Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação

Unicamp, P3 – Geometria Analítica, 21/06/2013 (manhã), pág. 1, Questão 1

Seja l o lugar geométrica dos pontos P ( x ,   y ) do plano cujas coordenadas x e y satisfazem

x 2 + 2 3 x y - y 2 + 6 x = 0

  1. Identificar a cônica l
  2. Encontrar as mudanças consecutivas das coordenadas que levam l à forma canônica
  3. Encontrar a excentricidade de l . Encontrar também as coordenadas dos focos e dos vértices, e as equações das assíntotas no sistema O x y (se aplicável). Fazer um esboço do gráfico de l .

Passo 1

Até agora estávamos esboçando as cônicas!! Nisso já estamos craques!! Hehe... Mas, vamos começar a complicar um pouco mais. Além de fazer tudo o que já fazíamos vamos começar a encontrar não só as cônicas, mas também seus parâmetros.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a) Nesse primeiro item devemos identificar a cônica, ou seja, fazer o que já vínhamos fazendo!

Como vimos na teoria, devemos começar montando a equação matricial da equação dada. Para isso, vamos primeiro retirar os valores das contantes A ,   B ,   C ,   D , E   e F .

Da equação temos:

A = 1

B = 2 3

C = - 1

D = 6

E = 0

F = 0

Vamos então colocar esses valores na equação matricial:

  x   y A B 2 B 2 C x y + D   E x y + F = 0

Nossa equação ficará:

  x   y 1 3 3 - 1 x y + 6   0 x y = 0  

Agora que temos nossa equação matricial conseguimos achar nossa matriz H , que é:

H = 1 3 3 - 1

Próximo passo é calcular os autovalores e autovetores dessa matriz!!

Bora calcular os autovalores da matriz H .

Sempre usando a relação

H - λ I = 0

1 3 3 - 1 - λ 0 0 λ = 0

  1 - λ 3 3 - 1 - λ = 0

Resolvendo o determinante:

( 1 - λ ) - 1 - λ - 3 = 0

- 1 + λ 2 - 3 = 0

λ 2 = 4

λ = ± 2

Temos os autovalores:

λ = 2     o u     λ = - 2

Já temos os autovalores!! Agora, é encontrarmos os autovetores para cada autovalor.

Para λ = 2 , vamos supor que o autovetor é v = ( a ,   b ) e devemos respeitar que:

H - λ I v = 0

1 3 3 - 1 - 2 0 0 2 a b = 0

- 1 3 3 - 3 a b = 0

Escolhendo uma das linhas, escolherei a primeira, mas sem um motivo especial:

- a + 3 b = 0 a = 3 b

Poderíamos ter escolhido a segunda linha, o resultado final é o mesmo!!

Então, sabendo a relação e chutando b = 1 , temos a = 3 . Assim, nosso autovetor é:

v = 3 ,   1

Mas, ele não é unitário. Falta dividirmos por sua norma que é 2 .

Então v untário é:

v = 3 2 , 1 2

Agora, vamos calcular o autovetor u = ( c ,   d ) para λ = - 2

H - λ I u = 0

1 3 3 - 1 - - 2 0 0 - 2 a b = 0

3 3 3 1 a b = 0

Escolhendo uma das linhas, escolherei a primeira, mas sem um motivo especial:

3 a + 3 b = 0 a = - 3 b 3

Então, sabendo a relação e chutando b = 3 , temos a = - 3 . Assim, nosso autovetor é:

u = - 3 ,   3

Mas, ele não é unitário. Falta dividirmos por sua norma que é 2 3

Então v untário é:

u = - 3 2 3 , 3 2 3 = - 1 2 , 3 2

Agora que temos os autovalores e os autovetores podemos montar as matrizes D e P .

Montando D :

D = 2 0 0 - 2

Como D foi montada de forma que a primeira linha é o autovalor 2 , então a primeira coluna da matriz P deve ser o autovetor relacionado ao autovalor 2 , ou seja, v .

P = 3 2 - 1 2 1 2 3 2

Já temos tudo o que precisamos para montar nossa expressão matricial final:

CUIDADO: na expressão acima quando temos [D E], o D se refere ao valor que encontramos lá no início do exercício e não a matriz D .

Montando com nossos valores teremos:

D = 6

E = 0

F = 0

x ' y ' 2 0 0 - 2 x ' y ' + 6 0 3 2 - 1 2 1 2 3 2 x ' y ' = 0

Fazendo a distributiva, temos:

2 x ' - 2 y ' x ' y ' + 3 3 - 3 x ' y ' = 0

2 x ' 2 - 2 y ' 2 + 3 3 x ' - 3 y ' = 0

Completando quadrados:

2 x ' 2 + 3 3 2 x ' - 2 y ' 2 + 3 2 y ' = 0

2 x ' + 3 3 4 2 - 2.9 . 3 16 - 2 y ' + 3 4 2 + 2.9 16 = 0

2 x ' + 3 3 4 2 - 2 y ' + 3 4 2 = 9 4

Dividindo tudo por 2 :

x ' + 3 3 4 2 - y ' + 3 4 2 = 9 8

Multiplicando tudo por 8 9 :

x ' + 3 3 4 2 9 8 - y ' + 3 4 2 9 8 = 1

Chegamos na forma quase canônica da hipérbole. Para ficarmos na forma canônica faremos mais uma mudança de variável, considerando:

x ' ' = x ' + 3 3 4

y ' ' = y ' + 3 4

Teremos então:

x ' ' 9 8 2 - y ' ' 9 8 2 = 1

Agora sim temos a expressão canônica da hipérbole. Esse item terminamos.

Passo 3

b) Agora precisamos determinar as mudanças consecutivas de coordenadas que fizemos para chegar na expressão canônica da hipérbole.

Bom, primeiro, mudamos das coordenadas x y para x ' y ' . A relação entre esses dois sistemas é dado por:

Então, substituindo nossa matriz P , temos:

x y = 3 2 - 1 2 1 2 3 2 x ' y '

Teremos, então as relações:

x = 3 x ' 2 - y ' 2

y = x ' 2 + 3 y ' 2

Além dessa transformação fizemos uma translação do sistema x ' y ' para x ' ' y ' ' . No qual temos as relações:

x ' ' = x ' + 3 3 4

y ' ' = y ' + 3 4

Pronto!! São essas relações que o enunciado pede. Bora para o próximo item!!

Passo 4

c) Encontrar a excentricidade de l . Encontrar também as coordenadas dos focos e dos vértices, e as equações das assíntotas no sistema O x y (se aplicável). Fazer um esboço do gráfico de l .

Esse item já fizemos várias vezes quando falamos de cônicas!! O que muda agora, é que antes tínhamos no máximo uma translação, ou seja, uma mudança de variáveis, e agora, temos duas mudanças. Mas, isso não altera a forma de resolução. Ou seja, vamos achar todas as variáveis no sistema em que a curva está no sistema canônico x ' ' y ' ' e depois por meio das relações que achamos no item anterior passamos para o sistema O x y .

Então, considerando a equação:

x ' ' 9 8 2 - y ' ' 9 8 2 = 1

Estamos no CASO 1 da hipérbole. Assim, sabemos que:

Olhando para nossa expressão e as relações acima, temos:

a 2 = b 2 = 9 8 a = b = 3 2 4

Usando a relação c 2 = a 2 + b 2

c 2 = 18 8 = 9 4 c = 3 2

Lebrando que todos os parâmetros que encontraremos estarão no sistema x ' ' y ' ' .

Teremos:

F 1 - 3 2 , 0 ,   F 1 3 2 , 0 ,   A 1 - 3 2 4 , 0 , A 2 3 2 4 , 0   e   y ' ' = ± x ' '

e = c a = 2

Encontramos tudo o que percisávamos no sistema x ' ' y ' ' , agora vamos passar para o sistema x ' y ' e depois para o sistema x y . Para a primeira mudança, usaremos:

x ' ' = x ' + 3 3 4

y ' ' = y ' + 3 4

Usando as relações acima obteremos os parâmetros em x ' y ' :

F 1 - 6 - 3 3 4 , - 3 4 ,   F 2 + 6 - 3 3 4 , - 3 4 ,   A 1 - 3 2 - 3 3 4 , - 3 4 , A 2 + 3 2 - 3 3 4 , - 3 4  

e   y ' + 3 4 = ± x ' + 3 3 4

e = c a = 2

A excentricidade não muda, pois só depende de c e a .

Para chegarmos na nossa solução vamos passar do x ' y ' para x y , usando:

x = 3 x ' 2 - y ' 2

y = x ' 2 + 3 y ' 2

Fazendo as contas, teremos:

F 1 - 3 - 3 3 4 , - 3 - 3 3 4 ,   F 2 - 3 + 3 3 4 , 3 - 3 3 4 ,

  A 1 - 3 6 - 6 8 , - 3 2 - 6 3 8 , A 2 3 6 - 6 8 , 3 2 - 6 3 8  

Para passar as assíntotas para x y teremos que primeiro isolar nas nossas relações acima x ' e y ' . Isolando teremos:

x ' = 3 x 2 + y 2

y ' = - x 2 + 3 y 2

Substituindo:

- x 2 + 3 y 2 + 3 4 = ± 3 x 2 + y 2 + 3 3 4

Estamos quase terminando, falta o esboço, que fica mais ou menos:

Ufa!! Cansei!! Esse tipo de exercício requer muita atenção por causa das contas que são muito fáceis de errar. Então, faça com calma e para pegar agilidade nada como fazer vários exercícios!

Resposta

a )   H i p é r b o l e

b )   x = 3 x ' 2 - y ' 2

y = x ' 2 + 3 y ' 2

x ' ' = x ' + 3 3 4

y ' ' = y ' + 3 4

c )   F 1 - 3 - 3 3 4 , - 3 - 3 3 4 ,   F 2 - 3 + 3 3 4 , 3 - 3 3 4 ,

  A 1 - 3 6 - 6 8 , - 3 2 - 6 3 8 , A 2 3 6 - 6 8 , 3 2 - 6 3 8  

A s s í n t o t a s :   - x 2 + 3 y 2 + 3 4 = ± 3 x 2 + y 2 + 3 3 4

e = 2

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