Exercícios Resolvidos de Caso Explícito

Ver Teoria

Enunciado

Encontre a parametrização para a porção do plano

4 x + 2 y + 4 z = 12

Que está acima do quadrado 0 ≤ x ≤ 2 ,   0 ≤ y ≤ 2 no primeiro quadrante.

Passo 1

Como se trata de um plano, podemos tentar fazer a parametrização explícita, ou seja, encontrar z = f ( x , y ) :

4 x + 2 y + 4 z = 12

4 z = 12 - 4 x - 2 y  

z = 12 - 4 x - 2 y 4

Passo 2

Agora vamos definir os parâmetros:

x = u y = v z = 12 - 4 u - 2 v 4  

Então, a função de parametrização é:

φ u , v = u ,   v ,   12 - 4 u - 2 v 4

Passo 3

Agora vamos estudar os limites dos novos parâmetros, sabemos que:

0 ≤ x ≤ 2 ,   0 ≤ y ≤ 2

Como fizemos x = u e y = v , essas desigualdades vão ficar desse jeitinho:

0 ≤ u ≤ 2 ,   0 ≤ v ≤ 2

Esse quadrado é onde os nossos parâmetros variam! Cada ponto u , v ai dentro quando eu coloco na parametrização gera um ponto da superfície!

Resposta

Por fim a paremetrização é:

φ u , v = u ,   v ,   12 - 4 u - 2 v 4

0 ≤ u ≤ 2 ,   0 ≤ v ≤ 2

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se os pontos P e Q estão na superfície dada r → u , v = 2 u + 3 v ,1 + 5 u - v ,2 + u + v P 7,10,4 ,Q ( 5,22,5 )
Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada. r → u , v = 2 s e nu i → + 3 cos ⁡ u j → + v k → ,0 ≤ v ≤ 2
Determine se os pontos P e Q estão na superfície dada r → u , v = u + v ,u 2 - v ,u + v 2 P 3 , - 1,5 ,Q ( - 1,3 , 4 )
Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada. r s , t = s , t , t 2 - s 2
1 . Seja S uma superfície parametrizada por φ u , v = v cos ⁡ u ,v s e nu , 1 - v 2 0u2 π v ≥ 0 Identifique esta superfície. Esta superfície é regular ? Trace as curvas na superfice S. Definidas por φ