2

Então, a função de parametrização é:

φ u , v = u ,   v , 3 - u 2 - v 2  

Passo 3

Agora vamos estudar os limites dos novos parâmetros, sabemos que a porção da esfera se encontra entre os plano:

z = 3 2   e   z = 0

Como z = 3 - u 2 - v 2 , temos que a interseção com o plano

z = 3 2

3 - u 2 - v 2 = 3 2

3 - u 2 - v 2 = 3 4

u 2 + v 2 = 3 - 3 4

u 2 + v 2 = 9 4

Agora para o plano

z =   0

3 - u 2 - v 2 =   0

3 - u 2 - v 2 = 0

u 2 + v 2 = 3

O que isso quer dizer? Isso quer dizer que entre esses dois círculos cada ponto que eu pegar e colocar na parametrização vai me dar um ponto da esfera. Ótimo, então a região entre esses círculos é o domínio da minha parametrização:

9 4 u 2 + v 2 3

Resposta

Por fim a paremetrização é:

φ u , v = u ,   v , 3 - u 2 - v 2  

9 4 u 2 + v 2 3

Exercício Resolvido #4

Enunciado

George B. Thomas e Weir Hass Giordano, Cálculo –Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education Brasil ltda., 2009, pp. 524 - 13.

Encontre uma parametrização para a porção do plano

x + y + z = 1

Dentro do cilindro

x 2 + y 2 = 9

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Podemos usar a parametrização explícita, ou seja, escrever z = f ( x , y ) :

x + y + z = 1

z = 1 - x - y

Passo 2

Agora vamos definir os parâmetros:

x = u y = v z = 1 - u - v  

Então, a função de parametrização é:

φ u , v = u ,   v   , 1 - u - v

Passo 3

Agora vamos estudar os limites dos novos parâmetros. Queremos a porção do plano que se encontra dentro do cilindro. Então, a equação do cilindro que vai definir os limites dos parâmetros.

x 2 + y 2 = 9

Substituindo pelos parâmetros,

u 2 + v 2 9

Resposta

Por fim a paremetrização é:

φ u , v = u ,   v   , 1 - u - v

u 2 + v 2 9

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