Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 277-3.

Esboçar o gráfico da cônica de equação

Equation

Passo 1

Poxa!! Não aguento mais!! É eu sei ;)...mais um pouquinho!! Depois desses exercícios você vai tirar de letra cônicas rotacionadas!! Hehe

Então, vamos fazer o mesmo passo a passo até você decorar cada um deles direitinho!! ;)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Devemos começar montando a equação matricial da equação dada. Para isso, vamos primeiro retirar os valores das contantes Equation e Equation .

Da equação temos:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Vamos então colcoar esses valores na equação matricial:

Equation

Nossa equação ficará:

Equation

Agora que temos nossa equação matricial conseguimos achar nossa matriz Equation , que é:

Equation

Próximo passo é calcular os autovalores e autovetores dessa matriz!!

Passo 3

Bora calcular os autovalores da matriz Equation .

Sempre usando a relação

Equation

Equation

Equation

Resolvendo o determinante:

Equation

Equation

Equation

Equation

Temos que:

Equation

Passo 4

Já temos os autovalores!! Agora, é encontrarmos os autovetores para cada autovalor. Ah sério?! De novo?! Aham!! Força aí!!

Para Equation , vamos supor que o autovetor é Equation e devemos respeitar que:

Equation

Equation

Equation

Escolhendo uma das linhas, escolherei a primeira, mas sem um motivo especial:

Equation

Poderíamos ter escolhido a segunda linha, o resultado final é o mesmo!!

Então, sabendo a relação e chutando Equation , temos Equation . Assim, nosso autovetor é:

Equation

Mas, ele não é unitário. Falta dividirmos por sua norma que é Equation

Então Equation untário é:

Equation

Agora, vamos calcular o autovetor Equation para Equation

Equation

Equation

Equation

Escolhendo uma das linhas, escolherei a primeira, mas sem um motivo especial:

Equation

Poderíamos ter escolhido a segunda linha, o resultado final é o mesmo!!

Então, sabendo a relação e chutando Equation , temos Equation . Assim, nosso autovetor é:

Equation

Mas, ele não é unitário. Falta divifirmos por sua norma que é Equation

Então Equation untário é:

Equation

Passo 5

Agora que temos os autovalores e os autovetores podemos montar as matrizes Equation e Equation .

Montando Equation :

Equation

Como Equation foi montada de forma que a primeira linha é o autovalor Equation , então a primeira coluna da matriz Equation deve ser o autovetor relacionado ao autovalor Equation , ou seja, Equation .

Equation

Já temos tudo o que precisamos para montar nossa expressão matricial final:

CUIDADO: na expressão acima quando temos [D E], o Equation se refere ao valor que encontramos lá no início do exercício e não a matriz Equation .

Montando com nosso valores teremos:

Equation

Equation

Equation

Equation

Fazendo a distributiva, temos:

Equation

Equation

Vamos completar quadrados:

Equation

Equation

Equation

Equation

Chegamos na expressão de um par de retas. Sendo que a relação entre Equation e Equation é:

Equation

Teremos:

Equation

Equation

Como queremos um esboço, vamos analisar primeiro a matriz Equation que nos dá o quanto o eixo girou. Como sabemos que:

Equation

Temos que:

Equation

Então, nosso eixo Equation estará da seguinte forma:

Além disso, nossas retas possuem uma translação em relação ao eixo Equation , tal que:

Equation

Antes de continuarmos para ficar claro, nossas retas serão:

Equation

Continuando vamos achar o centro de Equation . Para isso, sabemos que o centro de Equation é Equation

Equation

Equation

Esboçando teríamos algo do tipo:

Realmente, plotando com um software, obtemos:

Ufa!! Mais uma se foi!!

Resposta

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