Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação

Elaboração Própria

Determinar os autovalores e os autovetores associados se:

A = 3 0 8 - 1

Passo 1

Vamos fazer um aquecimento!! Hehe... para então podermos ir sem nenhuma dúvida para os casos das cônicas com rotação!!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A matriz que nos é dada: A = 3 0 8 - 1

Foi nos dada a matriz A e devemos calcular seus autovalores e autovetores. Primeiro, começamos com os autovalores, para isso faremos:

A - λ I = 0

Então,

3 0 8 - 1 - λ 0 0 λ = 0

3 - λ 0 8 - 1 - λ = 0

Calculando o determinante, temos:

3 - λ   - 1 - λ = 0

Os autovalores são:

λ = 3         e       λ = - 1

Agora, que temos os autovalores podemos calcular o autovetor para cada um dos autovalores. Vamos começar por λ = 3 .

Para λ = 3 :

Encontrar o autovetor v significa respeitar:

A - λ I . v = 0

Sendo A a matriz dada, λ = 3 , I a matriz identidade e v o autovetor que queremos descobrir.

Montando a expressão acima e supondo que v = ( a ,   b ) , teremos:

3 0 8 - 1 - 3 0 0 3 a b = 0

0 0 8 - 4 a b = 0

Como a primeira linha é toda nula, não faz sentido utilizá-la, pois chegaremos que 0 = 0 . Então, vamos usar a segunda linha:

8 a = 4 b

a = b 2

Agora, podemos colocar os valores que quisermos desde que respeite a relação. Então, vou dizer que b = 2 , então a será a = 1 . Pronto temos nosso primeiro autovetor.

v = ( 1 ,   2 )

Mas, lembre: Nosso autovetor deve ser unitário, ou seja, dividir cada coordenada pela sua norma.

v = 5

Autovetor unitário será:

v = 1 5 , 2 5

Acabamos!! Nada disso!! Falta calcular o autovetor para λ = - 1 .

Para λ = - 1 , considerando agora que nosso autovetor seja u = ( c ,   d )

3 0 8 - 1 - - 1 0 0 - 1 c d = 0

4 0 8 0 c d = 0

Escolhendo a primeira ou a segunda linha teremos a mesma relação:

4 c = 0 c = 0

Como não temos nenhuma relação para d isso significa que d é livre, ou seja, pode ter qualquer valor. Assim, vamos escolher d = 1 . Portanto:

u = ( 0 ,   1 )

Como o módulo de u é 1 , então ele é nosso próprio autovetor unitário.

u = ( 0,1 )

Ufa!! Agora sim terminamos!! Hehe

Resposta

A u t o v a l o r e s :   λ = 3         e       λ = - 1

A u t o v e t o r e s :  

λ = 3   v = 1 5 , 2 5

λ = - 1 u = ( 0 ,   1 )

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