Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação

UFPE, Geometria Analítica, 3º EE - 2017.2, Questão Q1

Considere a cônica de equação

Equation

a) Efetue uma rotação de eixos que transforme o sistema Equation no sistema Equation de modo a obter uma equação sem o termo misto.

b) Identifique a cônica e faça um esboço do gráfico.

Passo 1

a) Pra começo de conversa, vamos escrever essa equação na sua forma matricial, igual a gente viu lá na teoria:

Equation

Vamos chamar a matriz Equation de matriz Equation . Precisamos encontrar os autovalores de Equation , pra isso, precisamos fazer Equation . Vamos lá pro próximo passo fazer isso.

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Passo 2

Se Equation , a gente quer dizer que:

Equation

Calculando esse determinante, vamos encontrar o polinômio característico:

Equation

Equation

Resolvendo essa equação do 2° grau, vamos encontrar os autovalores de Equation :

Equation

Equation

Passo 3

Agora temos que encontrar os autovetores unitários de Equation associados a cada autovalor.

O autovetor associado a Equation será:

Equation

Sendo que Equation .

Se Equation , temos que

Equation

Equation

Multiplicando as matrizes, teremos esse sisteminha:

Equation

Da equação de baixo, tiramos que Equation , então Equation .

Arbitrando um valor qualquer para Equation , por exemplo, Equation , teremos que Equation .

Mas nós queremos o autovetor unitário, então vamos dividir Equation pela sua norma:

Equation

Boaa, finalmente encontramos o autovetor unitário de Equation associado ao autovalor Equation . Agora vamos encontrar o associado a Equation .

Passo 4

O autovetor associado a Equation será:

Equation

Onde Equation .

Isso quer dizer que

Equation

Equation

O sistema encontrado vai ser

Equation

Da equação de cima temos que Equation . Atribuindo Equation , temos que:

Equation

Vamos novamente dividir pela norma para encontrar o vetor unitário:

Equation

Passo 5

Agora que temos os autovalores e autovetores, vamos reescrever a equação matricial, aquela que a gente fez lá no passo 1.

Reescrevendo ela com os autovalores e autovetores, ela fica assim

Equation

Fazendo a multiplicação de matrizes, vamos ter que

Equation

Se dividirmos os dois lados por 36, teremos

Equation

Que é a equação de uma elipse com focos no eixo Equation , já que o denominador de Equation é maior que o de Equation :D

Passo 6

b) A equação dada no enunciado é a seguinte elipse

Equation

porém rotacionada.

Pra descobrir qual o ângulo de rotação dela, vamos analisar a matriz dos autovetores, afinal sabemos que

Equation

Então Equation

Isso quer dizer que a elipse da equação Equation foi rotacionada Equation para obter a elipse do enunciado.

Pela equação Equation , sabemos que Equation e Equation , então o gráfico da elipse é

Resposta

a) Equation

b) Elipse rotacionada.

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