Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação

Elaboração Própria

Escreva as equações paramétricas das curvas a seguir:

a) ( x - 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 4

b) x 2 4 + y 2 9 = 1

Passo 1

Vamos começar a esquentar nossos motores!! Começar a aplicar tudo o que vimos na teoria!!

E nosso objetivo nesse exercício é escrever as equações paramétricas das cruvas. Bora começar!!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a)   ( x - 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 4

Nossa primeira curva é uma circunferência. Vimos na teoria que para a equação genérica :

( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 = a 2

Temos as seguintes equações paramétricas:

x - x 0 = a . cos  θ

y - y 0 = a . sin θ

Então, só substituir:

x - 1 = 2 cos θ

y + 2 = 2 sin θ

Pronto!! Já encontramos x e y em função de cos θ e sin θ , respectivamente.

Passo 3

b) x 2 4 + y 2 9 = 1

Agora, temos uma elipse. Também vimos que para uma elipse do seguinte formato:

x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1

Temos as equações:

x = b . cos θ

y = a . sin θ

Ué, mas as equações que vimos na teoria não eram assim!! Será que o b e o a não estão trocados??

Já vou responder logo: não estão!!

Aquela fórmula que vimos na teoria serve pra uma elipse com a equação do tipo

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Nesse exercício, o b tá em baixo do x, e o a tá em baixo do y.

Quem vai entrar multiplicando o cosseno é cara que tá em baixo do x, ou seja, nesse caso é o b!

E o seno?? Aí vai ser quem tiver em baixo do y (no caso do exercício é o a), beleza??

Show, agora que vimos isso, comparando a equação da elipse que a gente tem com a que eu mostrei pra vocês no início, vemos temos que:

b = 2

a = 3

Então, nossas equações paramétricas são:

x = 2 . cos θ

y = 3 . sin θ

Essa foi só para aquecer!! Hehe.. Vamos para a próxima!!

Resposta

a )   x - 1 = 2 cos θ

y + 2 = 2 sin θ

b )   x = 2 . cos θ

y = 3 . sin θ

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