Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação

Elaboração Própria

Seja l a curva com equações paramétricas:

x = a 1 + t 2 1 - t 2           e               y = 2 b t 1 - t 2

Determine l .

Passo 1

Bom, quando aprendemos cônicas, vimos todas definidas no sistema cartesiano, ou seja, com x e y . Então, para conseguirmos identificar a curva com maior facilidade nossa tarefa será sumir com o parâmetro t e encontrar uma relação entre x e y .

Bora começar??

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Esse tipo de exercício é meio que tentativa e erro. Então, tem alguns que precisamos ver pelo menos uma vez na vida para ter a sacada. Essse é um deles haha.

Para começar vamos reescrever as expressões dadas:

x = a 1 + t 2 1 - t 2 x a = 1 + t 2 1 - t 2

y = 2 b t 1 - t 2 y 2 b = t 1 - t 2

Se elevarmos ao quadrado teremos:

x a = 1 + t 2 1 - t 2

x a 2 = 1 + 2 t 2 + t 4 ( 1 - t 2 ) 2   ( 1 )

y b = 2 t 1 - t 2

y b 2 = 4 t 2 ( 1 - t 2 ) 2 ( 2 )

Passo 3

Vamos, agora, analisar os numeradores das expressões ( 1 ) e ( 2 ) . Se pegarmos a expressão ( 1 ) e subtrairmos da expressão ( 2 ) , teremos:

1 + 2 t 2 + t 4 ( 1 - t 2 ) 2 - 4 t 2 ( 1 - t 2 ) 2 = 1 - 2 t 2 + t 4 ( 1 - t 2 ) 2

Agora aqui no numerador do último cara da direita temos um quadrado perfeito!

1 - 2 t 2 + t 4 ( 1 - t 2 ) 2 = ( 1 - t 2 ) 2 ( 1 - t 2 ) 2 = 1

Finalmente,

1 + 2 t 2 + t 4 ( 1 - t 2 ) 2 - 4 t 2 ( 1 - t 2 ) 2 = 1

Logo, temos que:

x a 2 - y b 2 = 1

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

E essa é a expressão de uma hipérbole!!

Resposta

H i p é r b o l e

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas