Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 277-3.

Esboçar o gráfico da cônica de equação

G x ,   y = x 2 - 4 x y + 4 y 2 - 6 x + 12 y + 8 = 0

Passo 1

Poxa!! Não aguento mais!! É eu sei ;)...mais um pouquinho!! Depois desses exercícios você vai tirar de letra cônicas rotacionadas!! Hehe

Então, vamos fazer o mesmo passo a passo até você decorar cada um deles direitinho!! ;)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Devemos começar montando a equação matricial da equação dada. Para isso, vamos primeiro retirar os valores das contantes A ,   B ,   C ,   D , E   e F .

Da equação temos:

A = 1

B = - 4

C = 4

D = - 6

E = 12

F = 8

Vamos então colcoar esses valores na equação matricial:

  x   y A B 2 B 2 C x y + D   E x y + F = 0

Nossa equação ficará:

  x   y 1 - 2 - 2 4 x y + - 6   12 x y + 8 = 0  

Agora que temos nossa equação matricial conseguimos achar nossa matriz H , que é:

H = 1 - 2 - 2 4

Próximo passo é calcular os autovalores e autovetores dessa matriz!!

Passo 3

Bora calcular os autovalores da matriz H .

Sempre usando a relação

H - λ I = 0

1 - 2 - 2 4 - λ 0 0 λ = 0

  1 - λ - 2 - 2 4 - λ = 0

Resolvendo o determinante:

1 - λ 4 - λ - 4 = 0

4 - 5 λ + λ 2 - 4 = 0

λ 2 - 5 λ = 0

λ λ - 5 = 0

Temos que:

λ = 0     e     λ = 5

Passo 4

Já temos os autovalores!! Agora, é encontrarmos os autovetores para cada autovalor. Ah sério?! De novo?! Aham!! Força aí!!

Para λ = 0 , vamos supor que o autovetor é v = ( a ,   b ) e devemos respeitar que:

H - λ I v = 0

1 - 2 - 2 4 - 0 0 0 0 a b = 0

1 - 2 - 2 4 a b = 0

Escolhendo uma das linhas, escolherei a primeira, mas sem um motivo especial:

a - 2 b = 0 a = 2 b

Poderíamos ter escolhido a segunda linha, o resultado final é o mesmo!!

Então, sabendo a relação e chutando b = 1 , temos a = 2 . Assim, nosso autovetor é:

v = 2 ,   1

Mas, ele não é unitário. Falta dividirmos por sua norma que é 5

Então v untário é:

v = 2 5 , 1 5

Agora, vamos calcular o autovetor u = ( c ,   d ) para λ = 5

H - λ I v = 0

1 - 2 - 2 4 - 5 0 0 5 a b = 0

- 4 - 2 - 2 - 1 a b = 0

Escolhendo uma das linhas, escolherei a primeira, mas sem um motivo especial:

- 4 a - 2 b = 0 a = - b 2

Poderíamos ter escolhido a segunda linha, o resultado final é o mesmo!!

Então, sabendo a relação e chutando b = 2 , temos a = - 1 . Assim, nosso autovetor é:

u = - 1 ,   2

Mas, ele não é unitário. Falta divifirmos por sua norma que é 5

Então u untário é:

u = - 1 5 , 2 5

Passo 5

Agora que temos os autovalores e os autovetores podemos montar as matrizes D e P .

Montando D :

D = 0 0 0 5

Como D foi montada de forma que a primeira linha é o autovalor 0 , então a primeira coluna da matriz P deve ser o autovetor relacionado ao autovalor 0 , ou seja, v .

P = 2 5 - 1 5 1 5 2 5

Já temos tudo o que precisamos para montar nossa expressão matricial final:

CUIDADO: na expressão acima quando temos [D E], o D se refere ao valor que encontramos lá no início do exercício e não a matriz D .

Montando com nosso valores teremos:

D = - 6

E = 12

F = 8

x ' y ' 0 0 0 5 x ' y ' + - 6 12 2 5 - 1 5 1 5 2 5 x ' y ' + 8 = 0

Fazendo a distributiva, temos:

0 5 y ' x ' y ' + - 12 5 + 12 5 6 5 + 24 5 x ' y ' + 8 = 0

5 y ' 2 + 30 y ' 5 + 8 = 0

Vamos completar quadrados:

5   y ' 2 + 30 5 5 + 8 = 0

5 y ' + 30 y ' 5 5 2 - 9 + 8 = 0

5 y ' + 3 5 2 = 1

y ' + 3 5 2 = 1 5

Chegamos na expressão de um par de retas. Sendo que a relação entre   x y e x ' y ' é:

x y = 2 5 - 1 5 1 5 2 5 x ' y '

Teremos:

x = 2 x ' 5 - y ' 5

y = x ' 5 + 2 y ' 5

Como queremos um esboço, vamos analisar primeiro a matriz P que nos dá o quanto o eixo girou. Como sabemos que:

P = cos θ - sin θ sin θ cos θ = 2 5 - 1 5 1 5 2 5

Temos que:

cos θ = 2 5 θ = 26,56 °

Então, nosso eixo x ' y ' estará da seguinte forma:

Além disso, nossas retas possuem uma translação em relação ao eixo x ' y ' , tal que:

y ' ' = y ' + 3 5

Antes de continuarmos para ficar claro, nossas retas serão:

y ' ' = ± 1 5

Continuando vamos achar o centro de x ' ' y ' ' . Para isso, sabemos que o centro de x ' ' y ' ' é ( 0 ,   0 )

x ' = 0

y ' = - 3 5

Esboçando teríamos algo do tipo:

Realmente, plotando com um software, obtemos:

Ufa!! Mais uma se foi!!

Resposta

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