Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação

UFPE, Geometria Analítica, 3º EE - 2017.2, Questão Q1

Considere a cônica de equação

5 x 2 + 4 x y + 8 y 2 - 36 = 0

a) Efetue uma rotação de eixos que transforme o sistema x O y no sistema x ' O y ' de modo a obter uma equação sem o termo misto.

b) Identifique a cônica e faça um esboço do gráfico.

Passo 1

a) Pra começo de conversa, vamos escrever essa equação na sua forma matricial, igual a gente viu lá na teoria:

x   y 5 2 2 8 x y + 0   0 x y - 36 = 0

Vamos chamar a matriz 5 2 2 8 de matriz Q . Precisamos encontrar os autovalores de Q , pra isso, precisamos fazer det λ I - Q = 0 . Vamos lá pro próximo passo fazer isso.

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Passo 2

Se det λ I - Q = 0 , a gente quer dizer que:

d e t λ - 5 - 2 - 2 λ - 8 = 0

Calculando esse determinante, vamos encontrar o polinômio característico:

λ - 5 λ - 8 - 4 = 0

λ 2 - 13 λ + 36 = 0

Resolvendo essa equação do 2° grau, vamos encontrar os autovalores de Q :

λ ' = 9

λ ' ' = 4

Passo 3

Agora temos que encontrar os autovetores unitários de Q associados a cada autovalor.

O autovetor associado a λ ' será:

Q - λ ' I U = 0

Sendo que U = ( x u ,   y u ) .

Se Q - λ ' U = 0 , temos que

5 - 9 2 2 8 - 9 x u y u = 0

- 4 2 2 - 1 x u y u = 0

Multiplicando as matrizes, teremos esse sisteminha:

- 4 x u + 2 y u = 0 2 x u - y u = 0

Da equação de baixo, tiramos que y u = 2 x u , então U = ( x u ,   2 x u ) .

Arbitrando um valor qualquer para x u , por exemplo, x u = 1 , teremos que U = ( 1 ,   2 ) .

Mas nós queremos o autovetor unitário, então vamos dividir U pela sua norma:

u = U U = ( 1 ,   2 ) 5 = 1 5 , 2 5

Boaa, finalmente encontramos o autovetor unitário de Q associado ao autovalor λ ' . Agora vamos encontrar o associado a λ ' ' .

Passo 4

O autovetor associado a λ ' ' será:

Q - λ ' ' I V = 0

Onde V = ( x v ,   y v ) .

Isso quer dizer que

5 - 4 2 2 8 - 4 x v y v = 0

1 2 2 4 x v y v = 0

O sistema encontrado vai ser

x v + 2 y v = 0 2 x v + 4 y v = 0

Da equação de cima temos que x v = - 2 y v . Atribuindo y v = 1 , temos que:

V = ( - 2 ,   1 )

Vamos novamente dividir pela norma para encontrar o vetor unitário:

v = V V = ( - 2 ,   1 ) 5 = - 2 5 , 1 5

Passo 5

Agora que temos os autovalores e autovetores, vamos reescrever a equação matricial, aquela que a gente fez lá no passo 1.

Reescrevendo ela com os autovalores e autovetores, ela fica assim

x ' y ' 9 0 0 4 x ' y ' + 0   0 1 5 - 2 5 2 5 1 5 x ' y ' = 36

Fazendo a multiplicação de matrizes, vamos ter que

9 x ' 2 + 4 y ' 2 = 36

Se dividirmos os dois lados por 36, teremos

x ' 2 4 + y ' 2 9 = 1

Que é a equação de uma elipse com focos no eixo y , já que o denominador de y é maior que o de x :D

Passo 6

b) A equação dada no enunciado é a seguinte elipse

x ' 2 4 + y ' 2 9 = 1   ( I )

porém rotacionada.

Pra descobrir qual o ângulo de rotação dela, vamos analisar a matriz dos autovetores, afinal sabemos que

1 5 - 2 5 2 5 1 5 = cos θ - sen θ sen θ cos θ

Então θ = arccos 1 5 = 63,4 °

Isso quer dizer que a elipse da equação ( I ) foi rotacionada 63,4 ° para obter a elipse do enunciado.

Pela equação ( I ) , sabemos que a = 3 e b = 2 , então o gráfico da elipse é

Resposta

a) x ' 2 4 + y ' 2 9 = 1

b) Elipse rotacionada.

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