Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação

Elaboração Própria

Determinar os autovalores e os autovetores associados se:

Equation

Passo 1

Vamos fazer um aquecimento!! Hehe... para então podermos ir sem nenhuma dúvida para os casos das cônicas com rotação!!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A matriz que nos é dada: Equation

Foi nos dada a matriz Equation e devemos calcular seus autovalores e autovetores. Primeiro, começamos com os autovalores, para isso faremos:

Equation

Então,

Equation

Equation

Calculando o determinante, temos:

Equation

Os autovalores são:

Equation

Agora, que temos os autovalores podemos calcular o autovetor para cada um dos autovalores. Vamos começar por Equation

Para Equation :

Encontrar o autovetor Equation significa respeitar:

Equation

Sendo Equation a matriz dada, Equation , Equation a matriz identidade e Equation o autovetor que queremos descobrir.

Montando a expressão acima e supondo que Equation , teremos:

Equation

Equation

Como a primeira linha é toda nula, não faz sentido utilizá-la, pois chegaremos que Equation . Então, vamos usar a segunda linha:

Equation

Equation

Agora, podemos colocar os valores que quisermos desde que respeite a relação. Então, vou dizer que Equation , então Equation será Equation . Pronto temos nosso primeiro autovetor.

Equation

Mas, lembre: Nosso autovetor deve ser unitário, ou seja, dividir cada coordenada pela sua norma.

Equation

Autovetor unitário será:

Equation

Acabamos!! Nada disso!! Falta calcular o autovetor para Equation .

Para Equation , considerando agora que nosso autovetor seja Equation

Equation

Equation

Escolhendo a primeira ou a segunda linha teremos a mesma relação:

Equation

Como não temos nenhuma relação para Equation isso significa que Equation é livre, ou seja, pode ter qualquer valor. Assim, vamos escolher Equation . Portanto:

Equation

Como o módulo de Equation é Equation , então ele é nosso próprio autovetor unitário.

Equation

Ufa!! Agora sim terminamos!! Hehe

Resposta

Equation

Equation

Equation

Equation

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