Enunciado

  1. Desenvolva expressões para a densidade planar em termos do raio atômico R para as direções (100) e (110) na estrutura CCC.
  2. Calcule e compare os valores da densidade planar para essas mesmas duas direções no vanádio.

Passo 1

Letra a:

Uma célula unitária CCC dentro da qual é desenhado um plano (100) é mostrada abaixo:

Neste plano (100), há um átomo em cada um dos quatro cantos do cubo, cada um dos quais é compartilhado com quatro células unitárias adjacentes. Assim, existe a equivalência de 1 átomo associado a este plano BCC (100). A seção plana representada na figura acima é um quadrado, em que os comprimentos laterais são iguais ao comprimento da aresta da célula unitária, 4 R 3 (Equação 3.3); e, portanto, a área desse quadrado é de apenas 4 R 3 2 = 16 R 2 3 . Portanto, a densidade planar para (100) é:

D P 100 = 1   á t o m o 16 R 2 3 = 3 16 R 2

Uma célula unitária CCC dentro da qual é desenhado um plano (110) é mostrada abaixo:

Para este plano (110), há um átomo em cada um dos quatro cantos do cubo através do qual passa, cada um dos quais é compartilhado com quatro células unitárias adjacentes, enquanto o átomo central fica inteiramente dentro da célula unitária. Assim, existe a equivalência de 2 átomos associados a este plano BCC (110). A seção plana representada na figura acima é um retângulo, conforme observado na figura abaixo:

A partir desta figura, a área do retângulo é o produto de x e y. O comprimento x é apenas o comprimento da borda da célula unitária, que para CCC (Equação 3.3) é 4 R 3 . Agora, o comprimento diagonal z é igual a 4R. Para o triângulo delimitado pelos comprimentos x, ye z:

y = z 2 - x 2

Ou

y = ( 4 R ) 2 - 4 R 3 2 = 4 R 2 3

Então, em termos de R, a área do plano (110) é:

Á r e a ( 11 0 ) =   x y = 4 R 3 4 R 2 3 = 16 R 2 2 3

E, a densidade planar para o plano (110) é:

D P 110 = 2   á t o m o s 16 R 2 2 3 = 3 8 R 2 2

Passo 2

Na letra b:

Na tabela do livro, o raio atômico do vanádio é de 0,132 nm. Portanto, a densidade planar para o plano (100) é:

D P 100 ( V ) = 3 16 R 2 = 10.76 n m - 2 = 1.976 × 1 0 9 m - 2

Enquanto para o plano (110):

D P 110 ( V ) = 3 8 R 2 2 = 15 ; 22 n m - 2 = 1.522 × 1 0 9 m - 2

Resposta

  1. D P 100 = 3 16 R 2
  2. D P 110 = 3 8 R 2 2

  3. D P 100 ( V ) = 1.976 × 1 0 9 m - 2

D P 110 ( V ) = 1.522 × 1 0 9 m - 2

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