Exercícios Resolvidos de Caso Explícito

George B. Thomas e Weir Hass Giordano, Cálculo –Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education Brasil ltda., 2009, pp. 548-22.

Encontre a parametrização para a porção do plano

4 x + 2 y + 4 z = 12

Que está acima do quadrado 0 x 2 ,   0 y 2 no primeiro quadrante.

Passo 1

Como se trata de um plano, podemos tentar fazer a parametrização explícita, ou seja, encontrar z = f ( x , y ) :

4 x + 2 y + 4 z = 12

4 z = 12 - 4 x - 2 y  

z = 12 - 4 x - 2 y 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos definir os parâmetros:

x = u y = v z = 12 - 4 u - 2 v 4  

Então, a função de parametrização é:

φ u , v = u ,   v ,   12 - 4 u - 2 v 4

Passo 3

Agora vamos estudar os limites dos novos parâmetros, sabemos que:

0 x 2 ,   0 y 2

Como fizemos x = u e y = v , essas desigualdades vão ficar desse jeitinho:

0 u 2 ,   0 v 2

Esse quadrado é onde os nossos parâmetros variam! Cada ponto u , v ai dentro quando eu coloco na parametrização gera um ponto da superfície!

Resposta

Por fim a paremetrização é:

φ u , v = u ,   v ,   12 - 4 u - 2 v 4

0 u 2 ,   0 v 2

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