Exercícios Resolvidos de Circuito RC

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Enunciado

Determine a tensão no capacitor para t < 0 e t > 0 no circuito abaixo:

Passo 1

Vamos começar. Enquanto t < 0 a chave está na posição horizontal, formando o seguinte circuito.

Como a chave estava nessa posição há um tempo suficiente para carregar totalmente o capacitor. Ele pode ser tratado como um circuito aberto.

Passo 2

Com isso, não terá circulação de corrente. Logo, não há queda de tensão nos resistores e a tensão no capacitor será a própria tensão da fonte.

v t = 12   V ,     t < 0

Passo 3

Em t = 0 , a chave muda de posição e o circuito passa a ser assim:

Aplicando a famosa LTK no circuito:

4 = 2 i c + v

Como,

i c = 3 d v d t

Substituindo:

4 = 2 3 d v d t + v

6 d v d t + v = 4

Passo 4

Chegamos a uma EDO não homogênea. A solução geral dessa equação é composta pela solução particular mais a solução da homogênea.

v t = v h ( t ) + v p ( t )

Primeiro, vamos resolver a homogênea:

6 d v h d t + v h = 0

Para resolver essa equação, primeiro vamos obter a equação característica:

6 r + 1 = 0

r = - 1 6

Logo a solução geral da equação é dada por:

v h t = A e - t 6  

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a solução particular.

6 d v p d t + v p = 4

Como 4 é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:

v p = B ,

sendo B uma constante.

Substituindo, temos:

6 d ( B ) d t + B = 4

Como a derivada de uma constante é zero:

B = 4

Portanto, a solução geral é:

v t = A e - t 6 + 4

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor da constante A . Para isso, sempre usamos a nossa condição inicial.

Quando a chave ainda estava na posição horizontal, mas estava na iminência de se mover, temos o instante t = 0 - . Nesse instante, como vimos, o capacitor está totalmente carregado.

Logo, v 0 - = 12   V . Lembrando que a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, então:

v 0 - = v 0 = v 0 + = 12   V

Portanto, de acordo com a nossa condição inicial, temos:

12 = A e - ( 0 ) 6 + 4

A = 8

Substituindo:

v t = 8 e - t 6 + 4 ,     t > 0

Resposta

v c t = 12 ,     t < 0     8 e - t 6 + 4 ,     t > 0

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