Exercícios Resolvidos de Caso Explícito

George B. Thomas e Weir Hass Giordano, Cálculo –Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education Brasil ltda., 2009, pp. 523 - 07.

Encontre uma parametrização para a porção da esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 3

Entre os planos

z = 3 2   e   z = 0

Passo 1

Podemos usar a parametrização explícita da esfera, ou seja, encontrar z = f ( x , y ) :

z 2 = 3 - x 2 - y 2

z = ± 3 - x 2 - y 2

Assim, temos duas funções para z com sinais contrários! Concorda comigo que a raíz quadrada sempre é um número positivo? Como queremos a parte da esfera entre os plano z = 0 e z = 3 2 , devemos usar somente a função positiva:

z = 3 - x 2 - y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos definir os parâmetros:

x = u y = v z = 3 - u 2 - v 2

Então, a função de parametrização é:

φ u , v = u ,   v , 3 - u 2 - v 2  

Passo 3

Agora vamos estudar os limites dos novos parâmetros, sabemos que a porção da esfera se encontra entre os plano:

z = 3 2   e   z = 0

Como z = 3 - u 2 - v 2 , temos que a interseção com o plano

z = 3 2

3 - u 2 - v 2 = 3 2

3 - u 2 - v 2 = 3 4

u 2 + v 2 = 3 - 3 4

u 2 + v 2 = 9 4

Agora para o plano

z =   0

3 - u 2 - v 2 =   0

3 - u 2 - v 2 = 0

u 2 + v 2 = 3

O que isso quer dizer? Isso quer dizer que entre esses dois círculos cada ponto que eu pegar e colocar na parametrização vai me dar um ponto da esfera. Ótimo, então a região entre esses círculos é o domínio da minha parametrização:

9 4 u 2 + v 2 3

Resposta

Por fim a paremetrização é:

φ u , v = u ,   v , 3 - u 2 - v 2  

9 4 u 2 + v 2 3

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