Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 273-1.

Esboçar o gráfico da cônica de equação

G x ,   y = 4 x 2 - 4 x y + 7 y 2 + 12 x + 6 y - 9 = 0

Passo 1

O problema pede para esboçarmos o gráfico da cônica com expressão dada acima. Porém, como podemos notar a expressão possui o termo x y , o que indica que a cônica está rotacionada. Logo, teremos que desenvolver o método mostrado na teoria para descobrirmos qual é essa cônica e como ela está posicionada.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como vimos na teoria, devemos começar montando a equação matricial da equação dada. Para isso, vamos primeiro retirar os valores das contantes A ,   B ,   C ,   D , E   e F .

Da equação temos:

A = 4

B = - 4

C = 7

D = 12

E = 6

F = - 9

Vamos então colcoar esses valores na equação matricial:

  x   y A B 2 B 2 C x y + D   E x y + F = 0

Nossa equação ficará:

  x   y 4 - 2 - 2 7 x y + 12   6 x y - 9 = 0  

Agora que temos nossa equação matricial conseguimos achar nossa matriz H , que é:

H = 4 - 2 - 2 7

Próximo passo é calcular os autovalores e autovetores dessa matriz!!

Passo 3

Bora calcular os autovalores da matriz H .

Sempre usando a relação

H - λ I = 0

4 - 2 - 2 7 - λ 0 0 λ = 0

  4 - λ - 2 - 2 7 - λ = 0

Resolvendo o determinante:

4 - λ 7 - λ - 4 = 0

28 - 11 λ + λ 2 - 4 = 0

λ 2 - 11 λ + 24 = 0

Resolvendo a equação de segunda grau temos:

λ = 8     e     λ = 3

Passo 4

Já temos os autovalores!! Agora, é encontrarmos os autovetores para cada autovalor.

Para λ = 8 , vamos supor que o autovetor é v = ( a ,   b ) e devemos respeitar que:

H - λ I v = 0

4 - 2 - 2 7 - 8 0 0 8 a b = 0

- 4 - 2 - 2 - 1 a b = 0

Escolhendo uma das linhas, escolherei a primeira, mas sem um motivo especial:

- 4 a - 2 b = 0 a = - b 2

Poderíamos ter escolhido a segunda linha, o resultado final é o mesmo!!

Então, sabendo a relação e chutando b = - 2 , temos a = 1 . Assim, nosso autovetor é:

v = 1 ,   - 2

Mas, ele não é unitário. Falta dividirmos por sua norma (módulo) que é 5 .

Então v untário é:

v = 1 5 , - 2 5

Agora, vamos calcular o autovetor u = ( c ,   d ) para λ = 3

H - λ I v = 0

4 - 2 - 2 7 - 3 0 0 3 a b = 0

1 - 2 - 2 4 a b = 0

Escolhendo uma das linhas, escolherei a primeira, mas sem um motivo especial:

a - 2 b = 0 a = 2 b

Poderíamos ter escolhiso a segunda linha, o resultado final é o mesmo!!

Então, sabendo a relação e chutando b = 1 , temos a = 2 . Assim, nosso autovetor é:

u = 2 ,   1

Mas, ele não é unitário. Falta divifirmos por sua norma que é 5

Então v untário é:

u = 2 5 , 1 5

Passo 5

Agora que temos os autovalores e os autovetores podemos montar as matrizes D e P .

Montando D :

D = 8 0 0 3

Como D foi montada de forma que a primeira linha é o autovalor 8 , então a primeira coluna da matriz P deve ser o autovetor relacionado ao autovalor 8 , ou seja, v .

P = 1 5 2 5 - 2 5 1 5

Já temos tudo o que precisamos para montar nossa expressão matricial final:

CUIDADO: na expressão acima quando temos [D E], o D se refere ao valor que encontramos lá no início do exercício e não a matriz D .

Montando com nosso valores teremos:

x ' y ' 8 0 0 3 x ' y ' + 12 6 1 5 2 5 - 2 5 1 5 x ' y ' - 9 = 0

Fazendo a distributiva, temos:

8 x ' 3 y ' x ' y ' + 12 5 - 12 5 24 5 + 6 5 x ' y ' - 9 = 0

8 x ' 2 + 3 y ' 2 + 30 y ' 5 - 9 = 0

8 x ' 2 + 3 y ' 2 + 30 5 y ' 5 - 9 = 0

8 x ' 2 + 3 y ' 2 + 6 5 y ' - 9 = 0

Vamos completar quadrados:

8 x ' 2 + 3 y ' 2 + 2 5 y ' - 9 = 0

8 x ' 2 + 3 y ' + 5 2 - 3.5 - 9 = 0

8 x ' 2 + 3 y ' + 5 2 = 24

Dividindo tudo por 24

x ' 2 3 + y ' + 5 2 8 = 1

Chegamos na expressão de uma elipse. Sendo que a relação entre   x y e x ' y ' é:

x y = 1 5 2 5 - 2 5 1 5 x ' y '

Teremos:

x = x ' 5 + 2 y ' 5

y = - 3 x ' 5 + y ' 5

Como queremos um esboço, vamos analisar primeiro a matriz P que nos dá o quanto o eixo girou. Como sabemos que:

P = cos θ - sin θ sin θ cos θ = 1 5 2 5 - 2 5 1 5

Temos que:

cos θ = 1 5 θ = ± 63,43 °

sin θ = - 2 5 θ = - 63,43 °

Então, nosso eixo x ' y ' estará da seguinte forma:

Além disso, nossa elipse possui uma translação em relação ao eixo x ' y ' , tal que:

x ' ' = x '

y ' ' = y ' + 5

A gente consegue ver isso pela equação que a gente achou antes, que era:

x ' 2 3 + y ' + 5 2 8 = 1

Basta fazer uma mudança de variáveis, indo de x’y’ para x’’y’’.

Vamos achar o centro de x ' ' y ' ' . Para isso, sabemos que o centro de x ' ' y ' ' é ( 0 ,   0 ) .

x ' = 0

y ' = - 5

Esboçando teríamos algo do tipo:

Essa foi mais chatinha!! Mas, deu certo!!

Resposta

Esboço:

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