Exercícios Resolvidos de Cônicas

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Enunciado

(Capítulo 13.1 – Exercício 41) Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das duas superfícies.

O cone z = x 2 + y 2 e o plano z = 1 + y

Passo 1

Faaaala meu povo, vamos lá?

Nesse exercício temos as equações de 2 superfícies, e elas vão se encontrar em algum momento, saca?

O nosso objetivo aqui é ver quem é essa curva de intersecção entre as duas superfícies dadas

Vamos que vai ser bem mais fácil do que parece!

Passo 2

Queremos parametrizar a curva que é obtida pela interseção das seguintes superfícies:

z = x 2 + y 2 z = 1 + y

Como as duas superfícies estão na forma z = f ( x , y ) , vamos igualar as 2 equações, fechou?

x 2 + y 2 = 1 + y

x 2 + y 2 = y + 1 2

Desenvolvendo o produto notável:

x 2 + y 2 = y 2 + 2 y + 1

x 2 - 1 = 2 y

1 2 x 2 - 1 = y

Chamando x = t :

1 2 t 2 - 1 = y

Passo 3

Já temos x = t e y = 1 2 t 2 - 1

Vamos aplicar isso em

z = 1 + y :

z = 1 + 1 2 t 2 - 1 2

z = 1 2 ( t 2 + 1 )

Logo, a curva que representa a intersecção das superfícies vai ser:

r t = x , y , z

r t = t , 1 2 t 2 - 1 , 1 2 t 2 + 1

Isso aííí

Resposta

r t = t , 1 2 t 2 - 1 , 1 2 t 2 + 1

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