Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 275-2.

Esboçar o gráfico da cônica de equação

G x ,   y = x 2 - 2 x y + y 2 - 2 x - 2 y + 1 = 0

Passo 1

O mesmo problema do anterior??

Exatamente!! Novamente, vamos esboçar a cônica dada pela expressão acima. Talvez, você ache um pouco chato, mas é fundamental fazermos vários exercícios para fixar bem o passo a passo.

Bora começar então!!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como vimos na teoria, devemos começar montando a equação matricial da equação dada. Para isso, vamos primeiro retirar os valores das contantes A ,   B ,   C ,   D , E   e F .

Da equação temos:

A = 1

B = - 2

C = 1

D = - 2

E = - 2

F = 1

Vamos então colocar esses valores na equação matricial:

  x   y A B 2 B 2 C x y + D   E x y + F = 0

Nossa equação ficará:

  x   y 1 - 1 - 1 1 x y + - 2 - 2 x y + 1 = 0  

Agora que temos nossa equação matricial conseguimos achar nossa matriz H , que é:

H = 1 - 1 - 1 1

Próximo passo é calcular os autovalores e autovetores dessa matriz!!

Passo 3

Bora calcular os autovalores da matriz H .

Sempre usando a relação

H - λ I = 0

1 - 1 - 1 1 - λ 0 0 λ = 0

  1 - λ - 1 - 1 1 - λ = 0

Resolvendo o determinante:

( 1 - λ ) 1 - λ - 1 = 0

1 - 2 λ + λ 2 - 1 = 0

λ 2 - 2 λ = 0

λ λ - 2 = 0

Temos os valores:

λ = 0     o u     λ = 2

Passo 4

Já temos os autovalores!! Agora, é encontrarmos os autovetores para cada autovalor.

Para λ = 0 , vamos supor que o autovetor é v = ( a ,   b ) e devemos respeitar que:

H - λ I v = 0

1 - 1 - 1 1 - 0 0 0 0 a b = 0

1 - 1 - 1 1 a b = 0

Escolhendo uma das linhas, escolherei a primeira, mas sem um motivo especial:

a - b = 0 a = b

Poderíamos ter escolhiso a segunda linha, o resultado final é o mesmo!!

Então, sabendo a relação e chutando b = 1 , temos a = 1 . Assim, nosso autovetor é:

v = 1 ,   1

Mas, ele não é unitário. Falta dividirmos por sua norma que é 2

Então v untário é:

v = 1 2 , 1 2

Agora, vamos calcular o autovetor u = ( c ,   d ) para λ = 2

H - λ I v = 0

1 - 1 - 1 1 - 2 0 0 2 a b = 0

- 1 - 1 - 1 - 1 a b = 0

Escolhendo uma das linhas, escolherei a primeira, mas sem um motivo especial:

- a - b = 0 a = - b

Então, sabendo a relação e chutando b = 1 , temos a = - 1 . Assim, nosso autovetor é:

u = - 1 ,   1

Mas, ele não é unitário. Falta divifirmos por sua norma que é 2

Então v untário é:

u = - 1 2 , 1 2

Passo 5

Agora que temos os autovalores e os autovetores podemos montar as matrizes D e P .

Montando D :

D = 0 0 0 2

Como D foi montada de forma que a primeira linha é o autovalor 0 , então a primeira coluna da matriz P deve ser o autovetor relacionado ao autovalor 0 , ou seja, v .

P = 1 2 - 1 2 1 2 1 2

Já temos tudo o que precisamos para montar nossa expressão matricial final:

CUIDADO: na expressão acima quando temos [D E], o D se refere ao valor que encontramos lá no início do exercício e não a matriz D .

Montando com nossos valores teremos:

D = - 2

E = - 2

F = 1

x ' y ' 0 0 0 2 x ' y ' + - 2 - 2 1 2 - 1 2 1 2 1 2 x ' y ' + 1 = 0

Fazendo a distributiva, temos:

0 2 y ' x ' y ' + - 2 2 + - 2 2 2 2 + - 2 2 x ' y ' + 1 = 0

2 y ' 2 - 4 x ' 2 + 1 = 0

2 y ' 2 = 4 x ' 2 - 1

Rearranjando para ficar na forma um pouco mais parecida com a forma canônica da parábola:

y ' 2 = 4 x ' 2 2 - 1 2

y ' 2 = 4 2 2 x ' - 2 2 8

Chegamos na expressão de uma parábola. Sendo que a relação entre   x y e x ' y ' é:

x y = 1 2 - 1 2 1 2 1 2 x ' y '

Teremos:

x = x ' 2 - y ' 2

y = x ' 2 + y ' 2

Como queremos um esboço, vamos analisar primeiro a matriz P que nos dá o quanto o eixo girou. Como sabemos que:

P = cos θ - sin θ sin θ cos θ = 1 2 - 1 2 1 2 1 2

Temos que:

cos θ = 1 2 θ = 45 °

Então, nosso eixo x ' y ' estará da seguinte forma:

Além disso, nossa parábola possui uma translação em relação ao eixo x ' y ' , tal que:

x ' ' = x ' - 2 2 8

y ' ' = y '

Vamos achar o centro de x ' ' y ' ' . Para isso, sabemos que o centro de x ' ' y ' ' é ( 0 ,   0 )

x ' = 2 2 8 = 2 4

y ' = 0

Para esboçar temos que lembrar da teoria do tópico 1 que vimos dois casos principais para a parábola, quando ela estava no eixo x ou no eixo y . A expressão que obtemos da parábola indica que estamos no CASO 2 da nossa teoria de parábolas.

Realmente, plotando com um software, obtemos:

As contas nessa foram mais tranquilas!! Hehe

Resposta

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas