Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação

Elaboração Própria

Classifique as seguintes cônicas degeneradas:

  1. x 2 - y 2 = 0
  2. 8 x 2 + 7 y 2 = 0
  3. x 2 + 3 y 2 + 7 = 0
  4. x 2 - 2 x y + y 2 = 0
  5. x 2 + y 2 - 2 x - 4 y = 0

Passo 1

Nesse exercício temos que classificar as cônicas degeneradas que nos são dadas. Lembrando que as cônicas degeneradas são todas aquelas que falamos na teoria, ou seja: origem, retas, circunferência, entre outras. Basicamente, qualquer cônica que não seja elipse, hipérbole ou parábola.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a) x 2 - y 2 = 0

A solução da equação acima é:

x = ± y

Essa solução nada mais é que um conjunto de retas, ou seja, as retas:

x = y     e     x = - y

O exercício não pede, mas esboçando:

Passo 3

b) 8 x 2 + 7 y 2 = 0

Nesse item temos tanto y quanto x elevados ao quadrado e a soma deles dando zero. A única solução possível é que x e y sejam zero, logo:

x ,   y = ( 0 ,   0 )

Então, nossa solução representa a origem do sistema cartesiano.

Passo 4

c) x 2 + 3 y 2 + 7 = 0

Agora, para que nossa equação seja válida temos que ter:

  x 2 + 3 y 2 = - 7

Porém, esse resultado é impossível nos reais já que temos a soma de quadrados, e sabe-se que qualquer número real ao quadrado é positivo, então temos a soma de dois números positivos tendo que dar - 7 . Pela inviabilidade de solução, temos que a expressão representa o VAZIO.

Passo 5

d) x 2 - 2 x y + y 2 = 0

E agora, como fazemos??

Bem, vamos tentar ajeitar a expressão completando quadrados para que então possamos concluir algo. Completando quadrados teremos:

x 2 - 2 x y + y 2 = 0 x - y 2 = 0

x - y 2 = 0 x = y

Nossa equação representa a reta x = y

Passo 6

d) x 2 + y 2 - 2 x - 4 y = 0

Ufa!! É a última!!

Para achar qual cônica é, vamos novamente completar quadrados. Teremos:

x 2 + y 2 - 2 x - 4 y = 0

x 2 - 2 x + y 2 - 4 y = 0

( x - 1 ) 2 - 1 + y - 2 2 - 4 = 0

( x - 1 ) 2 + y - 2 2 = 5

Olha, é uma circunferência!! Com centro em ( 1 ,   2 ) e raio r = 5

Caso você tenha curiosidade de como é a circunferência fizemos um esboço.

Resposta

a )   r e t a s   x = y   e   x = - y

b )   O r i g e m   ( 0 ,   0 )

c )   C o n j u n t o   v a z i o

d )   A   r e t a   x = y

e )   C i r c u n f e r ê n c i a   c o m   C = 1 ,   2   e   r = 5

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