Exercícios Resolvidos de Conservação de Energia do Volume de Controle

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Enunciado

Um conjunto cilindro-pistão, contendo um vapor, perde 300   k J de calor a cada segundo. Enquanto o vapor é resfriado, 10   k W de taxa de energia saem do conjunto cilindro-pistão através da massa de vapor que vaza pela folga entre o pistão e o cilindro. Sabendo que o volume do pistão diminui a uma taxa constante de 0,5   m 3 / s e que esse processo de resfriamento é isobárico a 200   k P a , determine a taxa de variação da energia do vapor.

Passo 1

O exercício pede para a gente determinar a taxa de variação da energia do vapor do cilindro-pistão d E d t . O primeiro passo para resolver essa questão é entender todas as informações do problema que o enunciado dá pra gente. Por isso, a figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular d E d t .

O Q ˙ da figura é a taxa de calor que sai do vapor. Como o vapor perde calor, essa taxa Q ˙ é negativa!

Q ˙ < 0       ⟹       Q ˙ = - 300   k J s         ⟹       Q ˙ = - 300   k W

d V V . C . d t é a taxa de variação do volume do vapor. Ela é negativa, porque o volume do vapor diminui.

d V V . C . d t < 0       ⟹       d V V . C . d t = - 0,5   m 3 s

P é a pressão do vapor durante o processo de resfriamento. E s , m a s s a é a taxa de energia que sai do conjunto cilindro-pistão por causa do vazamento de vapor.

Esses são todos os dados que a questão nos informa. Agora, vamos determinar quais equações nós usamos para calcular d E d t .

Passo 2

Quando o vapor perde calor e vaza, seu volume diminui. Isso significa que o vapor comprime e recebe uma taxa trabalho de movimento de fronteira W ˙ . Como esse trabalho é isobárico, a quantidade de energia por trabalho que o vapor recebe W , quando a fronteira se movimenta pode ser calculado pela seguinte fórmula.

W = P ⋅ Δ V

Δ V é a variação de volume do vapor. No entanto, nós não sabemos quando vale W nem Δ V . Então como fazemos para transformar essa fórmula em uma equação que tenha os dados informados pelo enunciado ( d V V . C . d t e P ) e a taxa de trabalho precisamos achar W ˙ ?

O primeiro passo para transformar a fórmula antiga é dividir todos os termos dessa equação pelo intervalo de tempo de duração processo Δ t .

W Δ t = P ⋅ Δ V Δ t

O passo final é fazer o intervalo de tempo Δ t ficar cada vez menor. No limite, quando Δ t tende a zero, essas divisões viram derivadas! Ou seja, elas viram as taxas de variação em relação ao tempo!

lim Δ t ⟶ 0 ⁡ W Δ t = l i m Δ t ⟶ 0 P ⋅ Δ V Δ t       ⟹       lim Δ t ⟶ 0 ⁡ W Δ t = P ⋅ l i m Δ t ⟶ 0 Δ V Δ t       ⟹       W ˙ = P ⋅ d V V . C . d t

No próximo passo poderemos finalmente aprender a calcular d E d t !

Passo 3

Como o conjunto cilindro-pistão está vazando vapor, sai massa dele. Ou seja, o conjunto cilindro-pistão forma um volume de controle, porque ele troca massa com o ambiente ao seu redor. Então para calcular a taxa de variação de energia d E d t do vapor, temos que usar a primeira lei para volumes de controle.

d E d t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

E ˙ e , m a s s a é a taxa de energia que entra no volume de controle por conta da entrada de massa no volume de controle. Como não existe vapor entrando no volume de controle, E ˙ e , m a s s a vale:

E ˙ e , m a s s a = 0   k W

Já sabemos como achar todas as variáveis da fórmula da primeira lei. Então vamos começar a fazer as contas!

Passo 4

O prmeiro passo é calcular a taxa de trabalho realizado sobre o vapor de dentro do cilindro-pistão.

W ˙ = P ⋅ d V V . C . d t       ⟹       W ˙ = 200 ⋅ - 0,5       ⟹       W ˙ = - 100   k W

Podemos agora usar a primeira lei da termodinâmica para volume de controle.

d E d t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

  d E d t = - 300 - - 100 + 0 - 10

  d E d t = - 210   k W

Resposta

d E d t = - 210   k W

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