Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação

Elaboração Própria

Determinar a equação retangular da curva cujas equações paramétricas são:

x = 2 + 3 tan t           e               y = 1 + 4 sec t

Passo 1

O enunciado pede a equação retangular, mas o que é isso??

Calma!! Você sabe o que é, mas, talvez, nunca tenha ouvido essa expressão!! A equação retangular, é a expressão da curva em função de x e y , ou seja, escrita no sistema cartesiano ou também chamado de sistema retangular.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, para chegarmos numa relação retangular temos que sumir com os termos tan t e sec t . Para isso, precisamos conhecer uma relação entre esses termos. Da geometria lá do colégio sabemos que:

( cos θ ) 2 + ( sin  θ ) 2 = 1

Se dividirmos essa expressão por ( cos θ ) 2 , teremos:

( cos θ ) 2 + ( sin θ ) 2 = 1 ( cos θ ) 2

1 + ( tan θ ) 2 = ( sec θ ) 2   ( sec θ ) 2 - tan θ 2 = 1

Então, vamos tentar manipular a expressão que nos foi dada pelo enunciado para tentarmos usar essa expressão e eliminar os termos que são dependentes da secante e da tangente.

Passo 3

Vamos começar reescrevendo as equações que nos foram dadas de uma forma diferente:

x = 2 + 3 tan t           e               y = 1 + 4 sec t

x - 2 3 = tan t       e       y - 1 4 = sec t   ( 1 )

Usando a relação:

( sec θ ) 2 - tan θ 2 = 1   ( 2 )

Se elevarmos as equações ( 1 ) ao quadrado teremos:

x - 2 3 2     = tan θ 2       e           y - 1 4 2 = ( sec θ ) 2

Bom, temos o quadrado da tangente e o quadrado da secante. Temos pela expressão ( 2 ) que a subtração da secante pela tangente dá um, então é o que faremos:

    y - 1 4 2 - x - 2 3 2 = 1

Pronto, chegamos numa expressão retangular da curva. E por sinal, qual é essa curva?

Como já vimos, é uma hipérbole transladada ;)

Resposta

    y - 1 4 2 - x - 2 3 2 = 1

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas