Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 275-2.

Esboçar o gráfico da cônica de equação

Equation

Passo 1

O mesmo problema do anterior??

Exatamente!! Novamente, vamos esboçar a cônica dada pela expressão acima. Talvez, você ache um pouco chato, mas é fundamental fazermos vários exercícios para fixar bem o passo a passo.

Bora começar então!!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como vimos na teoria, devemos começar montando a equação matricial da equação dada. Para isso, vamos primeiro retirar os valores das contantes Equation e Equation .

Da equação temos:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Vamos então colocar esses valores na equação matricial:

Equation

Nossa equação ficará:

Equation

Agora que temos nossa equação matricial conseguimos achar nossa matriz Equation , que é:

Equation

Próximo passo é calcular os autovalores e autovetores dessa matriz!!

Passo 3

Bora calcular os autovalores da matriz Equation .

Sempre usando a relação

Equation

Equation

Equation

Resolvendo o determinante:

Equation

Equation

Equation

Equation

Temos os valores:

Equation

Passo 4

Já temos os autovalores!! Agora, é encontrarmos os autovetores para cada autovalor.

Para Equation , vamos supor que o autovetor é Equation e devemos respeitar que:

Equation

Equation

Equation

Escolhendo uma das linhas, escolherei a primeira, mas sem um motivo especial:

Equation

Poderíamos ter escolhiso a segunda linha, o resultado final é o mesmo!!

Então, sabendo a relação e chutando Equation , temos Equation . Assim, nosso autovetor é:

Equation

Mas, ele não é unitário. Falta dividirmos por sua norma que é Equation

Então Equation untário é:

Equation

Agora, vamos calcular o autovetor Equation para Equation

Equation

Equation

Equation

Escolhendo uma das linhas, escolherei a primeira, mas sem um motivo especial:

Equation

Então, sabendo a relação e chutando Equation , temos Equation . Assim, nosso autovetor é:

Equation

Mas, ele não é unitário. Falta divifirmos por sua norma que é Equation

Então Equation untário é:

Equation

Passo 5

Agora que temos os autovalores e os autovetores podemos montar as matrizes Equation e Equation .

Montando Equation :

Equation

Como Equation foi montada de forma que a primeira linha é o autovalor Equation , então a primeira coluna da matriz Equation deve ser o autovetor relacionado ao autovalor Equation , ou seja, Equation .

Equation

Já temos tudo o que precisamos para montar nossa expressão matricial final:

CUIDADO: na expressão acima quando temos [D E], o Equation se refere ao valor que encontramos lá no início do exercício e não a matriz Equation .

Montando com nossos valores teremos:

Equation

Equation

Equation

Equation

Fazendo a distributiva, temos:

Equation

Equation

Equation

Rearranjando para ficar na forma um pouco mais parecida com a forma canônica da parábola:

Equation

Equation

Chegamos na expressão de uma parábola. Sendo que a relação entre Equation e Equation é:

Equation

Teremos:

Equation

Equation

Como queremos um esboço, vamos analisar primeiro a matriz Equation que nos dá o quanto o eixo girou. Como sabemos que:

Equation

Temos que:

Equation

Então, nosso eixo Equation estará da seguinte forma:

Além disso, nossa parábola possui uma translação em relação ao eixo Equation , tal que:

Equation

Equation

Vamos achar o centro de Equation . Para isso, sabemos que o centro de Equation é Equation

Equation

Equation

Para esboçar temos que lembrar da teoria do tópico 1 que vimos dois casos principais para a parábola, quando ela estava no eixo Equation ou no eixo Equation . A expressão que obtemos da parábola indica que estamos no CASO 2 da nossa teoria de parábolas.

Realmente, plotando com um software, obtemos:

As contas nessa foram mais tranquilas!! Hehe

Resposta

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